专题06 一次方程与方程组78道计算题专项训练（13大题型）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第06讲 一次方程与方程组78道计算题专项训练（13大题型） 题型一 解含分母的一元一次方程 题型二 解含绝对值的一元一次方程 题型三 代入消元法 题型四 加减消元法 题型五 二元一次方程的解 题型六 整体换元解二元一次方程组 题型七 一元一次方程的整数解问题 题型八 方程组同解计算问题 题型九 解含参的二元一次方程组 题型十 构造二元一次方程组计算 题型十一 三元一次方程组的解法 题型十二 一元一次方程的新定义计算 题型十三 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 解含分母的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并，系数化为1，逐步求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，逐步求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去中括号，再去小括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为一即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为一即可； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为一即可． 【详解】（1）解：去中括号： 去小括号： 去分母： 移项、合并同类项： 系数化为一：； （2）解：去分母： 去括号： 移项、合并同类项： 系数化为一：． （3）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为一：． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3) (4) (5) (6)的值比的值小1，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解决问题的关键． （1）分子、分母都化为整系数后，根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； （2）分子、分母都化为整系数后，根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； （3）根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； （4）先去小括号、合并同类项，再去中括号，按照解一元一次方程步骤可解得答案； （5）根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； （6）先根据题意列式，再根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ， ； （5）， ， ， ， ； （6）根据题意得：， ， ， ． 6．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，二 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，等式的性质等知识． （1）根据等式的性质和去括号法则即可判断出小明与小红在解方程中出现的错误； （2）根据解一元一次的步骤即可求解． 【详解】（1）解：小明出错的步骤是第一步，错误的应用了等式的性质二，等式左边乘以12，右边也应该乘以12； 小红出错的步骤是第二步，在利用分配律去括号号时符号错误． 故答案为：一，二； （2）解： 去分母得 ， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化“1”得 ． 【经典计算题二 解含绝对值的一元一次方程】 7．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 8．（2025七年级上·安徽合肥·模拟预测）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【答案】或． 【分析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴或 解得：或． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 10．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 11．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键． （1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解； （2）先求得的值然后代入，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 或， 或； （2）解：， 或， 或， 当时，，， 当时，，， 或． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【经典计算题三 代入消元法】 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为 14．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）用合适的方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求出方程组的解即可； （2）利用加减消元法求出方程组的解即可； 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 （2）解：整理原方程组，得 ③-④，得． 把代入④，得，解得， 所以原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 15．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键． （1）先将①变形，然后利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴， ∴， ∴， 把代入①得：， ， 原方程组的解是． 16．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把②代入①即可；（2）把①代入②即可；（3）把①变形为③代入②即可；（4）把 ①变形为③代入②即可． 【详解】（1）解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 故原方程组的解是 （2）解：由①得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （3）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （4）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程，熟悉代入消元法的解题过程是本题的关键． 17．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可； （3）利用加减消元法进行求解即可； （4）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 将代入②得， ， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， ， 解得，， 将代入①得， ， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解： 整理①得，， 得， 得，， 解得， 将代入②得， ， 解得， ∴原方程组的解为； （4）解： 整理原方程组得， ， 得， ， 得， ， 解得， 将代入④得， ， 解得， ∴原方程组的解为； 18．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）将方程组整理后，运用加减消元法求解即可； （2）将方程组化简后，运用代入消元法求解即可； （3）运用换元法求解即可； （4）将方程组化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组可化为， 由②得，③， 把③代入①，得， 解． 把代入③得，， 则方程组的解为． （3）解： 令，， 方程组可化为， 化简为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得 ∴， 解得． （4）解： 将原方程组化简，得 ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 【经典计算题四 加减消元法】 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 所以方程组的解是． 20．（24-25七年级上·安徽池州·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 先将原方程组进行化简整理，然后利用加减消元法进行计算即可解答． 【详解】解：将原方程组进行化简整理可得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）先化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简，再根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：方程组整理得：， 得：，即， 得：，即， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得：， 由①得，， 把代入②得：，解得， 则方程组的解为． 22．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想． （1）由加减消元法求解； （2）由加减消元法求解； （3）先将②式整理，再由加减消元法求解； （4）将原方程组整理，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解：， ①得：③， ②③得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ③④得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是； （3）解：， ②整理得：③， ①③得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是； （4）解：， 整理得：， ①得：③， ②③得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是． 23．（25-26七年级上·安徽宣城·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法．熟练掌握代入消元法和加减消元法的步骤和适用情况，能根据方程组的特点灵活选择合适的方法是解题的关键． （1）采用代入消元法，将第一个方程代入第二个方程中，消去，从而求出的值，再将的值代入求出的值． （2）使用消元法，先将第一个方程两边同时乘以，再与第二个方程相减消去，求出的值，最后将的值代入第一个方程求出的值． （3）由第一个方程得到，将其代入第二个方程中消去，求出的值，再把的值代入求出的值． （4）先对第一个方程进行化简，然后使用代入消元法或加减消元法求解方程组． （5）先对两个方程进行化简，然后通过加减消元法消去或，求出其中一个未知数的值，再代入化简后的方程求出另一个未知数的值． （6）先将方程中的分数系数化为整数，再使用加减消元法求解方程组． 【详解】（1）解： 将代入得： 把代入得 ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 把代入得：，解得， ∴原方程组的解为； （3）解： 由得 代入得： 把代入得： ∴原方程组的解为； （4）解： 化简得 代入得 ∴原方程组的解为； （5）解： 化简得， 化简得， 由得， 代入得， 解得， 把代入得， ∴原方程组的解为； （6）解： 化简得 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为； 24．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可； （2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，解得． 故原方程组的解为 （2）（2） ②×2-①，得，即． 把代入①，得，解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键． 【经典计算题五 二元一次方程的解】 25．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）若是关于的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此定义可得关于a、b的方程组，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得 解得． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键； （1）利用加减消元法进行解方程即可； （2）设，，将原方程组变成的二元一次方程组，再利用加减消元法进行解方程即可． 【详解】（1）解： 得： ③ 得： ∴ 将代入①得： ∴ ∴ 故方程组的解为 （2）解： 设，，则方程组化为： 得： ∴ ∴ 将代入④得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故方程组的解为 27．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （2）将方程组化简，得到，利用代入法解答即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． （2）解：方程组整理得，， 把代入中，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 【答案】3 【分析】利用整体思想表示，结合已知，构造方程解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，解方程，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：由，两式相减，得， 又， 故， 解得． 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想和加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）得出③，再根据加减消元法进行解答，即可求解； （3）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （4）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； 【详解】（1）解： 得，， 解得： 将代入①得， 解得：， ∴方程组的解为： （2） 得出③， 得： 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： （3）解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （4）解： ，得③， ，得， ④， 将④代入③，得， ⑤， ，得， 解得, 将代入⑤，得， 解得， ∴方程组的解为． 30．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键． 先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可； 【详解】解：①+②，得，即．③ ①-②，得， 即．④ ，得．，得， 所以原方程组的解为 【经典计算题六 整体换元解二元一次方程组】 31．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 32．（24-25七年级上·安徽池州·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可． 【详解】（1）设， 则原方程组可化为 ∴， 解之得； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解之得， ∴， 解之得． 33．（24-25七年级上·安徽六安·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可． 【详解】解：（1）设则原方程组可化为， 根据的解为，可得： 解得 即； （2）方程组可变形为： 设， 原方程可化为 解得： 即，解得 原方程组的解为 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 35．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，． 原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代入法求二元一次方程组. （1）令，，原方程组化为，求解原方程组代入，求解即可； （2）令，，原方程组化为，求解原方程组，代入，求解即可； 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 【经典计算题七 一元一次方程的整数解问题】 37．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 【答案】1或2或4或10 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．利用加减法求出方程组的解，利用已知条件得到关于a的关系式，利用有理数的整除的性质解答即可得出结论 【详解】解：， 由得： ， ∴当时，， ∵有正整数解 ∴，且或2或3或4或6或12 ∴， 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，， ∴整数a的值为1或2或4或10． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）关于，的二元一次方程组满足，求的值； （2）关于，的二元一次方程组的解为整数，求正整数的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，本题的关键是先通过第一个方程组求出m，n的值． （1）由题意可得新的方程组，求解得到，将方程组的解代入，求解即可； （2）由，得，将代入中，整理可得，根据解为整数即可求解． 【详解】解：（1）解方程组，得． ∴把代入，得． 得． （2）由，得， 把代入，得． 解得． ∵，为整数， ∴，或． 得，，0，，6，． ∵为正整数， ∴． 39．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为或2 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有整数解，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当，1，，，4，时，为整数，此时，，，，2，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上所述，整数的值为或2． 40．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 41．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1． 另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小2． 若（，且a、b为整数） (1)当时，则 ， ； (2)若p能被11整除，求的值． 【答案】(1)； (2)630或408或186或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解： （1）先根据题意求出，，则，进而得到，再由，，可得，则； （2）由（1）得，再由p能被11整除，得到能被11整除，进而求出或或或，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：解：由题意得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）得 ， ∵p能被11整除， ∴能被11整除， ∴能被11整除， ∵，， ∴或或或， ∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为630或408或186或． 42．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 【经典计算题八 方程组同解计算问题】 43．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．先求出方程的解，再把这个解代入到方程中得到关于k的方程，据此求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解方程，本题通过联立公共解的方程，求出，的具体值，再代入含参数的方程组，最终转化为关于，的方程组求解，体现了消元思想的应用． 【详解】解：联立不含，的方程， 将第一个方程组的第一个方程与第二个方程组的第一个方程联立，得到新的方程组： ， 解得：， 将代入第一个方程组的第二个方程和第二个方程组的第二个方程，得到： ， 解得：． 45．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 46．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，准确求解方程组的解．先根据关于m，n的方程组与有相同的解，得出关于m，n的方程组与有相同的解，然后解关于m、n的方程组，得出关于a、b的方程组，然后解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴关于m，n的方程组与有相同的解， 解关于m，n的方程组得：， 解关于m，n的方程组得：， ∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，． 47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先由题意得到，解方程组求出，先后代入和即可求出，的值． 【详解】解：根据题意可得方程组 ①＋②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 把代入得，， 解得， 把，，代入得，， 解得， ∴， 48．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． （1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可； （2）根据（1）的结论代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， （2）解： 【经典计算题九 解含参的二元一次方程组】 49．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的情况与方程系数的关系，解题的关键是理解当二元一次方程组有无数组解时，两个方程所代表的直线重合，即方程对应系数成比例． 先将第二个方程变形，使其的系数与第一个方程中的系数相同，再根据方程组有无数组解时两方程对应系数相等来求解． 【详解】解：∵方程组有无数组解， ∴两个方程应完全一样， 由整理得：， ∴， 解得：． 50．（2025七年级上·安徽蚌埠·模拟预测）关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先根据方程组有唯一的解可知，进而得出答案. 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴， 解得. 把代入方程组得：， 解得：， 所以a的取值为：. 51．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1）；（2）或7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）得，从而得出k的方程求解； （2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值． 【详解】解：（1） 得： （2） ，取正整数 ，或， 或7 52．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 53．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解． （1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可； （3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可． 【详解】（1）解：， 由得，， ， ， 解得． （2）解：由题意，得， ， 解得，， ， 当取不同实数时，的值不变，都为． （3）解：由（2）得，， 当时，， ， 当时，， 此时，，为非自然数， ，的自然数解是． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可． 【详解】解：甲同学解法： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 利用乙同学的解法：， ③+①得，， 即④， ④代入②得，， 解得． 利用丙同学的解法： 先解方程组， ①②得，， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为， 把代入方程得，，解得． 【经典计算题十 构造二元一次方程组计算】 55．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，当时，；当时，．求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题关键是得到关于，的二元一次方程组．将和的对应值代入，获得关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得，． 56．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 57．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可； 【详解】解：因为(2x－a)(3x＋b)， ＝6x2＋2bx－3ax－ab， ＝6x2＋(2b－3a)x－ab， 所以2b－3a＝－5，① 因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab， 所以2b＋a＝7，② 由①和②组成方程组： , 解得. 故答案为：，. 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 58．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 59．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 60．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用． 比如解方程组， 解：把②代入①，得，所以． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． 尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！ ． 【答案】． 【分析】本题考查的是代入法解二元一次方程，正确理解整体的数学思想是解题的关键． 首先先把化成的形式，然后根据整体代入的数学思想把代入方程进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【经典计算题十一 三元一次方程组的解法】 61．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．消去y得：，再得，分别代入①和③求解即可． 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 62．（24-25七年级上·安徽池州·期末）三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键是消元，首先消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组，继续消元，转化为一元一次方程，解一元一次方程求出一个未知数的值，把这个未知数的值代入一个二元一次方程中，求出另一个未知数的值，把这两个未知数的值代入一个三元一次方程中求出最后一个未知数即可． 【详解】解： 得：， 得：， 解方程组 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 可得：， 把，代入， 可得：， 解得：， 原方程组的解为， 故答案为：． 63．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程组： (1)；（用代入法解） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组和解三元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法两式相加即可求解； （3）先利用加减消元法把后面两式消去，再结合第一个式子，利用加减消元法求出，再分别求和即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为； （3）解：， 得：， 得：， 将代入①得， 解得：， 将，代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 64．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算． （1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：（1） 原方程组可变为：， 得：， 解得： 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 把代入得：，即， 把代入③得：，即， 得：，解得：， 把代入④得：，解得：， ∴方程组的解为：． 65．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）用合适的方法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组， （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （3）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （4）方程组利用加减消元法求解即可． 利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 【详解】（1） 由①得③ 将③代入②得： 将代入③得： 所以原方程组的解为：； （2）原方程组可化为： 得：③ 得：④ 得：，解得： 将代入①中得： 所以原方程组的解为：； （3）方程组整理得：， 得：，即， 把代入①得：， 则不等式组的解集为； （4） 得：④ 得： 将代入③得： 将，代入②得： ． 66．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【经典计算题十二 一元一次方程的新定义计算】 67．（24-25七年级上·安徽池州·期末）“” 是新规定的某种运算符号，设，求中x的值． 【答案】x的值为 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新规定建立关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， ， ，即， 解得：， x的值为． 68．（24-25七年级上·安徽六安·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 69．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）对于整数，，，，定义，如：，当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义得出方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：． 70．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）我们定义一种新运算：（等号右边为通常意义的运算）： （1）计算的值； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）由题中所给定义新运算可直接代入求解； （2）根据题中所给定义新运算可列出方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）由题意得： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 71．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）对于有理数a，b，规定一种新运算：． (1)计算：． (2)若方程，求x的值． 【答案】(1)6 (2)x=37 【分析】（1）原式利用新定义化简即可求出值； （2）已知等式利用新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵a∗b=ab+b2， ∴(−5)∗6=(−5)×6+62=6． （2）解：利用新运算，得， 去分母得：5(x-1)=4(x-2)+40， 去括号得：5x-5=4x-8+40， 移项合并得：x=37． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 72．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若“”表示一种新运算，规定． 例如：． (1)计算： (2)若，求的值 【答案】(1)16； (2)． 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵， ∴； （2）解：∵ 即 解得：； 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键． 【经典计算题十三 二元一次方程组的新定义计算】 73．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义型运算公式，将条件中的数字代入即可求出a与b的值，然后再将15与代入公式即可求出答案． 本题考查新定义运算，涉及二元一次方程组的解法，代数式求值问题，属于中等题型． 【详解】解：由题意可知：, ∴， ∴解得：， ∴． 74．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 解得：． 75．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 76．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，定义新运算， 对于（1），根据新定义运算可得：，根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可； 对于（2），根据（1）中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴. ∵， ∴， 解得：． 77．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋2by－1(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a·0＋2b·1－1＝2b－1.已知T(1，－1)＝－2，T(－3，2)＝4. (1)求a，b的值； (2)利用(1)的结果化简求值：(a－b)2－(a＋2b)·(a－2b)＋2a(1＋b)． 【答案】（1）；（2）2a＋5b2，－1 【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）根据整式的混合运算化简代数式，然后把a，b代入计算即可． 【详解】(1)由T(1，－1)=－2，T(－3，2)=4，得：a－2b－1=－2，－3a＋4b－1=4，即，解得：． (2)原式= = =2a＋5b2． 当a=－3，b=－1时，原式=2×(－3)＋5×(－1)2=－1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、整式的混合运算，掌握二元一次方程组的解法、整式的混合运算法则是解题的关键． 78．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一次方程与方程组78道计算题专项训练（13大题型） 题型一 解含分母的一元一次方程 题型二 解含绝对值的一元一次方程 题型三 代入消元法 题型四 加减消元法 题型五 二元一次方程的解 题型六 整体换元解二元一次方程组 题型七 一元一次方程的整数解问题 题型八 方程组同解计算问题 题型九 解含参的二元一次方程组 题型十 构造二元一次方程组计算 题型十一 三元一次方程组的解法 题型十二 一元一次方程的新定义计算 题型十三 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 解含分母的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）解下列方程： (1) (2) 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）解下列方程 (1) (2) 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程： (1) (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 5．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3) (4) (5) (6)的值比的值小1，求的值． 6．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）小明与小红两位同学解方程的过程如下： 小明： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 小红： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)小明与小红在解方程中均出现了错误； 小明出错的步骤是第___________步、小红出错的步骤是第___________步； (2)写出正确的解答过程． 【经典计算题二 解含绝对值的一元一次方程】 7．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）解方程：． 8．（2025七年级上·安徽合肥·模拟预测）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 10．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 11．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【经典计算题三 代入消元法】 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程组： (1) (2) 14．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）用合适的方法解下列方程组： (1) (2) 15．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 16．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 18．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）用适当的方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【经典计算题四 加减消元法】 19．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）解方程组：． 20．（24-25七年级上·安徽池州·期中）解方程组：． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 22．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 23．（25-26七年级上·安徽宣城·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 24．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【经典计算题五 二元一次方程的解】 25．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）若是关于的二元一次方程，求的值． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段练习）解方程组： (1) (2) 27．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解下列方程组： (1)； (2)． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 30．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【经典计算题六 整体换元解二元一次方程组】 31．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 32．（24-25七年级上·安徽池州·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 33．（24-25七年级上·安徽六安·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 35．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，． 原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【经典计算题七 一元一次方程的整数解问题】 37．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 38．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）（1）关于，的二元一次方程组满足，求的值； （2）关于，的二元一次方程组的解为整数，求正整数的值． 39．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有整数解，求整数m的值． 40．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 41．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1． 另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小2． 若（，且a、b为整数） (1)当时，则 ， ； (2)若p能被11整除，求的值． 42．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【经典计算题八 方程组同解计算问题】 43．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 45．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 46．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，求，的值． 48．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【经典计算题九 解含参的二元一次方程组】 49．（2025七年级上·安徽池州·模拟预测）若二元一次方程组有无数组解，求k的条件． 50．（2025七年级上·安徽蚌埠·模拟预测）关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 51．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 52．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 53．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【经典计算题十 构造二元一次方程组计算】 55．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，当时，；当时，．求，的值． 56．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 57．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值． 58．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 59．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 60．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用． 比如解方程组， 解：把②代入①，得，所以． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． 尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！ ． 【经典计算题十一 三元一次方程组的解法】 61．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程组： 62．（24-25七年级上·安徽池州·期末）三元一次方程组的解是 ． 63．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）解方程组： (1)；（用代入法解） (2)； (3)． 64．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）（1）解方程组； （2） （3）解三元一次方程组． 65．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）用合适的方法解方程组： (1) (2) (3) (4) 66．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【经典计算题十二 一元一次方程的新定义计算】 67．（24-25七年级上·安徽池州·期末）“” 是新规定的某种运算符号，设，求中x的值． 68．（24-25七年级上·安徽六安·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 69．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）对于整数，，，，定义，如：，当时，求的值． 70．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）我们定义一种新运算：（等号右边为通常意义的运算）： （1）计算的值； （2）解方程：． 71．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）对于有理数a，b，规定一种新运算：． (1)计算：． (2)若方程，求x的值． 72．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若“”表示一种新运算，规定． 例如：． (1)计算： (2)若，求的值 【经典计算题十三 二元一次方程组的新定义计算】 73．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 74．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 75．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 76．（2025七年级上·安徽安庆·模拟预测）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a、b是常数，已知． (1)求a、b的值； (2)若，求y的值． 77．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ax＋2by－1(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a·0＋2b·1－1＝2b－1.已知T(1，－1)＝－2，T(－3，2)＝4. (1)求a，b的值； (2)利用(1)的结果化简求值：(a－b)2－(a＋2b)·(a－2b)＋2a(1＋b)． 78．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $