4.3 三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据高考评价体系覆盖两角和差、倍角公式推导及恒等变换应用，结合三年考情明确高频考点分布（如2023新课标Ⅰ卷T8、T17），通过分考点梳理（化简、求值、求角）和例题解析，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题导向+技巧提炼+素养培养”，以2024新课标Ⅰ卷真题为例，解析拆角拼角与辅助角公式综合应用，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号运算），课时作业分层设计助学生掌握答题节奏，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第四章　三角函数、解三角形 4.3　三角恒等变换 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.经历推导两角差的余弦公式,能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷 T8,T17 新课标Ⅰ卷T4   新课标Ⅱ卷T7 新课标Ⅱ卷 T13,T15 全国二卷T8 必备知识　回顾 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式) sin(α+β)=_____________________.简记作S(α+β).  sin(α-β)=______________________.简记作S(α-β).  cos(α+β)=_____________________.简记作C(α+β).  cos(α-β)=______________________.简记作C(α-β).  tan(α+β)= _____________ .简记作T(α+β). tan(α-β)= _____________ .简记作T(α-β). 知识梳理 sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β 必备知识 回顾 返回 (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) sin 2α=___________.简记作S2α.  cos 2α=________________=_____________=____________.简记作C2α. tan 2α=.简记作T2α. 2sin αcos α cos2α-sin2α 1-2sin2α 2cos2α-1 必备知识 回顾 返回 2.简单的三角恒等变换 (1)降幂公式 sin2α=__________. cos2α=__________. sin αcos α=____________.  sin 2α 必备知识 回顾 返回 (2)升幂公式 1+cos α=________. 1-cos α=________. 1+sin α=_______. 1-sin α=_______. (3)辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ= ,tan φ=. 2cos2 2sin2 必备知识 回顾 返回 1.常用的拆角、拼角技巧 (1). (2). (3). (4). 2.正切公式的常用变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (2)tan αtan β=-1=1-. 知识拓展 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(　 　) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　 　) (3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β),且对任意角α,β都成立. (　 　) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. (　 　) 基础检测 √ √ × √ 必备知识 回顾 返回 2.(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知α∈,若cos 2α=,则sin α=_____. 解析:因为cos 2α=,所以1-2sin2α=,即sin2α=,又α∈,所以 sin α=-. - 必备知识 回顾 返回 3.(人教A版必修第一册P229习题5.5T2改编)已知cos α=,0<α<,则 sin. 解析:由cos α=,0<α<,得sin α=,则sin(sin α+cos α)=. 必备知识 回顾 返回 4.(人教A版必修第一册P219例4改编)若tan α=-3,则tan. 解析:因为tan α=-3,所以tan. 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 三角函数式的化简 【例1】　(1)化简:=(　 　) A.2cos α B.2cos α C.2sin α D.sin α 【解析】　原式==cos α.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)计算:sin 40°(tan 10°-)= (　 　) A.-1 B.- . 【解析】　sin 40°(tan 10°-)=sin 40°·=-=-1.故选A. A 关键能力 提升 返回 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征. 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-. 解析:原式=cos 2αcos 2β= +- cos 2α·cos 2β-. 关键能力 提升 返回 (2)计算:. 解析:== == . 关键能力 提升 返回 考点2 求三角函数值 命题角度1　给角求值 【例2】　(多选)(苏教版必修第二册P70练习T1改编)下列计算正确的是(　 　) A.sin 72°sin 78°-cos 72°sin 12°= B.=1 C.cos4 D.cos275°+cos215°+cos 15°sin 15°= ACD 关键能力 提升 返回 【解析】　对于A,sin 72°sin 78°-cos 72°·sin 12°=sin 72°cos 12°- cos 72°sin 12°=sin(72°-12°)=,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,cos4 ,故C正确;对于D,cos275°+cos215°+cos 15°sin 15°=sin215°+cos215° +,故D正确.故选ACD. 关键能力 提升 返回 命题角度2　给值求值 【例3】　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π, cos,则sin= (　 　) A. C. D 关键能力 提升 返回 【解析】　因为cos α=2cos2,0<α<π,所以<α<π,则sin α=,则sin.故选D. 关键能力 提升 返回 (2)已知α∈,β∈,且满足cos,sin β=,则cos= (　 　) A.- C. A 关键能力 提升 返回 【解析】　cos,,得sin,∵α∈,∴α+,∴cos=,∵sin β=,β∈, ∴cos β=-,∴cos.故选A. 关键能力 提升 返回 1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角来求值. 2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)(2025·湖北武汉二模)若tan=7,则 cos 2α=(　 　) A. C. 解析:由tan=7,可得=7,即=7,解得tan α=,所以cos 2α=.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)(2025·山东菏泽一模)若α∈(0,π),tan 2α=,则sin=(　 　) A.- C. 解析:∵tan 2α=,∴.∵α∈(0,π), ∴sin α≠0,∴,化简得cos α=-,∴α=,∴sin.故选C. C 关键能力 提升 返回 考点3 已知三角函数值求角 【例4】　(1)已知α,β∈,cos2α-sin2α=,且3sin β=sin(2α+β),则α+β=(　 　) A. C. D 关键能力 提升 返回 【解析】　因为cos2α-sin2α=,cos2α+sin2α=1,所以cos2α=,sin2α=,所以cos α=,sin α=,所以tan α=.由3sin β=sin(2α+β),得 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+ β)cos α+cos(α+β)sin α,所以sin(α+β)·cos α=2cos(α+β)·sin α,所以tan(α+ β)=2tan α=,所以α+β=.故选D. 关键能力 提升 返回 (2)已知α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,则α+β=(　 　) A. C. 【解析】　因为α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,所以sin α=,cos β= -,且α∈,β∈,所以α+β∈(π,2π),所以cos(α+β)=cos αcos β-sin α·sin β=-,所以α+β=.故选D. D 关键能力 提升 返回 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　(1)已知0<α<,(1+sin 2α)sincos 2α,则α= (　 　) A. C. 解析:因为sin,(1+sin 2α)sin·cos 2α,所以sincos 2α,则cos,即cos,所以,所以2α+,解得α=.故选B. B 关键能力 提升 返回 (2)(苏教版必修第二册P72练习T3改编)已知tan α=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β= (　 　) A. C.- C 关键能力 提升 返回 解析:因为tan α=>0,且α∈(0,π),所以α∈,2α∈(0,π).又tan 2α= >0,所以2α∈<0,且β∈(0,π),所以β∈,所以2α-β∈(-π,0),又tan(2α-β)===1,所以2α-β=-.故选C. 关键能力 提升 返回 和差化积与积化和差公式 1.和差化积公式 sin α+sin β=2sin; sin α-sin β=2cos; cos α+cos β=2cos; cos α-cos β=-2sin. 教材深研 关键能力 提升 返回 2.积化和差公式 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 关键能力 提升 返回 【典例】　计算:(1)sin 20°+sin 40°-sin 80°=__. 【解析】　sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°·cos 10°-cos 10°= cos 10°-cos 10°=0. (2)(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°cos 50°=. 【解析】　(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°·cos 50°=(-2cos 30°sin 10°)2 +(sin 70°-sin 30°)=3sin210°+(1-cos 20°)+ . 0 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β= 2,则cos(α-β)=(　 　) A.-3m　　　　B.-　 　D.3m 1. (人教A版必修第一册P255复习参考题5T15(1))已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 考教衔接 A 解析:由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m①,由tan αtan β=2得=2②,由①②得则cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β=-3m.故选A. 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　 　) A. C. 2.(人教A版必修第一册P226练习T2)已知cos θ=,且270°<θ<360°,试求sin的值. D 解析:因为cos α=1-2sin2,而α为锐角,所以sin.故选D. 关键能力 提升 返回 课时作业28 1.(5分)(2025·河北保定二模)若cos 2α=sin2α,则sin α= (　 　) A. C. 解析:因为cos 2α=sin2α,所以1-2sin2α=sin2α,解得sin α=±.故选B. 基础巩固 B 返回 课时作业 2.(5分)(人教B版必修第三册P110习题8-2BT2(1)改编)计算:sin=(　 　) A. 解析:由题意得,sin.故选B. B 返回 课时作业 3.(5分)(2026·北京朝阳区一模)已知sin α+sin β=0,cos α+cos β=,则cos(α-β)=(　 　) A.- C. D.1 解析:由sin α+sin β=0,cos α+cos β=,得(sin α+sin β)2+(cos α+ cos β)2=3,整理得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=3,所以cos(α-β)=.故选B. B 返回 课时作业 4.(5分)(2025·广东广州三模)设tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p≠1)的两根,则= (　 　) A.p B.-p C. 解析:因为tan α,tan β是方程x2+px+p-1=0(p≠1)的两根,所以tan α+tan β= -p,tan αtan β=p-1,且=.故选D. D 返回 课时作业 5.(5分)(2025·江西景德镇二模)已知sin α=2cos,则tan2α-cos2α=(　 　) A. C. 解析:由sin α=2,可得tan α=,则tan2α-cos2α=tan2α-.故选C. C 返回 课时作业 6.(5分)已知θ∈,则-可化简为 (　 　) A.2sin θ B.-2sin θ C.-2cos θ D.2cos θ 解析:因为θ∈,所以sin θ≤cos θ≤0,所以=|cos θ-sin θ|-|cos θ+sin θ|=2cos θ.故选D. D 返回 课时作业 7.(5分)计算:(sin 5°+cos 5°)(1+tan 10°)= (　 　) A. C.2 D. 解析:(sin 5°+cos 5°)(1+tan 10°)=.故选D. D 返回 课时作业 8.(5分)若α,β∈,且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是(　 　) A.2α+β= C.α+β= A 返回 课时作业 解析:因为α,β∈,所以sin α≠0,由(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,可得2sin2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,即sin α(1+sin β)=cos αcos β,所以 sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以cos(α+β)=cos,因为α,β∈,所以π<α+β<2π,且--α<0,根据函数y=cos x的图象易知α+β=-α+2π(注意:y=cos x在(π,2π)上单调递增,在上单调递增,所以有α+β=-α+2kπ,k∈Z),则2α+β=.根据已知条件无法得到2α-β,α+β,α-β的值.故选A.  返回 课时作业 9.(8分,多选)(2026·江苏南京一模)已知cos α·cos β=,cos(α+β)=,则(　 　) A.sin αsin β= B.cos(α-β)= C.tan αtan β=- BC 返回 课时作业 解析:对于A,由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得 sin αsin β=-,故A错误;对于B,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故B正确;对于C,tan α·tan β=,故C正确;对于D, sin 2αsin 2β=2sin α·cos α·2sin βcos β=4sin αsin β·cos αcos β=4,故D错误.故选BC. 返回 课时作业 10.(8分,多选)(2026·福建福州模拟)已知角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,β的终边经过点P(-sin α,cos α),tan α=2, 则(　 　) A.tan β=- B.β的终边在第二象限 C.sin(α-β)=1 D.cos(α+β)=- AD 返回 课时作业 解析:对于A,由题意可得tan β=,故A正确;对于B,由于tan α=2,故α可能是第一象限角或第三象限角,当α是第一象限角时, sin α>0,cos α>0,则P(-sin α,cos α)在第二象限,当α是第三象限角时, sin α<0,cos α<0,则P(-sin α,cos α)在第四象限,即β的终边在第二象限或第四象限,故B错误;对于C,D,由于tan α=2,当α是第一象限角时, sin α=,cos α=,此时β是第二象限角,tan β=-,则sin β=,cos β=-,故sin(α-β)==-1,cos(α+β)=, 返回 课时作业 当α是第三象限角时,sin α=-,cos α=-,此时β是第四象限角,tan β=-,则sin β=-,cos β=,故sin(α-β)=-= -1,cos(α+β)=,故C错误,D正确.故选AD. 返回 课时作业 11.(8分,多选)已知α为锐角,若cos 2α=,则 (　 　) A.sin 2α= B.tan α= C.=4 D.sin AC 返回 课时作业 解析:对于A,因为α为锐角,所以α∈,2α∈,因为cos 2α=,所以sin 2α=,故A正确;对于B,tan α=,故B错误;对于C,=4,故C正确;对于D,由tan α=,易得sin α=,cos α=,所以sin,故D错误.故选AC. 返回 课时作业 12.(4分)(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)求值:. 解析:=tan(15°+60°)=tan 75°= tan(45°+30°)=. 返回 课时作业 13.(4分)(2025·陕西渭南三模)已知sin(α+β)=,tan α=3tan β,则sin(α-β)=. 解析:由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=①,由tan α=3tan β,可得,即sin αcos β-3cos αsin β=0②,联立①②可得cos αsin β=, sin αcos β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=. 返回 课时作业 14.(4分)(2025·江苏宿迁二模)已知sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,则cos(2α+β)=__. 解析:依题意sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,若sin β=0,则cos 2α=0,而 sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0,与sin22α+cos22α=1矛盾,所以sin β≠0, cos 2α≠0,所以,则cos 2αcos β-sin 2αsin β=0,即cos(2α+β)=0. 0 返回 课时作业 15.(5分)已知sin α=,cos(α+β)=,α,β均为锐角,则cos= (　 　) A.- C. 解析:因为0<α<, 0<β<,所以0<α+β<π.又因为sin α=,所以 cos α=.因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,所以cos.故选B. 素养提升 B 返回 课时作业 16.(4分)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是 . 解析:因为α∈,所以2α∈,且sin 2α=>0,所以2α∈,则cos 2α=-,且α∈,所以β-α∈.又sin(β-α)=,所以β-α∈,则cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α=,所以α+β=. 返回 课时作业 17.(5分)给定实数集合P,Q满足P={x|sin2[x]+sin2{x}=1}(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x}=x-[x]),Q=,则P∩Q=(　 　) A.P B.Q C.⌀ D.P∪Q C 创新训练（多想少做） 返回 课时作业 解析:因为[x]≤x<[x]+1,所以0≤{x}=x-[x]<1,由sin2[x]+sin2{x}=1,可得sin2{x}=1-sin2[x]=cos2[x],所以[x]=kπ++{x},k∈Z,所以P=. 集合Q== = 返回 课时作业 {x|sin 2x-cos2x=1}=,所以sin,所以2x-,k∈Z,或2x-,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z,所以Q=.所以P∩Q=⌀.故选C. 返回 课时作业 本课结束 $