第四章　4.2　三角恒等变换课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角恒等变换专题，覆盖两角和差、二倍角、辅助角公式等核心考点，依据高考评价体系分析公式应用、角的拆分、升降幂等常考题型，归纳近五年高频考点分布，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如以2025年全国Ⅱ卷“角的拆分求值”为例，详解“已知角表示未知角”方法，培养数学思维与推理能力，特设易错点警示（公式条件、角的范围），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

三角恒等变换 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β)：cos(α-β)= .  (2)公式C(α+β)：cos(α+β)= .  (3)公式S(α-β)：sin(α-β)= .  (4)公式S(α+β)：sin(α+β)= .  (5)公式T(α-β)：tan(α-β)=____________. (6)公式T(α+β)：tan(α+β)=____________. cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin β sin αcos β+cos αsin β 2.辅助角公式 asin α+bcos α=_________________，其中sin φ=，cos φ=. 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α= .  (2)公式C2α：cos 2α= = = . (3)公式T2α：tan 2α=__________. 4.半角公式(不要求记忆) sin=±；cos=±；tan=±.符号由所在象限决定. sin(α+φ) 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的公式及二倍角公式的适用范围是任意角. (　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. (　　) (3)对于任意角α，sin 2α=2sin α都不成立. (　　) (4)cos2=(1+cos α)，cos 3α=1-2sin2. (　　) 自主诊断 × √ × √ 2.sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°等于 A.- B. C.- D. √ 解析　sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54° =sin 24°cos 36°+cos 24°sin 36° =sin(24°+36°)=sin 60°=. 3.sin2-cos2等于 A.- B.- C. D. √ 解析　由二倍角的余弦公式可得，cos2-sin2=cos=cos=， ∴sin2-cos2=-. 4.若2cos α-sin α=0，则tan=　　　；tan 2α=　　　.  解析　因为2cos α-sin α=0， 则sin α=2cos α，故tan α=2， 所以tan===， tan 2α===-. - 1.熟记公式的常用变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (2)1±sin α=.(升幂公式) (3)1-cos α=2sin2，1+cos α=2cos2.(升幂公式) (4)sin2α=，cos2α=，tan2α=.(降幂公式) (5)半角正切公式的有理化 tan==. 微点提醒 (6)万能公式 sin α=，cos α=，tan α=. 2.谨防两个易误点 (1)运用公式时要注意公式成立的条件. (2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　(2025·新余模拟)已知sin(α+β)=，cos(α-β)=，则sinsin 等于 A. B. C. D. √ 题型一　三角恒等变换基本公式 命题点1　两角和与差的正余弦与正切 解析　因为sin=sin αcos+cos αsin=(sin α+cos α)， sin=sin βcos+cos βsin=(sin β+cos β)， 所以sinsin=(sin α+cos α)(sin β+cos β) =(sin αsin β+sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β) =[sin(α+β)+cos(α-β)] =×=. 例2　已知α∈，3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于 A. B. C. D. √ 命题点2　二倍角公式的应用 解析　由3sin 2α=cos 2α+1， 得6sin αcos α=2cos2α， 而α∈，即cos α>0，则tan α=， 所以tan 2α===. 例3　已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于 A. B.- C. D.- 命题点3　辅助角公式 √ 解析　f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ)，其中sin φ=，cos φ=， ∵当x=θ时，f(x)取得最大值，∴θ+φ=+2kπ，k∈Z，即θ=+2kπ-φ，k∈Z， ∴cos=cos =cos=coscos φ+sinsin φ =-×+×=. (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；对asin x+bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值. (2)三角函数式的化简，一是要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征；二是要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2026·南昌模拟)化简tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80° 等于 A.tan 65° B.-tan 65° C.1 D.-1 √ 解析　由两角和的正切公式得tan 35°+tan 100°=tan(100°+35°)(1-tan 35° tan 100°) =tan 135°(1-tan 35°tan 100°)=-1×(1-tan 35°tan 100°)=tan 35°tan 100°-1， 由诱导公式得tan 80°=tan(180°-100°)=-tan 100°， 则原式=tan 35°tan 100°-1-tan 35°tan 100°=-1. (2)(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos =，则sin等于 A. B. C. D. 解析　由题意得cos α=2cos2-1=2×-1=-， 因为0<α<π，则sin α===， 所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=. √ 例4　(2025·苏州模拟)已知α，β为三角形的两个内角，cos α=，sin(α+β) =，则β等于 A. B. C. D. 题型二　三角恒等变换求值 √ 命题点1　利用角的拆分求值 解析　因为α，β为三角形的两个内角，且0<cos α=<， 则<α<，sin α==， 因为sin(α+β)=<，<α<α+β， 得<α+β<π， 则cos(α+β)=-=-， 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=， 因为0<β<π，则β=. 命题点2　利用升降幂求值 例5　计算：=　　　　.  -2 解析　原式====-2. 命题点3　统一函数名换元求值 例6　(2021·北京)函数f(x)=cos x-cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值 A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为 解析　由题意，f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x)，x∈R，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2x+cos x+1=+， 所以当cos x=时，f(x)取最大值. √ 利用三角恒等变换求值策略 (1)条件告知某些“已知角”时，一般把“所求角”用“已知角”、特殊角等表示，再利用诱导公式、两角和差公式求值.常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α=+，+α=-，α=(α+β)-β=(α-β)+β，+=等. (2)利用倍角公式升降幂，把所求式子化成同次的三角形式，再利用两角和差公式逆用、同角基本关系式求解. (3)利用同角基本关系式、诱导公式、倍角公式把所求式子化为同名函数，构造关于三角函数的复合函数，利用函数的性质求解. 思维升华 跟踪训练2　(1)(2025·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可 以表示为m=2sin 18°，则=　　　　.  解析　== ===. (2)已知cos=，sin=-，α∈，β∈，则 sin 2α=　　　　，cos(α+β)=　　　　.  - 解析　sin 2α=sin=cos 2=2cos2-1=2×-1=. 由α∈，得α-∈， 又cos=，则sin==， 由β∈，得+β∈， 而sin=-， 解析　则cos=-=-， 所以cos(α+β)=-cos=-coscos+sinsin =-×+×=-. 例7　(1)(链接教材，人教A版必修第一册P230习题5.5T19)若sin(α+β)sin(α-β)=，则cos 2α-cos 2β等于 A. B.- C. D.- 题型三　和差化积与积化和差 √ 解析　方法一　因为sin(α+β)sin(α-β) =sin2αcos2β-cos2αsin2β =(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β) =cos2β-cos2α =-=， 所以cos 2α-cos 2β=-. 方法二　cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×=-. (2)(链接教材，人教A版必修第一册P226练习T4，T5)计算sin215°+cos245° +sin 15°sin 45°的值是 A.1 B. C. D. √ 解析　根据积化和差公式可得sin215°=(cos 0°-cos 30°)=，cos245°=，sin 15°sin 45°=[cos(15°-45°)-cos(15°+45°)]=，则原式=++=. 利用和差化积与积化和差公式，不但能让三角函数的化简求值更为简洁，而且能减少思维量，但是需牢记公式的结构特征，其中正弦、余弦，加减容易混淆，需特别注意. 思维升华 跟踪训练3　计算：cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=　　　　.  解析　cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73° =2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°) =2×cos 26°++cos 26°=-. - 返回 课时精练 一、单项选择题 1.(2026·重庆南岸区模拟)sin 33°cos 27°+sin 57°sin 27°等于 A. B. C.- D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 解析　因为sin 57°=sin(90°-33°)=cos 33°， 所以原式=sin 33°cos 27°+cos 33°sin 27°=sin(33°+27°)=sin 60°=. 2.若tan=-2，则tan α等于 A. B.- C.3 D.-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由tan=-2，即=-2，解得tan α=3. 3.(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α=，则sin等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为α为锐角， 所以sin====. 4.(2025·六安模拟)等于 A.2 B. C.2 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　由和差化积公式得 ====. 方法二　 == =2sin 60°=. 5.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于 A.-3m B.- C. D.3m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 6.(2025·江苏省部分学校模拟)已知2cos(2α+β)-3cos β=0，则tan αtan(α+β)等于 A.5 B. C.-5 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　已知2cos(2α+β)-3cos β=0，可变形为2cos(2α+β)=3cos β， 所以2cos(α+β+α)=3cos(α+β-α)， 即2cos(α+β)cos α-2sin(α+β)sin α =3cos(α+β)cos α+3sin(α+β)sin α， 即5sin(α+β)sin α=-cos(α+β)cos α. 所以=-， 即tan(α+β)tan α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.(2025·景德镇期末)下列式子正确的是 A.= B.=tan C.cos2= D.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　=2×==2，选项A错误； ====tan，选项B正确； cos2===，选项C错误； (1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27° =1+tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2，选项D正确. 8.(2026·连云港模拟)已知α，β∈，cos(α+β)=，sin(α-β)=，则 A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=- C.sin 2α= D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，因为α，β∈，则α+β∈(0，π)，所以sin(α+β)==，故A正确； 对于B，因为α，β∈，且sin(α-β)=>0，则α-β∈，所以cos(α-β)==，故B错误； 对于C，因为2α=(α+β)+(α-β)， 所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)] =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于D，因为====，则=，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.函数f(x)=2sin x+cos x的最大值是　　　　.  解析　f(x)=2sin x+cos x=sin(x+φ)，其中tan φ=，由正弦函数的值域可得其最大值为. 10.(2026·成都模拟)已知sin=，则sin=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由sin=， 得sin=sin =cos 2=1-2sin2 =1-2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(1)化简：(θ为第二象限角)； 解　因为θ为第二象限角， 所以sin θ>0，cos θ<0， = ===-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 (2)求值：sin 50°(1+tan 10°). 解　sin 50°(1+tan 10°) =sin 50° =sin 50°· =sin 50°·= ====1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·无锡期末)已知α，β均为锐角，且sin α=，cos(α+β)=-. (1)求cos β的值； 解　因为α为锐角，且sin α=， 所以cos α==， 因为cos(α+β)=-，且0<α+β<π， 所以sin(α+β)==， 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·无锡期末)已知α，β均为锐角，且sin α=，cos(α+β)=-. (2)求tan(2α-β)的值. 解　由(1)知，cos β=，又β是锐角， 则sin β==， 所以tan α==，tan β==2， 所以tan 2α==-2，所以tan(2α-β)==. 13.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=_____________ (用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°=　　　　.  能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 3sin α-4sin3α 解析　sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α =2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α=2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α =3sin α-4sin3α， 因为sin 72°=sin 108°， 从而2sin 36°cos 36°=3sin 36°-4sin336°， 即2cos 36°=3-4sin236°=3-4(1-cos236°)， 令cos 36°=x，0<x<1，则4x2-2x-1=0， 解得x=或x=(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1-cos(A，B).已知P(cos α， sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，-sin α)，若P，Q的余弦距离为，Q，R 的余弦距离为，且0<α<β<，则cos 2α=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)， 所以cos(P，Q)== =cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)， 所以由题意得1-cos(α-β)=， 同理可得，cos(Q，R)=cos(α+β)， 所以1-cos(α+β)=， 解得cos(α+β)=，cos(α-β)=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为0<α<β<， 所以0<α+β<π，-<α-β<0， 所以sin(α+β)==， sin(α-β)=-=-， 所以cos 2α=cos(α+β+α-β) =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=. 返回 $