4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系及诱导公式”专题，依据高考评价体系明确理解基本关系式、掌握诱导公式两大考查要求，通过近三年考情分析（如2025新课标Ⅱ卷T13、T15）梳理高频考点，归纳弦切互化、和差积转换等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，以2023全国乙卷“tanθ=1/3求sinθ-cosθ”为例，通过“齐次式处理”“平方关系转换”等技巧突破考点，培养学生数学思维和运算能力。设“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第四章　三角函数、解三角形 4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. 2.掌握诱导公式及其应用. 2023 2024 2025         新课标Ⅱ卷 T13,T15   必备知识　回顾 1.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=__. .  知识梳理 1 必备知识 回顾 返回 2.诱导公式 项目 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称 — 正弦 sin α -sin α -sin α ________ cos α ______ sin α cos α 必备知识 回顾 返回 项目 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 余弦 cos α __________ cos α -cos α ________ -sin α 正切 tan α __________ _________ -tan α — — 记忆 规律 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 __________,符号看象限 -cos α sin α tan α -tan α 奇变偶不变 必备知识 回顾 返回 3.同角关系的几种变形 (1)sin2α=____________=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=____________________.  (2)sin α=tan αcos α. (3)sin2 α=. (4)cos2α= . 1-cos2α (1+sin α)(1-sin α) 必备知识 回顾 返回 知识拓展 1.sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三者之间的关系 (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α. (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2. (4)(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　 　) (2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　 　) (3)若α∈R,则tan α=恒成立.(　 　) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(　 　) 基础检测 × × × × 必备知识 回顾 返回 2.(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)如果sin,且α是第四象限角,那么cos=______________. 解析:由sin,又α是第四象限角,所以sin α= -=-,所以cos=sin α=-. 必备知识 回顾 返回 3.(人教A版必修第一册P195习题5.3T6改编)若θ是钝角,tan θ=-2,则 sin θ-cos θ=. 解析:因为tan θ=-2,所以=-2,即sin θ=-2cos θ.因为sin2θ+cos2θ=1,所以5cos2θ=1.因为θ是钝角,所以cos θ=-,故sin θ-cos θ=-3cos θ=. 4.(人教B版必修第三册P26练习AT5改编)若tan θ=,则=____. 解析:因为tan θ=,所以=-1. -1 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 同角三角函数的基本关系 命题角度1　弦切互化 【例1】　(1)已知tan α=-2,α∈(0,π),则sin α= (　 　) A.- C. 【解析】　因为tan α=-2,α∈(0,π),所以角α是第二象限角,则sin α>0,由tan α==-2①,sin2α+cos2α=1②,联立①②可解得sin α=.故选D. D 关键能力 提升 返回 (2)已知tan α=-3,则sin2α-sin 2α=(　 　) A. . 【解析】　sin2α-sin 2α=.故选C. C 关键能力 提升 返回 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可实现角α的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式时,往往转化为关于tan α的式子求解. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度2　和(差)积转换 【例2】　(多选)(人教A版必修第一册P256复习参考题5T24改编)已知 sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则下列等式正确的是 (　 　) A.sin θcos θ=- B.sin θ-cos θ= C.tan θ=- D.sin3θ+cos3θ= ABD 关键能力 提升 返回 【解析】　对于A,将sin θ+cos θ=,∴sin θ·cos θ=-,故A正确;对于B,∵θ∈(0,π),∴sin θ>0, cos θ<0,∴sin θ-cos θ=,故B正确;对于C,由以上可得,sin θ=,cos θ=-,∴tan θ=,故C错误;对于D,sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ+cos2θ-sin θcos θ)=,故D正确.故选ABD. 关键能力 提升 返回 1.同角关系的问题类型及解题策略 规律总结 问题类型 解题策略 核心技巧 弦切互化 齐次式处理 分子、分母同除以cos α 和(差)积 转换 平方关系 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α 恒等证明 从复杂到简单 统一函数名,统一角度 关键能力 提升 返回 2.“sin α±cos α,sin αcos α”关系的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α± cos α)2=1±2sin αcos α, sin αcos α=,sin αcos α=. 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)(2025·四川绵阳三模)已知tan αsin α=3,则tan2α-sin2α的值为(　 　) A. B.3 C.9 D.81 解析:tan2α-sin2α==sin2αtan2α=32=9.故选C. C 关键能力 提升 返回 (2)(2025·湖北孝感三模)已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x- cos x=(　 　) A. C. 解析:因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x,且sin4x+cos4x=,所以1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-,故sin x-cos x= -=-.故选B. B 关键能力 提升 返回 考点2 诱导公式 【例3】　(1)已知sin,则cos的值为 (　 　) A. 【解析】　由题意得,cos.故选B. B 关键能力 提升 返回 (2)(人教A版必修第一册P195习题5.3T7改编)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　 　) A.sin(A+B)=-sin C B.cos(A+B)=cos C C.cos D.sin C 关键能力 提升 返回 【解析】　在△ABC中,有A+B+C=π.对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A错误;对于B,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故B错误;对于C,cos,故C正确;对于D,sin,故D错误.故选C. 关键能力 提升 返回 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0~2π的角的三角函数 锐角的三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)已知sin,则cos=(　 　) A.- 解析:cos.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)化简: =____. 解析:原式===-1. -1 关键能力 提升 返回 考点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例4】　已知0<α<,sin α=. (1)求tan α的值; 【解】因为sin α=,0<α<, 所以cos α=, 故tan α=. 关键能力 提升 返回 (2)求的值. 【解】由(1)知,tan α=, 则= = . 关键能力 提升 返回 1.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简的关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　(1)已知角α终边上一点P(1,2),则 =(　 　) A.2 B.-2 C.0 D. 解析:由题意,知点P(1,2)为角α终边上一点,由三角函数定义可得tan α=2,所以=-2.故选B. B 关键能力 提升 返回 (2)已知sin(5π+α)=5sin,则sin 2α+sin2α=(　 　) A.- 解析:由sin(5π+α)=5sin,可得-sin α=5cos α,即tan α=-5,所以 sin 2α+sin2α==.故选C. C 关键能力 提升 返回 万能公式 (1)sin α=; (2)cos α=; (3)tan α=. 上述三个公式统称为万能公式. 教材拓展 关键能力 提升 返回 【典例】　(1)已知α,β∈(0,π),tan,sin(α-β)=,则cos β=. 【解析】　∵tan ,∴sin α=,cos α=,∵α,β∈(0,π),cos α>0,∴α∈,∴α-β∈,∵sin(α-β)=>0,∴α-β∈,∴cos(α-β)=,∴cos β=cos(-β)=cos(α-β-α)=cos(α-β)cos α+sin(α-β) sin α=. 关键能力 提升 返回 (2)已知6sin2α+sin αcos α-2cos2α=0,α∈,则tan α=__,sin ___________. 【解析】　∵6sin2α+sin αcos α-2cos2α== =0,∴6tan2α+tan α-2=0,解得tan α=-,∵α∈ ,∴tan α=-,cos 2α=,∴ sin. - 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 (2023·全国乙卷文)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=_______. (人教A版必修第一册P185习题5.2T12)已知tan α=,π<α<π,求cos α-sin α的值. 考教衔接 解析:因为θ∈,所以sin θ>0,cos θ>0.又因为tan θ=,所以cos θ=3sin θ,所以cos2θ+sin2θ=9sin2θ+sin2θ=10sin2θ=1,解得 sin θ=(舍去),所以sin θ- cos θ=sin θ-3sin θ=-2sin θ=-. - 关键能力 提升 返回 课时作业27 1.(5分)已知函数sin,则cos=(　 　) A. C. 解析:由题意可得cos. 故选B. 基础巩固 B 返回 课时作业 2.(5分)已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则m的值或取值范围为(　 　) A. C.m=4 D.m=4或m= 解析:∵sin α=,cos α=-,∴=1,∴m=4或m=.∵α为第二象限角,∴>0,-<0,因此m=4.故选C. C 返回 课时作业 3.(5分)已知角α的终边经过点P(-3,4),则cos= (　 　) A.- C. 解析:因为角α的终边经过点P(-3,4),则sin α=,所以cos.故选B. B 返回 课时作业 4.(5分)(2025·安徽池州二模)已知sin α+2cos α=0,则=(　 　) A.4 B.2 C. 解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2,则=tan2α=4.故选A. A 返回 课时作业 5.(5分)(2025·广东肇庆二模)已知α是锐角,,则sin α=(　 　) A. C. 解析:由sin α,由sin2α+cos2α=1得sin2α+=1,化简得()2=0,解得sin α=.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)(2026·安徽合肥一中质量检测)若sin θ·(sin θ+cos θ)=,则tan θ的值为(　 　) A.2或- C.2 D.-2 解析:根据题意可知sin2θ+cos2θ=1,所以(注意:转化为齐次式后,弦切互化),若cos θ=0,则sin2θ=,与sin2θ+cos2θ=1矛盾,故 cos θ≠0,等式左边分子、分母同时除以cos2θ,可得,化简可得3tan2θ+5tan θ-2=0,解得tan θ=-2或tan θ=.故选B. B 返回 课时作业 7.(6分,多选)下列化简正确的是 (　 　) A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α C.=tan α D.=-1 ABD 返回 课时作业 解析:对于A,tan(π+1)=tan 1,故A正确;对于B,=cos α,故B正确;对于C,=-tan α,故C错误;对于D,=-1,故D正确.故选ABD. 返回 课时作业 8.(6分,多选)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的是 (　 　) A.m=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- BD 返回 课时作业 解析:对于A,因为sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,所以由(sin α+cos α)2=sin2α+2sin α·cos α+cos2α,得,解得m=,故A错误;对于B,由α∈(0,π),得sin α>0,由sin α· cos α=-<0,得cos α<0,(sin α-cos α)2=sin2α-2sin α·cos α+cos2α=1+ ,又sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,故B正确;对于C,由 返回 课时作业 ,故C错误;对于D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=,故D正确.故选BD. 返回 课时作业 9.(5分)(人教A版必修第一册P186习题5.2T16改编)已知π<θ<π,化简:. 解析:原式=+ = ,因为π<θ<π,所以sin θ<0,因此原式=. 返回 课时作业 10.(5分)(苏教版必修第一册P191练习T4改编)已知sin(3π+θ)=,则+的值为____. 解析:由sin(3π+θ)=,可得sin θ=-,则原式==18. 18 返回 课时作业 11.(19分)已知f(α)=. (1)化简f(α); 解:f(α)==cos α. (2)若f,求f. 解:由f, 可得cos, 则f. 返回 课时作业 12.(19分)已知函数f(α)=. (1)化简f(α); 解:f(α)===sin α. 返回 课时作业 (2)若α∈,f,求cos的值. 解:因为f(α)=sin α, 所以f, cos= -sin,cos. 返回 课时作业 因为α∈,所以α+,所以cos, 故cos, 因此cos. 返回 课时作业 13.(5分)已知n∈Z,sin,则(　 　) A.cos α+sin α= B.cos α+sin α=- C.sin 2α=- D.sin 2α= 素养提升 C 返回 课时作业 解析:设k∈Z,①当n=4k时,sin=sin(2kπ+α) +cos(2kπ-α)=sin α+cos α=;②当n=4k+1时,sin;③当n=4k+2时,sin=sin(2kπ+π+α)+cos(2kπ+π-α)=-sin α- cos α=,此时cos α+sin α=-;④当n=4k+3时,sin,此时cos α+ sin α=-.综合①②③④,可以排除A,B,(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+ 2sin αcos α=sin2α+cos2α+sin 2α=1+sin 2α=,所以sin 2α=-.故选C. 返回 课时作业 14.(5分)(2025·湖北黄冈二模)已知sin β+cos β=,β∈(0,π),则sin3β-cos3β的值为(　 　) A. . C 返回 课时作业 解析:已知sin β+cos β=,将等式两边同时平方可得(sin β+ cos β)2=.因为sin2β+cos2β=1,所以1+2sin β·cos β=,移项可得2sin β·cos β=,则sin β·cos β=-. 因为β∈(0,π),且sin βcos β=-<0,所以sin β与cos β异号.又因为在(0,π)上,sin β>0,所以cos β<0.因为(sin β-cos β)2=sin2β- 2sin βcos β+cos2β,sin2β+cos2β=1,sin βcos β=-,所以(sin β-cos β)2=1-2.因为sin β>0,cos β<0,所以sin β-cos β>0,那么sin β- 返回 课时作业 cos β=. 根据立方差公式,可得sin3β-cos3β=(sin β-cos β)·(sin2β+ sin βcos β+cos2β).因为sin2β+cos2β=1,sin βcos β=-,sin β-cos β=,所以sin3β-cos3β=. 故选C. 返回 课时作业 本课结束 $