4.6 正弦定理、余弦定理 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理、余弦定理”专题，依据高考评价体系明确了掌握定理变形、面积公式应用、解决三角形度量问题三大考查要求。结合2023-2025年新课标卷考情，梳理出解三角形、判断形状、面积计算等高频考点，通过知识表格化对比、易错判断辨析、真题案例引入，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养渗透”的复习模式，如以2025全国二卷T5为典型题，运用“角化边”“边化角”策略培养逻辑推理素养，总结射影定理应用等解题技巧。特设“答题模板”和“多解对比”，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位薄弱点，提升复习效率。

第四章　三角函数、解三角形 4.6　正弦定理、余弦定理 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.理解三角形的面积公式并能应用. 3.能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷 T17 新课标Ⅰ卷 T15 全国一卷T11 新课标Ⅱ卷 T17 新课标Ⅱ卷 T15 全国二卷T5 必备知识　回顾 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 知识梳理 项目 正弦定理 余弦定理 内容 =2R a2=_______________________; b2=_______________________; c2=_______________________ 变形 (1)a=2Rsin A, b=______________, c=______________; (2)sin A=, sin B=, sin C=; (3)a∶b∶c=_____________________ cos A=; cos B=; cos C= b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 必备知识 回顾 返回 2.三角形解的判断 项目 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 必备知识 回顾 返回 3.三角形中常用的面积公式 (1)S=aha(ha表示边a上的高). (2)S=______________.  (3)S=____________(r为三角形的内切圆半径). bcsin A r(a+b+c) 必备知识 回顾 返回 在△ABC中,常有以下结论: (1)A+B+C=π. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B. (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin;cos. (5)三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. (6)三角形的面积S=. 知识拓展 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比. (　 　) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则a>b. (　 　) (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　 　) (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　 　) 基础检测 × √ × × 必备知识 回顾 返回 2.(人教A版必修第二册P48练习T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2, A=45°,C=75°,则边c=. 解析:B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得,得c=. 3.(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,则A=________. 解析:因为cos A=,所以A=120°. 120° 必备知识 回顾 返回 4.(人教A版必修第二册P53习题6.4T10改编)在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于_____. 解析:因为cos A=>0,所以A为锐角,所以A=,sin A=,所以△ABC的面积为. 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】　(1)(2025·全国二卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　 　) A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【解析】　由题意得cos A== ,又0°<A<180°,所以A=45°.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)(多选)(2025·江苏苏州三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b>c,cos B=,a=b,则 (　 　) A.A=B B.A=2B C.b=c D.b=2c BD 关键能力 提升 返回 【解析】　对于A,B,因为cos B=,B是三角形内角,所以sin B>0,且 sin B=b,及正弦定理可得sin A=,又因为sin 2B=2sin B·cos B =2,所以sin A=sin 2B.所以A=2B或A+2B=π.因为b>c,所以B>C,若A+2B=π,又A+B+C=π,则B=C,这与B>C矛盾,所以A=2B,故B正确,A错误.对于C,D,由余弦定理可得b2=,即b2=bc,即bc+c2=0,得b2-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c.因为b>c,所以b=2c,故D正确,C错误.故选BD. 关键能力 提升 返回 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解. (2)求角:利用正弦定理变形公式sin A= 等求解. (3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 规律总结 关键能力 提升 返回 注意:①在实际解题中,往往需要根据设问选择先用正弦定理还是余弦定理.②因为解三角形是求三角形内角与边,所以在利用正、余弦定理解三角形遇到半角或倍角时,通常需要利用三角恒等变换化为一倍角. 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(2025·浙江温州三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求角C的大小; 解:由cos C(acos B+bcos A)=c及正弦定理得cos C(sin Acos B+sin B cos A)=sin C,则cos Csin(A+B)=sin C, 则cos Csin C=sin C. 因为sin C>0,所以cos C=,C∈(0,π),所以C=. 关键能力 提升 返回 (2)点D在边BC上,且CD=2,BD=AD=1,求△ABC的周长. 解:在△ADC中,,解得b=, 在△ABC中,c2=b2+9-2b×3=12-9=3,所以c=,所以△ABC的周长=. 关键能力 提升 返回 考点2 判断三角形的形状 【例2】　(一题多解)在△ABC中,sin A=,则△ABC为(　 　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 A 关键能力 提升 返回 【解析】　方法一　∵sin A=,A+B+C=π,∴sin Acos B-sin Acos C =sin(A+B)-sin(A+C),∴sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin A cos C-cos Asin C,∴cos A(sin B-sin C)=0,∴cos A=0或sin B-sin C=0,又由sin A=可知,sin C-sin B≠0,∴cos A=0,∴A=,∴△ABC为直角三角形.故选A. 方法二　记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理的推论及题设条件可得a=,且c-b≠0,化简得(b-c)(b2+c2-a2)=0,∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,∴△ABC为直角三角形.故选A. 关键能力 提升 返回 判断三角形形状的两种常用途径 规律总结 关键能力 提升 返回 注意:①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.②不能随意约掉公因式,要移项、提取公因式,否则会有遗漏一种形状的可能. 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(多选)(人教B版必修第四册P20复习题B组T1改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有 (　 　) A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有两解 B.若0<tan A·tan B<1,则△ABC一定是钝角三角形 C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形 D.若a-b=c·cos B-c·cos A,则△ABC是等腰三角形或直角三角形 BCD 关键能力 提升 返回 解析:对于A,由正弦定理,得,得sin B=,因为b<a,所以B<A,所以B为锐角,所以△ABC有唯一解,故A错误;对于B,若0<tan A·tan B <1,则tan A>0且tan B>0,所以A,B均为锐角,tan(A+B)=>0,所以A+B为锐角,C为钝角,则△ABC一定是钝角三角形,故B正确;对于C,若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,则A-B=B-C=C-A=0,所以A=B=C,则△ABC一定是等边三角形,故C正确;对于D,若a-b=c·cos B-c·cos A,则由正弦定理得sin A-sin B=sin C·cos B-sin C · cos A,又A+B+C=π,所以sin(B+C)-sin(A+C)=sin C·cos B-sin Ccos A,整理得(sin B-sin A)·cos C=0,所以sin B-sin A=0或cos C=0,即B=A或C=,故△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD. 关键能力 提升 返回 考点3 三角形的面积问题 【例3】　(2025·山东潍坊二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)·cos B=bcos A. (1)求角B的大小; 【解】因为(2c-a)cos B=bcos A, 所以由正弦定理得(2sin C-sin A)·cos B=sin Bcos A, 所以2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B). 因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 所以2sin Ccos B=sin C. 因为sin C>0,所以cos B=. 因为B∈(0,π),所以B=. 关键能力 提升 返回 (2)若△ABC外接圆的半径为,且2c-a=2,求△ABC的面积. 【解】因为△ABC外接圆的半径为, 所以由正弦定理得, 由(1)知B=,即,所以b=2, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以a2+c2-ac=4, 将a=2c-2代入上式,得c2-2c=0. 因为c>0,所以c=2,则a=2,所以S△ABC=. 关键能力 提升 返回 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积. (2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系. (3)已知与三角形面积有关的关系式解三角形:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　(2025·山东济宁二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(2-cos B)=b(1+cos A). (1)求证:b+c=2a; 证明:因为a(2-cos B)=b(1+cos A),所以由正弦定理得sin A(2-cos B)= sin B(1+cos A),即2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A, 所以2sin A=sin B+sin Acos B+cos Asin B,所以2sin A=sin B+sin(A+B), 所以2sin A=sin B+sin C,由正弦定理得2a=b+c. 关键能力 提升 返回 (2)若△ABC的面积为bc,求证:△ABC为等边三角形. 证明:因为bc, 所以sin A=. 因为2a=b+c,所以A为锐角,所以A=. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc, 将a=,代入上式化简得b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形. 关键能力 提升 返回 任意三角形中的射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名为射影定理. 证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD, 故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B, 同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A. 教材拓展 关键能力 提升 返回 【典例】　(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcos C+ csin B,且△ABC的面积为1+,则b的最小值为 (　 　) A.2　　　 B.3　　　 C. 【解析】　由射影定理a=bcos C+ccos B和条件a=bcos C+csin B,得sin B= cos B,又B∈(0,π),所以B=,又S△ABC=1+,所以,即ac=4+2ac= 4,当且仅当a=c时取等号,所以b的最小值为2.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为 (　 　) A.2 C.4 【解析】　由a=bcos C及射影定理a=bcos C+ccos B,得ccos B=0,则cos B= 0,因为B∈(0,π),所以B=,故△ABC为直角三角形.又c=6,A=,所以a=6tan,所以S△ABC=.故选D. D 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. (人教A版必修第二册P54习题6.4T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,且△ABC的面积为,求b,c. 考教衔接 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 解:(1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B ,所以accos B=1. 由sin B=,得cos B=(舍去), 所以ac=, 则△ABC的面积S=. (2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知 ,即b2=,得b=. 关键能力 提升 返回 课时作业32 1.(5分)(2025·安徽合肥三模)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=7,则cos(A+B)= (　 　) A.- C. 解析:依题意,cos(A+B)=-cos C=-.故选C. 基础巩固 C 返回 课时作业 2.(5分)(2025·河南郑州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=30°,a=,b=2,则角C为 (　 　) A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或 105° 解析:由正弦定理得,即,则sin B=,故B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-45°-30°=105°;当B=135°时,C=180°-135°-30°=15°.故选D. D 返回 课时作业 3.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bc=3a2,且b+c=a,则sin A= (　 　) A. C. 解析:由bc=3a2,b+c=a(注意:已知三边关系,用余弦定理可求角的三角函数值),得cos A==,又A为△ABC的内角,所以sin A>0,所以sin A=.故选B. B 返回 课时作业 4.(5分)(2025·辽宁辽阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为 (　 　) A.4 C.4 D.8 解析:在△ABC中,因为a=5,b=7,c=4,所以cos B=,所以sin B=,因此,△ABC的面积为S△ABC=.故选A. A 返回 课时作业 5.(5分)(人教A版必修第二册P53习题6.4T10,T18改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,B=,△ABC的面积为,则b=(　 　) A. B.2 C. D.3 解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2ac,因为a=c,所以b2=4c2-3c2,得b=c.又S△ABC=,所以c=,所以b=c=.故选C. C 返回 课时作业 6.(5分)在△ABC中, 记角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若acos A-bcos B= sin(A+B+C),则△ABC是 (　 　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析:因为acos A-bcos B=sin(A+B+C)=sin π=0,所以acos A=bcos B,所以sin A·cos A=sin B·cos B,所以sin 2A=sin 2B.因为A,B∈(0,π),所以sin A> 0,sin B>0,所以cos A,cos B符号相同,若cos A≤0,则cos B≤0,而这会导致A+B≥π,这与三角形内角和矛盾,从而只能0<A<,0<B<,所以0<2A<π,0<2B<π,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D. D 返回 课时作业 7.(6分,多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,锐角C满足sin C=,则 (　 　) A.△ABC的面积为3 B.cos C= C.c= D.cos B= BC 返回 课时作业 解析:对于A,在△ABC中,因为a=3,b=4,且sin C=,由三角形的面积公式,可得S△ABC=,故A错误;对于B,由C为锐角,且sin C=,可得cos C=,故B正确;对于C,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4=19,解得c=,故C正确;对于D,由余弦定理的推论得cos B=,故D错误.故选BC. 返回 课时作业 8.(6分,多选)根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是(　 　) A.b=8,c=4,C= B.b=5,c=7,C= C.a=10,b=5,B= D.a=20,b=15,B= BC 返回 课时作业 解析:对于A,由正弦定理得,解得sin B=1,根据B∈(0,π),可得B=,显然不满足内角和为180°,故A错误;对于B,由正弦定理得,解得sin B=,根据B∈(0,π),且B<C,仅存在一个锐角B满足sin B=,故B正确;对于C,由正弦定理得,解得sin A=1,根据A∈(0,π),可得A=,显然满足唯一解,故C正确;对于D,由正弦定理得,解得sin A=,根据A∈(0,π),且B<A,可得一个锐角A和钝角A都满足题意,故D错误.故选BC. 返回 课时作业 9.(5分)(一题多解)(人教A版必修第二册P53习题6.4T16改编)在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcos C+csin B,则B= . 解析:方法一(所给等式每一项都有齐次的边,可考虑边化角)　因为a= bcos C+csin B,所以sin A=sin Bcos C+sin Csin B(注意到等号右侧有sin Bcos C,故拆左侧的sin A,可进一步化简).又sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C= sin Bcos C+sin C·sin B,所以cos Bsin C=sin Csin B.因为0<C<π,所以sin C>0,所以cos B=sin B,故tan B=.又0<B<π,所以B=. 返回 课时作业 方法二(右侧有bcos C,若将左侧的a用射影定理代换掉,可抵消一部分)　由射影定理a=bcos C+ccos B及题意,可得bcos C+ccos B=bcos C+csin B,则ccos B=csin B,故tan B=,又0<B<π,所以B=. 返回 课时作业 10.(5分)(2025·广东广州三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若=2,b+c=2acos B+2acos C,则△ABC的面积为. 解析:由=2,得=2,解得bc=1,同理,由b+c=2acos B+2acos C,得b+c=2a·,即b+c=,由bc=1,得b+c=a2(b+c)+c+b-(b+c)(b2-bc+c2),化简可得b2+c2-a2=1,则 cos A=,则sin A=,所以△ABC的面积S=. 返回 课时作业 11.(19分)(2025·山西晋城二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A+B)=2sin2A-1. (1)求证:C=2A; 解:证明:由三角形内角和A+B+C=π及二倍角的余弦公式cos 2A=1-2sin2A, 可得cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, 即-cos C=-cos 2A,则cos C=cos 2A. 又A,C∈(0,π),2A∈(0,2π),所以C=2A,或C+2A=2π, 因为A+C<π,所以C+2A<2π,故C=2A. 返回 课时作业 (2)若a=2,B=135°,求c; 解:由(1)知C=2A,又B=135°,所以A=15°,C=30°, 由正弦定理,得, 所以c==4cos A=4cos(45°-30°)=. (3)若a=,b=2,求c. 解:由正弦定理,得, 则c=cos A,所以cos A=, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得3=12+c2-2×2,解得c=3. 返回 课时作业 12.(19分)(2025·山东济南三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos2B+bsin Asin B=2b. (1)求; 解:由题意及正弦定理得sin Acos2B+sin B·sin Asin B=2sin B, 即sin A(cos2B+sin2B)=2sin B, 因为cos2B+sin2B=1,所以sin A=2sin B.由正弦定理,可得,所以. 返回 课时作业 (2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D,cos C=,BD=2,求△ABC的面积. 解:由cos C=,得⇒5b2-c2=b2⇒4b2=c2⇒c=2b. 因为a=2b,所以a=c,△ABC为等腰三角形,等腰三角形三线合一,所以BD⊥AC. 在Rt△BCD中,sin C=,即,解得b=. 因为a=2b,所以S△ABC=2b×bsin C, 将b=,sin C=. 返回 课时作业 13.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,角B的平分线交边AC于点D,则的值为 (　 　) A. 1 素养提升 A 返回 课时作业 解析:如图,因为△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,所以,解得AC=8.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,解得BC=7.因为BD平分∠ABC,所以=.故选A. 返回 课时作业 14.(5分)(2025·广东佛山一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则. 解析:因为,所以sin B·sin Ccos A+2sin Asin Ccos B= 3sin A·sin Bcos C,所以bc,整理得3c2=a2+2b2,故. 返回 课时作业 本课结束 $