精品解析：江苏连云港市海州区2025—2026学年度第二学期期中学业质量调研八年级数学试题

江苏连云港市海州区2025−2026学年度第二学期期中学业质量调研八年级数学试题 温馨提示： 1．试题共6页，全卷满分150分，数学考试总时间100分钟． 2．请考生在答题卡上规定区域内作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．每题只有一个正确答案，请把答案写在答题纸上） 1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是不可能事件的为（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 水中捞月 D. 水涨船高 3. 某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（ ） A. 该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B. 每一个新品种稻穗是个体 C. 抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D. 100个新品种稻穗是样本容量 4. 如图，在中，连接对角线，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 6. 如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 平面直角坐标系中，为平面内一点．若、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形，则下列点的坐标不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案写在答题纸上） 9. 在统计活动中，一般有两种调查方法：普查和抽样调查．调查一批新型电动车电池的使用寿命，适宜的调查方式是__________． 10. 如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 11. 小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 12. 如图，在中，，过点B、D分别作，垂足分别为E、F．若，则的长为__________． 13. 如图，在中，延长至点，使得，过中点作（点在点右侧），且，连接DF．若，则的长为__________． 14. 如图，在正方形的内部，作等边三角形，则__________ 15. 某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 16. 如图，在矩形中，分别在上，沿将矩形折叠，如果点恰好与点重合，那么的长为__________． 17. 如图，四边形、、均为正方形，点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，若，则点的坐标为__________． 18. 如图，在矩形纸片中，，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是__________． 三、解答题（本大题共有9小题，共96分，请把答案写在答题纸上） 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为对角线的格点正方形； （2）在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； （3）在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 20. 为了解八年级学生最喜欢的球类运动，以便合理安排活动场地，在八年级学生中随机抽取了若干名学生，对其喜欢的球类运动进行调查，调查的结果如下： （1）本次抽样调查的人数为__________，其中，喜欢乒乓球的有__________人； （2）扇形统计图中，喜欢排球一项的圆心角为，则喜欢排球的人数为__________，补全条形统计图； （3）估计全年级名学生中，有多少人喜欢其他球类运动？ 21. 某批篮球的次质量检验结果如下表： 抽取的篮球球数 优等品的频数 优等品的频率 （精确到） （1）填空：__________；__________（结果精确到）； （2）请在图中补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图． （3）这批篮球“优等品”概率的估计值大约是__________（结果精确到）． 22. 如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 23. 如图，矩形，是对角线． （1）尺规作图：作菱形，使顶点E、F分别在矩形的边上；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形边长． 24. 如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 25. 如图1，在菱形中，，过点作的垂线，垂足为，交对角线于，连接． （1）求的长； （2）如图2，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数表达式； （3）在（2）的条件下，当点在边上运动时，是否存在这样的值，使与互余，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 （1）当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 （2）当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 （3）由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 27. 如图1，在正方形中，点、分别在、上，连接、，交于点，且． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点为的中点时，连接，求证：是等腰三角形； （3）如图3，正方形的边长为，，将沿着方向平移至位置，交于点，连接、、，当时，则__________，__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏连云港市海州区2025−2026学年度第二学期期中学业质量调研八年级数学试题 温馨提示： 1．试题共6页，全卷满分150分，数学考试总时间100分钟． 2．请考生在答题卡上规定区域内作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．每题只有一个正确答案，请把答案写在答题纸上） 1. 下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念． 2. 下列事件中，是不可能事件的为（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】C 【解析】 【详解】解：必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件， A瓜熟蒂落，B旭日东升，D水涨船高都是一定发生的事件，属于必然事件， 水中捞月一定不会发生，属于不可能事件． 3. 某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（ ） A. 该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B. 每一个新品种稻穗是个体 C. 抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D. 100个新品种稻穗是样本容量 【答案】A 【解析】 【详解】统计中，所要考察对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中抽取的部分考察对象叫做样本，样本中个体的数目叫做样本容量． A、该新品种水稻所有稻穗的长度是总体，符合题意； B、每一个新品种稻穗的长度是个体，不符合题意； C、抽取的100个新品种稻穗的长度是总体的一个样本，不符合题意； D、样本容量是100，不符合题意． 4. 如图，在中，连接对角线，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 5. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 6. 如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 7. 平面直角坐标系中，为平面内一点．若、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形，则下列点的坐标不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中点坐标公式、平行四边形的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：设点， 由 当为对角线时，的中点坐标为，此时，两点连线为另一条对角线，此时中点坐标为， ∴，解得， ∴，此为符合条件的一种情况； 当两点连线为一条对角线时，此时中点坐标为，此时，两点连线为另一条对角线，此时中点坐标为， ∴，解得， ∴，此为符合条件的一种情况； 当两点连线为一条对角线时，此时中点坐标为，此时，两点连线为另一条对角线，此时中点坐标为， ∴，解得， ∴，此为符合条件的一种情况． 综上，点D可能的坐标为，和，故不符合条件的是选项D． 8. 如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设平行四边形的面积为，则，由图形可知，，将、、代入，即可得． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，， ∴， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案写在答题纸上） 9. 在统计活动中，一般有两种调查方法：普查和抽样调查．调查一批新型电动车电池的使用寿命，适宜的调查方式是__________． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】需要根据普查和抽样调查的适用场景进行判断，调查具有破坏性的对象时，不适宜采用普查. 【详解】解：普查得到的调查结果比较准确，但当调查具有破坏性，或调查范围过大、耗费过多人力物力时，适合选择抽样调查． 调查新型电动车电池使用寿命的过程具有破坏性，无法对全部电池进行测试，因此适宜的调查方式是抽样调查． 10. 如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【解析】 【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可． 【详解】解：设每个小等边三角形的面积为， ∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为， ∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积， ∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率． 11. 小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：最高气温的极差为． 12. 如图，在中，，过点B、D分别作，垂足分别为E、F．若，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得． 13. 如图，在中，延长至点，使得，过中点作（点在点右侧），且，连接DF．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点H，连接，可知是的中位线，再说明四边形是平行四边形，则此题可解． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴点E，F，H共线． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 14. 如图，在正方形的内部，作等边三角形，则__________ 【答案】135 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得，再根据等边三角形的性质得，然后求出，接下来根据等腰三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据频数，频率和总数的关系求出射中10环的频数，再利用所有分组的频数之和等于总次数，计算射中9环的频数即可． 【详解】解：由题意可知，总射击次数为． 根据频率，可得射中10环的频数为： ． 因为所有分组的频数之和等于总次数，所以射中9环的频数为： ． 16. 如图，在矩形中，分别在上，沿将矩形折叠，如果点恰好与点重合，那么的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，由折叠，得，再根据勾股定理，得到，即，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 17. 如图，四边形、、均为正方形，点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，若，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合直线解析式依次求出，，坐标，结合题意即可得点的坐标． 【详解】解：直线与轴交于点， 令，得， ， 四边形是正方形， ， ，， 当时， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 当 时， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． 18. 如图，在矩形纸片中，，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】要使剪掉的等腰直角三角形的面积最大，需要它的斜边最大，以为斜边作等腰直角三角形，延长交于，得是等腰直角三角形，作于，得是等腰直角三角形，在矩形中剪去，，得到四边形，此时剩余部分面积的最小，即可解答． 【详解】解：如图， 以为斜边作等腰直角三角形，延长交于，得是等腰直角三角形，作于，得是等腰直角三角形， 在矩形中剪去，，得到四边形，此时剩余部分的面积最小， ∵，，， ∴， 即， 解得， 即， 解得， ∴剩余部分面积为． 三、解答题（本大题共有9小题，共96分，请把答案写在答题纸上） 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为对角线的格点正方形； （2）在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； （3）在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）连接，使，再依次连接，则四边形即为所求； （2）根据菱形的判定解答，使； （3）以为底边，以4为高线，可得平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，四边形即为所求． 20. 为了解八年级学生最喜欢的球类运动，以便合理安排活动场地，在八年级学生中随机抽取了若干名学生，对其喜欢的球类运动进行调查，调查的结果如下： （1）本次抽样调查的人数为__________，其中，喜欢乒乓球的有__________人； （2）扇形统计图中，喜欢排球一项的圆心角为，则喜欢排球的人数为__________，补全条形统计图； （3）估计全年级名学生中，有多少人喜欢其他球类运动？ 【答案】（1）， （2），图见解析 （3）全年级名学生中约有人喜欢其他球类运动 【解析】 【分析】本题考查统计图的理解与分析，收集已知数据得到未知数据，补全条形统计图，用样本估计总体等知识点． （1）由统计图中数据得到本次调查的学生人数，再根据喜欢乒乓球的人数的占比得到喜欢乒乓球的人数． （2）根据扇形统计图中喜欢排球的人数所占的圆心角为，得到喜欢排球的人数，再计算出喜欢其他球类运动的人数，即可补充出条形统计图． （3）计算出样本中喜欢其他球类运动的人数占比，用总人数乘计算出的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：学校本次调查的学生人数为：（人）， 喜欢乒乓球的有：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：喜欢排球的人数为：（人）， 喜欢其他球类运动的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 八年级学生喜爱的球类运动条形统计图， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：全年级名学生中约有人喜欢其他球类运动． 21. 某批篮球的次质量检验结果如下表： 抽取的篮球球数 优等品的频数 优等品的频率 （精确到） （1）填空：__________；__________（结果精确到）； （2）请在图中补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图． （3）这批篮球“优等品”概率的估计值大约是__________（结果精确到）． 【答案】（1）， （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算公式计算即可； （2）根据检验结果补全折线统计图即可； （3）计算优等品频率的平均数即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ ， ． 【小问2详解】 解：根据检验结果补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图如下： 【小问3详解】 解：由表格可知，这批篮球“优等品”概率的估计值大约是． 22. 如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 23. 如图，矩形，是对角线． （1）尺规作图：作菱形，使顶点E、F分别在矩形的边上；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求菱形边长． 【答案】（1）见解析 （2）菱形边长为． 【解析】 【分析】（1）作对角线的垂直平分线，交矩形的边于点E、F，连接、，则四边形是菱形； （2）在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，四边形是求作的菱形； ； ∵矩形，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， 四边形是菱形， ， 设菱形的边长为， 在中，由勾股定理，得， 解得，． ∴菱形边长为． 24. 如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【小问1详解】 证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 25. 如图1，在菱形中，，过点作的垂线，垂足为，交对角线于，连接． （1）求的长； （2）如图2，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数表达式； （3）在（2）的条件下，当点在边上运动时，是否存在这样的值，使与互余，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当点P在上时， 当点P在上时， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理得，则此题可解； （2）根据菱形的性质得，再根据“边边边”证明，可得，然后分两种情况：当点在边上时，由（1），根据的面积得出关系式；当点在边上时，由（1），再根据的面积得出答案； （3）连接，根据“等边对等角”得，进而得，再根据“同角的余角相等”得，可得，然后根据可得，最后求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：连接，交于点． ∵四边形是菱形， ． ． ， 在中，由， 得， 解得； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ． 又， ． ． ①当点在边上时，由（1），且， 的面积； ②当点在边上时，由（1），且， 的面积； 【小问3详解】 解：存在． 连接， ， ． ． 在中，， 又， ． 当时，． ． 又∵， ． ． ． 26. 综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 （1）当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 （2）当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 （3）由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 【答案】（1）16 （2）72cm （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案； （3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案． 【小问1详解】 解：连接，相交于点， ， ∵和中间三个全等的菱形边长相等， ∴ ， 在和中，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 当点移动到点的位置时， ． 【小问2详解】 解：连接， 由题意得，． ∵四边形是菱形， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形， 同理可得， ． 答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm． 【小问3详解】 解：当时，， ． ． ． 答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为． 27. 如图1，在正方形中，点、分别在、上，连接、，交于点，且． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点为的中点时，连接，求证：是等腰三角形； （3）如图3，正方形的边长为，，将沿着方向平移至位置，交于点，连接、、，当时，则__________，__________． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质容易证明，则，结合直角三角形的性质和等量代换可得，从而得到，因此； （2）延长交的延长线于点，容易证明，则，由（1）可知，，利用直角三角形的性质可得，命题得证； （3）作于点，连接，设，容易证明，则，，，进而证明，则，，因此．在中，利用勾股定理构造方程，解出，由勾股定理可得．由平移的性质可得，，结合可得，进而判断出是等腰直角三角形，则．利用勾股定理求出，使用面积法求出，则，由等积变形可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 由（1）可知，， ∴为直角三角形， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图，作于点，连接，设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴， 解得， 在中，， 由（1）可知，， 由平移的性质可得，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $