精品解析：广西南宁市宾阳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试 数学 命题人：张善军、毛丽珍、韦碧钰 审题人：黄芗莹 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在四边形中，若，则四边形的形状一定是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 2. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 6 3. 如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与相交 C. ，，，四点中可以有三点共线 D. ，，，四点中不存在三点共线 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（ ） A. 平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B. 三角形在直观图中仍是三角形 C. 菱形的直观图是菱形 D. 梯形的直观图是梯形 5. 在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（ ） A. B. C. 与异面但不垂直 D. 与相交但不垂直 6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（       ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第四象限 D. 复数是方程的一个根 10. 已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 四棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 13. 如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为______米． 14. 当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若的实部与的模相等，求实数的值． （2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 在长方体中，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）设，，写出，在坐标系中的坐标，并求的值． （2）已知，，其中，若，求实数的值． （3）在三角形中，若，，，求． 19. 已知在边长为2的正方形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），且. （1）当时，如图沿，和把这个正方形折成一个四面体，使得，，三点重合于点，则在四面体中： （i）证明：； （ii）求二面角的平面角的余弦值. （2）如图，若正方形的对角线与和分别交于点，两点，证明：三条线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾阳中学高一年级2026年春季学期期中考试 数学 命题人：张善军、毛丽珍、韦碧钰 审题人：黄芗莹 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在四边形中，若，则四边形的形状一定是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案. 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 2. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 可得，即，所以. 3. 如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与相交 C. ，，，四点中可以有三点共线 D. ，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（ ） A. 平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B. 三角形在直观图中仍是三角形 C. 菱形的直观图是菱形 D. 梯形的直观图是梯形 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，B正确； 对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点， 设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图, 根据斜二测画法知, ，, 由余弦定理，， ,显然，即不是菱形，故C错误； 对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行， 且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确. 5. 在正方体中，直线（与直线不重合）平面，则（ ） A. B. C. 与异面但不垂直 D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【详解】在正方体中，因为， 且平面，所以平面， 又因为（与直线不重合）平面，所以. 6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 7. 已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， ， 所以， ，当且仅当，即时取等号，最小值为． 8. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，取的中点，连接，． ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（       ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第四象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的定义和有关概念逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 的共轭复数，故B错误； 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C错误； ， 复数是方程的一个根，故D正确.； 故选：AD． 10. 已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算判断A，利用直角三角形判断B，根据数量积的定义判断C，根据投影向量判断D. 【详解】由 可得， 整理得，A正确． 为的直径，，设，则 ， 所以为等边三角形，，B正确． ，C错误. 向量在向量上的投影向量为，D正确． 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用面面平行的判定定理即可证明；B选项先证明线面垂直，即可判断；C选项利用等体积法即可求解；D选项先找到外接球的球心及半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】分别是的中点，， 平面，平面，平面， 同理可证平面， ，平面，平面， 平面平面，故A选项正确； 在正四棱锥中，易知平面， ，平面，又平面，，故B选项正确； 记，连接，，， ， 是的中点， ，故C选项错误； ，为四棱锥的外接球的球心， 四棱锥的外接球的表面积为，故D选项正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 13. 如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形内角和计算出，再利用正弦定理即可求出答案. 【详解】根据已知条件，，米， 所以，利用正弦定理，则（米）． 故答案为：. 14. 当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围___________ 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的性质易知，故∠即为所求，在中可求，再利用余弦函数的性质即求. 【详解】设正方体棱长为1，，则，连接，， 由正方体的性质可知， ∴∠即为异面直线与所成角， 在中，，， 故， 又， ， 又在为单调减函数， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若的实部与的模相等，求实数的值． （2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 依题意，． 因为的实部与的模相等，所以． 整理得．解得或． 【小问2详解】 因为，且在复平面上对应的点在第四象限， 所以,解得． 所以实数的取值范围是． 16. 在长方体中，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可知，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知 是与平面所成角的平面角，结合题中数据运算求解. 【小问1详解】 连接交于点，则点为的中点， 连接，则， 且平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，可知 是与平面所成角的平面角， 在 三角形中，， 可得，所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【小问1详解】 ， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． 【小问2详解】 由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）设，，写出，在坐标系中的坐标，并求的值． （2）已知，，其中，若，求实数的值． （3）在三角形中，若，，，求． 【答案】（1）的坐标为，的坐标为，4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜坐标系的定义直接写出、的坐标，利用单位向量夹角计算数量积，即可得到结果； （2）先写出两向量垂直的斜坐标，套用斜坐标系数量积公式列方程，化简求解即可； （3）先写出的斜坐标，用斜坐标数量积公式与模长公式，代入夹角公式即可求得. 【小问1详解】 因为，， 所以在坐标系中的坐标为，在坐标系中的坐标为， 且. 【小问2详解】 依题意可知，在斜坐标系中，，夹角为， 对于向量， 数量积公式为： ； 因为，， 又因为，所以， 代入斜坐标数量积公式得， ． 解得，． 【小问3详解】 由题意可知，，， 所以，， ，， ， ． 19. 已知在边长为2的正方形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），且. （1）当时，如图沿，和把这个正方形折成一个四面体，使得，，三点重合于点，则在四面体中： （i）证明：； （ii）求二面角的平面角的余弦值. （2）如图，若正方形的对角线与和分别交于点，两点，证明：三条线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）先证明且，从而得平面，进而得证；（ii）由（i）得是二面角的平面角，接着求出线段的长即可得解. （2）先设，接着由且得，再求证、和以及即可得证. 【小问1详解】 （i）连接正方形中的交于点， 则由正方体性质得， 又因为，， 所以，即分别为在对应边的中点， 所以，故，即且， 又平面， 所以平面，又平面， 所以. （ii）由（i）及题意可得是二面角的平面角， 且， 所以，又， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可设， 则，， 由正方体性质可知且， 所以且， ①且②， 所以由①②得， 因为， 所以； 因为， 所以； 因为在上单调递减， 而当时，，故时， 所以， 所以由线段，和一定可以构成一个三角形，记该三角形为， 又， 即，又，所以， 所以线段，和一定可以构成一个三角形，并且这个三角形中一定有一个角等于. 【点睛】思路点睛：判断三条线段能否构成一个三角形的依据是三角形两边之和大于第三边，所以要证明线段，和一定可以构成一个三角形需求证、和，可先设，接着由且求得，再一一计算求证、和即可得证；再计算求证即可得证这个三角形中一定有一个角等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $