精品解析：广西南宁市第三十三中学2025-2026学年下学期期中段考高一数学试卷

南宁市第三十三中学2026年春季学期段考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可. 【详解】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 5. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，， 解得， 则圆锥的高为， 因此该圆锥的体积， 故选：D 6. 如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：记AC∩BD=O，则MN∥OD1，利用线面平行的判定可得MN∥平面BD1D． 详解： A：和是异面直线，故选项不正确； B：和是异面直线，故选项不正确； C：记AC∩BD=O． ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点， ∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=CD， ∴MNOD1为平行四边形， ∴MN∥OD1， ∵MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D， ∴MN∥平面BD1D． D：由C知，而面和面相交，故选项不正确； 故答案为C. 点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断. 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 8. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 二.多选题（本大题共3小题，每题6分，共计18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 和是平行直线 B. 和是相交直线 C. 和是异面直线 D. 和是相交直线 【答案】ABC 【解析】 【详解】连接 . 正方形中，分别是的中点，所以// ； 同理// ； 所以// ，所以四边形 是平行四边形， 所以和是平行直线，即A正确； 延长，交直线于点；延长，交直线于点. 取的中点，连接，则// ， 所以；故 , 连接，则 ,所以.故 , 所以两点重合，即和交于点，即和是相交直线，所以B正确. 平面 ，直线不过点，所以和是异面直线，所以C正确. 平面 ，直线不过点，所以和是异面直线，所以D不正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断. 【详解】对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若___________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 代入运算， 所以，解得， 所以. 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合面积关系可得，进而求的面积. 【详解】如图所示， 由题意可知：， 因为， 则， 即，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设复数，为实数. （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 由题意，为纯虚数，则需满足： 由，解得 或 ， 由 ，解得 且 ， 综上， 故当 时， 是纯虚数. 【小问2详解】 因为复数 ， 所以复数 ， 又因为 在复平面内对应的点在第三象限，所以： 由 ，解得 ， 由 ，即 ，解得 或 ， 取两者的交集，得 ， 故实数 的取值范围是 . 16. 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的定义，由已知的模长和夹角求出，再根据向量模长的平方等于向量自身的平方，将转化为，展开后代入已知条件计算，最后开方得到结果； （2）根据向量垂直的性质，得到两向量的数量积为0，展开后建立关于的方程，求解得到参数的值即可. 【小问1详解】 ， 又，， ， 【小问2详解】 ， 又∵ ， 解得. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，再代入已知等式后约去非零的，得到的值​，结合，最终求得即可； （2）先根据三角函数关系求出和，再利用正弦定理求出，然后求出，最后根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理：（为外接圆半径）， 可得 ，， 因为，所以. 即. 又，所以，即. 又因为，得. 【小问2详解】 因为，即，所以， 又因为，将代入可得： ，即，，， 因为，所以是锐角，则，那么， 又因为，，所以，则， 因为， 因为，，，所以， 根据三角形面积公式，将，，代入可得： . 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可. （2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理的变形得， 又，所以. 【小问2详解】 由得，且， 所以， 所以， 因为，从而， 所以，从而. 即的取值范围为. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）96 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥， 解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解； 解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解. （3）将长方形， 和 展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 连接，则，因为，所以， 所以正方形中，可得， 又因为，在中，， 故四棱锥的侧面积为， 又由正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． 【小问2详解】 解法1：在直角中，可得，则， 又由，同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 如图所示，过点作底面的高，垂足为， 因为底面是正三角形，故是正三角形的重心，可得, 所以，即三棱锥的高为， 所以． 解法2：如图所示，作于点，于点． 则， 其中， 所以． 解法3：转换法，由 , 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 如图所示，将长方形， 和 展开在一个平面， 可得， 设， ，所以， 所以，， ， 当四点共线时，最短， 所以， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十三中学2026年春季学期段考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本大题共3小题，每题6分，共计18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，正方体中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 和是平行直线 B. 和是相交直线 C. 和是异面直线 D. 和是相交直线 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 11. 在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，则为钝角三角形 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若___________． 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设复数，为实数. （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数； 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $