内蒙古高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章-第八章8.5

**基本信息** 内蒙古高一数学阶段测试（必修二第六章-第八章8.5），融合教材原题（如第6题）、例题改编（如第3题）及原创题（如第11题正四面体切割），梯度覆盖复数、向量、解三角形、立体几何，考查数学抽象、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、向量垂直（1、2题）|教材原题（6题）、例题改编（3题）| |多项选择|3/18|向量结论、解三角形（9、10题）|原创正四面体切割（11题）| |填空题|3/15|纯虚数、三角形面积（12、13题）|教材原题旋转向量（14题）| |解答题|5/77|解三角形、立体几何体积（15、18题）|原创解三角形与内切圆（17题）|

命题双向细目表 内蒙古高一数学下学期阶段测试命题双向细目表 题号 题型 分值 考查内容（核心知识点） 核心素养导向 难度水平 预估得分率 创新元素说明 1 单选题 5 复数的乘法、除法运算 数学运算 容易 0.95 2 单选题 5 平面向量共线的坐标运算 数学运算 容易 0.95 3 单选题 5 余弦定理解三角形 数学运算 容易 0.83 4 单选题 5 复数的概念 逻辑推理，数学运算 容易 0.8 5 单选题 5 正弦定理，判断三角形形状 逻辑推理 容易 0.8 6 单选题 5 平面与平面平行的定义及判定定理。 直观想象、逻辑推理 中等 0.75 7 单选题 5 平面向量的加法运算及数量积运算 数学运算、逻辑推理 中等 0.65 8 单选题 5 空间几何体外接球表面积。 直观想象、逻辑推理 中等 0.63 9 多选题 6 平面向量综合知识。 逻辑推理，数学运算 中等 0.63 10 多选题 6 判断三角形形状，三角形解的个数问题、面积问题，考察三角形综合知识。 逻辑推理，数学运算 中等 0.63 11 多选题 6 空间直线与平面平行的性质应用，几何体体积比问题，内切球问题。 直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算 难 0.42 12 填空题 5 复数的概念运算。 逻辑推理，数学运算 容易 0.87 13 填空题 5 余弦定理与面积公式的综合应用。 数学运算 容易 0.87 14 填空题 5 新定义向量坐标运算。 逻辑推理、数学建模、数学运算 中等 0.72 15 解答题 13 正弦定理解三角形余弦定理求边长。求三角形面积问题。 逻辑推理，数学运算 容易 0.90 16 解答题 15 平面与平面平行的判定定理，几何体求表面积。 直观想象、逻辑推理、数学运算 中等 0.85 17 解答题 15 解三角形，根据中线长求边长，求三角形面积及内切圆半径。 逻辑推理，数学运算 中等 0.75 18 解答题 17 三棱锥的体积，直线与平面平行的性质，相似三角形，线段和的最小值问题。 直观想象、逻辑推理、数学运算 较难 0.41 19 解答题 17 正弦定理，三角恒等变换，解三角形及利用函数单调性求范围。 逻辑推理、数学建模、数学运算 困难 0.3 $内蒙古高一数学下学期阶段测试 （人教A版必修二第六章第八章8.5） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知为虚数单位，若，则=( ) A. B. 5 C. D. 2.已知向量，若,则的值为 （ ） A. -7 B. 7 C. D. 3.（例题改编）在中，，，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 4.已知为虚数单位，复数（），且，则k的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 5.在中，角A,B,C所对的边分别为,若,则的形状为（ ） A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. （教材原题）平面与平面平行的充分条件可以是（ ） A. 内有无穷多条直线都与平行 B. 直线，，且直线a不在内，也不在内 C. 直线，直线，且， D. 内的任何一条直线都与平行 7.在中，，为边的垂直平分线，与交与点为上异于的任意 一点.则的值为 （ ） A. B. C. D. 不确定 8.已知正四棱台中，，，侧棱，则该正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 试卷第1页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9.已知非零向量，下列结论正确的是 ( ) A. 若，则 B. ，则 C.若，则 D. 若与共线，则 10.在中，内角A,B,C所对的边分别为,下列结论正确的是 （ ） A. 若,则为锐角三角形 B. 若,则A 为锐角 C.若,则面积的最大值为 D. 若,则有两解 11.（原创）如图一块木料为正四面体， ,点P在平面VAC内，用过点P的平面截该木块，下列结论正确的是 （ ）第11题图 A. 若，则截面为平行四边形 B.若，则截面为梯形 C.当P为三角形VAC重心时，且,则把木块分成上下两部 分的体积比为8:19 D.若把木块切割成木球，则该木球的体积最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12.复数z与 都是纯虚数，则= 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则_____. 14.（教材原题）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 16.（原创） 17.（原创）已知△ABC的内角的对边分别为，面积为，. (1)求A的大小; (2)点D为边BC的中点，且，求△ABC内切圆的半径. 18.（原创）在正四棱柱中，.点P在棱上，且， 平面，M为棱BC上的动点. 求：（1）三棱锥的体积 （2） 线段的长； （3） 的最小值，并求此时的值. 19．（学科网）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 试卷第4页1 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古高一数学下学期阶段测试答案与解析 (人教A版必修二第六章~第八章8.5) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D C D A AC BC ACD 1.答案：D 【详解】：2=器- =牡= 4+31-21=10i=2-i,故选D。 5 5 2.答案：A 【分析1：=(&y)石=(&2y),1方台xx2+yy2=0可解。 【详解小：：a=(2,-,万=(&+1,3)，若1台6-(x+1)=0,x=7,故选A。 3.答案：C 【详解】：由余弦定理=+c2-2acc0sB,·64=49+c2-2c 整理得：c2-2c-15=0解得：c=5,故选C。 4.答案：B 【详解】：：z<0,÷ k2-3k<0 ,·k=3,故选B。 k2-5k+6=0 5.答案：C 【分析】：由正弦定理及三角恒等变换可得。 r 详解】：由正弦定理a品=i品=iic及acosB-bcosA=c得：sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sin(A “A+B+C=π，÷A=受，放选C。 。6答案：D【分析】：由直线与平面平行的定义和判定定理可得。 ·【详解】：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中：设为平面ABB1A1,B为平面DCCD1可知A错； 。B选项：设AB1为直线a可知B错； C A B B 。C选项：设AB为a,CB1加，故C错故选D. ·7答案：C分析：由向量的加法、减法运算及数量积定义可解。 。 【详解小：由图可A正=A⑦+D龙， :DE⊥CB :A正.CB =(Ai+D·c成 =A⑦.cB =AB+AC)·(AB-AC) =(丽-c个=-3 故选C ·8答案：A ·【分析】：用过AA,CC1的平面截该四棱台，得梯形AA1CC用梯形外接圆求解，设上底面外接圆半径r,圆心为 【详解】：如图：：AB=2,AB1=4A1C1=22,AC=4W2,A01=V2,A01=2W2, 。 过A1作A1MLAC,交AC于M,则AM=V2, ·:AA=5,AM=1,00,=1于是A0,=《回+1=5<A0,于是球00在如图位置。 R 2-(2W2+d ① 设00=d,则： 解得：R=厚， R2=(2+1+d@ 球的表面积为：S=4πR2=57π，故选A. 9.答案：AC 【详解】：A选项：：(a)=牙，…a.石=目·问cos=-同 :(a+可1五，：(a+·万=a.万+同=-0=0，化简得：目=，故A正确： B选项：(a+(a-)=甘-G=0,得目=问，放B错误 C选项：曲+司=点-可，两边平方得：甘+2a.+=甘-2后.乙+， 化简得：a.b=0,即点1b,故C正确： D选项：若与品共线，则∈R,故D错误。综上，AC正确。 10.答案：BC 【详解】：A选项：取A=吾，B=牙，此时sinA>cosB显然成立， 此时△ABC为钝角三角形，故A错误。 B选项：由余弦定理推论：c0sA=“。2>0,A为锐角，您正确。 C选项：由余弦定理：=F+c2-2bcc0s4 =b2+c2-bczbc 当且仅当b=c时取等号时bc有最大值A,此时△ABC的面积S△ABc=bcsinA =V3,故C正确。 D选顶：由正技定理：s如B=-号-号>1成时无解， 故D错误。综上，答案为BC。 11.【详解】：A选项：设平面an平面VAC=N,n平面ABC=EF, Q∩平VAB=EN,∩平IVBC=F。 :ACIa,VBI,÷ACII MN,ACI EF,÷MNIEF 同理可得：ZN I MF 于是四边形MNEF为平行四边形，故A正确： B选项：如图，可知B错误 V B C选项：如图，当P为△VAC重心时，VM:VC=2:3 于是△NQ△ABC,且面积比为4：9，三棱锥V-NQ与V-ABC高的比为2：3 :体积比为8：27， V B 棱台ABC-NQ的体积Vv-ABc-Vv-NQ=号Vv-ABC ·上下两部分体积比8：19)，故C正确 D选项：可以把该达项成正四面体的内切球同题，当AB=5a时，侧败：面-Ac= 4 面积：S=45433,内切球半径R三影二= 4一 于是球的最大体积情()=型，迦正确故选ACD, 12【答案】：y17 【分析】：由z为纯虚数，设(z=bi以b∈R,即可求解 【详解】：设z=bi(beR,则(z-1)+2i=(bi-)+2i=1-b2+(2-2b)i :(z-1)+z2为纯虚数，÷1-b2=0解得b=±1， 当b=1时，(z-1)+2i=0eR,舍去 故b=-1,即z=-于z+1-3-1-4=V12+(-4=V7 13.【答案】要 【分析】：由余弦定理及面积公式即可求得 【详解： :S=是-b=22 ab.cosC=多absinC 4 4 :tanc =-1 C E(O,π AC = 14.【答案】(0，-1) 【分析】先通过题意求出AP的坐标，再利用OP=AP+OA得结果， 【详解】解：由已知AB=(√2，-2√2)， （em(引2mm}acm》l-) :AP=0P-0A,OP=AP+0A=(-1,-3)+(1,2)=(0,-1),·点P的坐标为(0，-1) 15.【答案】(1)4青(2)渠 (1)【详解】：由正弦定理可得：asin B=bsinA—(1分) 由V3bco4-asinB 于是：bs74-V3bc0s4 .(3分) :b>0,ta4=V3 (4分) A∈f0,,A-号 (6分) (2):a=7,A=号，b+c=4 于是，由余弦定理：a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c)2-3bc....(8分) ∴.7=16-3bc:bc=3--(10分) .△ABC的面积：S=bcsinA.......(11分) 3y3 .(13分) 16.【答案】(a>1+写 (2) 见【详解】 【详解】(1)(1)当BAD=90时，直四棱柱为正方体 :M是CD中点，÷△ADM兰△D1DM,S△ADM=SAD,DM=克X1X支=幸1分 三角形ADD1的面积为SAADD,=克X1X1=克2分 :AM2=AD2+DM2,AM=号，D,M=ξ :AD1=AD2+DD1=2,·AD1=V2。 由余弦定理的推论可：得COSZAMD,=wA=日 2AMD M sinzAMD=V1-COSLAMD =25 ·△AMD,的面积为：SAMD=×(停)x9= 4 .…4分 :三棱(D1-ADM的表面积为： S表=S△ADD,+S△ADM+S△D,DM+SAAMD1 =支+字x2+9 =1+9 .6分 2证明：：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长都为1，：四边形ABCD是菱形， 连接AP,MQ.在D1C1上取点G,使D1G=D1C1,连接PG,DG D C D M B :A1B1ID1C1,A1P=A1B1,÷A1PID1G且A1P=D1G, :四边形APGD是平行四边形，·AP‖DG且AP=DG, :QeD1C1,且D1Q=3QC1,÷GQ=C1D1 :M是DC中点，C DICD.且CD1=CD,DMIGQ且DM=GQ,:四边形DMQG是平行四边形，： :APIIMQ且AP=MQ,÷四边形APQM是平行四边形，·AMIPQ. :PQ￠平面AD1M,AMC平面AD1M,÷PQ‖平面AD1M10分 取C1D中点H,连接CH,则HMC.且D1H=MC, ÷四边形CMD1H是平行四边形，÷D1 MCH。:C1Q=幸D1C1,:Q是HC1中点. :N是CC中点，NQI HC,÷NQID M :NQ￠平面AD1M,D1MC平面AD1M,÷NQ平面AD1M。13分 :NQn PQ=Q,÷平面AD1M平面PQN15分 17.【答案】(1)4青(2)55-回 【详解】1)：△ABC的面积为S=V3 c cos A,且b=2 ：V3cc0sA=克×2csnA—3分 化简得：tan4=V5 5分 :A∈(0，mA=晋 6分 (2):D为BC中点，AD=四，·2d=A+一7分 两边平方得：4A2=A2+Ad2+2ABAC: 8分 于是：19=c2+2c+4解得：c=3一9分 由余弦定理：a2=b2+c2-2bcc0sA=7一10分 a=V7.11分 :5.a48c=V5cos4=9-12分 设△ABC的内切圆半径加， 则：S=r(a+b+c) -13分 解得：r=品-。回 6 -15分 18.【答案】(1)青 (2 (3)V10 【详解：（①）在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，C1D11侧面BCC1B1 三棱锥B1-BCD1即为三棱锥D1-BCB1,÷C1D1为三棱锥D1一BCB1的高 且CD1=1 -1分 :△BCB1的面积S=BC·BB1=1一2分 :三棱锥D1-BCB1的体积为V=专·S·C1D1=专一3分 (2)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中侧面BCC1B1为矩形 :BPLB1C,垂足为E,∠EBC+∠BCE=90 :∠BPC+∠PBC=90°，·∠BCE=∠BPC4分 :∠BBC=∠BCP=90,△B,BC△BCP,骺= :AA1=2BC=2 BC=1,BB1=2 PC=克—6分 B BlIC C, ·∠BB1E=∠PCE,∠B1BE=∠CPE,∠BEB1=∠CEP △BBE~△PCE,“骺=品=8分 B BID D :四边形BDD1B1是平行四边形 :.BDII B D- _9分 :B1D1C平面B1CD1,BDt平(B1CD1,·BD川平面B1CD1一10分 :平面BDPn平面B1CD1=EF,BDC平面BDP,:BDEF.一11分 :品=，…路=，“器=月 :BD=2,EF=号 -13分 (3)》 把正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面BB1C1C展开，使得四边形ABCD与四边形BB1C1C在同-个平面内，如 C M B Bi 连接DB1,设DB1∩BC=M,此时DM+MB1最小. "AD=1,AA1=3,DB1=V10, 即DM+MB)的最小值N10一15分 DC I BB, ·∠CDM=∠B1B1M,∠DMC=∠B1MB, ：△DCM△B1BM—16分 “器=器=主一17分 19.【答案】(1)2 (2) (3)(0,1 【详解】(1)如图所示， A-0= 2,所以C=日= A=π-2 6 CD CD 1 -=2 BD AD sin0 sin 3分 6 B D (2)设C=0>0,CD=1,则AD=sin0,B=T-20, 2 所以在△ABD中，有D=BD sinB sine sine BD 所以m行20 sin6,所以BD=sin0 cos20' 又因为CD=3,所以BD=sin0= 6分 BD cos20 3 所以3sin20=cos20=cos20-sin20→3tan20=1-tan20, 因为8=号20≥030<0<至所以m8}9分 B (3)设C=0,则4=T+日，B=元-20，设外接圆半径为2R,则 c=2Rsin0,a=2Rsin +0=2Rcos0,b=2Rsin 2 -20 2 =2Rcos20 B D 因为LACB=∠BAD,所以△ABD-△CBA,因此 D=9所以AB=BD,BC,所以BD=4 AB BC BC ≥2RSin28 cos0 11分 sin20 sin20 +cos220 所以c2-BD2+b2 cose -=sin20(1-tan20)+cos220=sin20(1-tan20)+ 1-tan2 a2+c2 sin0+cos20 1+tan20 -(1-tan0) n+1-tan --m0 sin20 1-tan20 (1+tan sin20 +cos20 (1+tan9)月 =(1-tan20 tan20 1-tan20 十 =(1-tan20） 1+tan0 13分 tan20+11+tan20) 1+tan20)】 设an0=,则由己知可知0e（0,),所以xe0,l, 所以-BD+62 a2+c2 -1+ '0+2=(x) 取6e0,则+2++2+-经0， <2 所以+2+>+2+>2，所以0 2 <1 1>1-2 +2+1 1 x2+2+ ,所 专*24了>12 +24>0 因为1>1-x>1-x>0,所175+2+>1-512 所以fx)>∫(x2),所以∫(x)在(0,1上单调递减， 所以f(x)∈(f,f0)=(0,.1),即c2-BD+6的取值范围是0,117分 a2+c2