精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2023-2024学年度第二学期高一年级第一次月考（3月） 数学 满分 150 份 时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 求出的解集（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数周期为 B. 函数在上为增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数关于点对称 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“为奇函数”是“”的（　　 ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C D. 7. 已知则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 当时，在上有3个零点 D. 若在上单调递减，则的最大值为9 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B C. D. 10. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 11. 若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 是函数图象一个对称中心 12. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，均为锐角，则___ ． 14. 的值是__________. 15 已知，则=___________. 16. 若函数，对任意实数都有，则实数的值为______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 化简求值： （1） （2）化简 18. 已知， （1）化简函数 （2）若，求和的值 19. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. 20. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 21. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下时间累计为多少秒？ 22. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期高一年级第一次月考（3月） 数学 满分 150 份 时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得： . 故选：D 2. 求出的解集（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出正弦函数的图象，找到所对应的正弦函数值，结合正弦函数的周期性求得的范围，即可求不等式的解集． 【详解】画出正弦函数的图象，如图： ， 等价 因为的周期为， ， 故不等式的解集为 故选：C. 3. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数周期为 B. 函数在上为增函数 C. 函数是偶函数 D. 函数关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确， 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值. 【详解】由诱导公式可得， 故. 故选：D. 5. 已知函数，则“为奇函数”是“”的（　　 ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据奇函数的定义，结合两角和差的余弦公式，求，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若为奇函数，则满足，所以，则有， 则，因为，所以，所以“为奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以. 故选：D 7. 已知则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断角的范围，根据同角的三角函数关系式求得，，再根据两角和的余弦公式即可求得答案. 【详解】因为，，所以，， 又因为，， 所以，， 故， 故选：B. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 当时，在上有3个零点 D. 若在上单调递减，则的最大值为9 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式进行变形，再由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A，将代入函数，即可判断B，由余弦函数的性质可判断C、D. 【详解】由， 其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 又，则，得， 则， 对A，函数的定义域为，，则函数为偶函数，A正确； 对B，，B正确； 对C，当时，，由，得， ，所以可取，当时，在上有3个零点，C正确； 对D，由，解得， 则函数在单调递减， 因为在上单调递减，所以，解得，即的最大值为5，D错误. 故选：D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列四个式子中，计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式判断AB，利用三角函数的差角公式判断CD. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：ACD 10. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项． 【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故C正确，D错误． 故选：AC. 11. 若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 是函数图象的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据函数的图象得到，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 所以，. 因为，所以，. 对选项A，的最小正周期，故A正确； 对选项B，，故B错误； 对选项C，，故C正确； 对选项D，，故D正确. 故选：ACD 12. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，均为锐角，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可． 【详解】因为，均为锐角，所以， 则， 所以. 故答案为： ． 14. 的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用正切的和差公式变形即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：. 15. 已知，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】运用二倍角进行化简，将其转为其次式即可求出结果. 【详解】注意到 ，则， 又， 则 故答案为：. 16. 若函数，对任意实数都有，则实数的值为______. 【答案】或0 【解析】 【分析】先根据对称性求得，，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由知，关于对称， 所以，即，， 又，所以， 当且为偶数时，，解得， 当且为奇数时，，解得， 综上，实数的值为或0. 故答案为：或0 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 化简求值： （1） （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. （2）利用和将整理即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 18. 已知， （1）化简函数 （2）若，求和的值 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可； （2）求出，再进行弦化切即可得到答案. 【小问1详解】 由， 可知 【小问2详解】 由，得即，， 则 19. （1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系结合角的象限，求出、，再代入两角差的余弦公式计算的值. （2）先由求出，再用二倍角正切公式得，结合两角和的正切公式求，根据角的范围确定的值. 【详解】（1）由题意可知， ， 所以 ； （2）因为，， 所以，， 则，所以， 故， ， 故. 20. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求解单调区间； （2）先根据已知条件求出和的值，再利用两角差的余弦公式来求的值. 【小问1详解】 . 由， 解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 已知，则，所以 因为，所以. 所以. 所以 . 21. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 【答案】（1），. （2）100 【解析】 【分析】（1）根据高度的最值确定和，由筒车转动周期求，代入初始条件求，得到关于的三角函数解析式. （2）令解三角不等式，得出一个周期内盛水筒在水面下的时间，结合5分钟的总时长计算累计时间. 【小问1详解】 由图可知，的最大值为，的最小值为， 则， 因筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以 所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟=300秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 22. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的周期公式，即可求得答案； （2）利用换元，，将的根的问题转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性以及周期性得到之间的关系式，继而推出，结合参数的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由得，令，则， 因为，所以， 依题意，在上有三个实根，且， 则，， 所以， 即， 又， 所以， 因为，所以，从而， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：（2）中，要利用换元法，将方程在区间上恰有三个实数根，转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性，即可解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $