2.3 一元一次不等式与一次函数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式与一次函数的关系，第1课时梳理一次函数与方程、不等式的联系及两函数值比较，第2课时延伸至实际应用，形成从基础到应用的知识支架，帮助学生构建完整认知脉络。 其亮点在于通过课堂精要系统整合知识，课堂精练分层设计（基础巩固、强化提高），课堂延伸融入项目式学习（如快递选择问题）。结合数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），实例丰富，能提升学生应用能力，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

第二章　不等式与不等式组 　3 一元一次不等式与一次函数 第二章　不等式与不等式组 　一元一次不等式与一次函数(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)与一元一次不等式、一元一次方程之间的关系： (1)函数值y＝m时，图象是一个点，对应的自变量的取值即方程 　　　 　的解；  (2)函数值y＞m时，图象位于直线y＝m的　　　方，对应的自变量的取值范围即关于x的不等式　　 　　　的解集；  (3)函数值y＜m时，图象位于直线y＝m的　　　方，对应的自变量的取值范围即关于x的不等式　　　 　　的解集。  kx＋b＝m　 上　 kx＋b＞m 下　 kx＋b＜m 2．两个函数值的比较：已知y1＝k1x＋b1(k1≠0)，y2＝k2x＋b2(k2≠0)，且k1≠k2。 (1)当y1＝y2时，满足条件的点有　　　个，即　　　 　　， 此时对应自变量的值是关于x的方程　　　　　 　的解；  (2)当y1＞y2时，直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2的　　　方，此时对应自变量的取值范围是关于x的不等式　　　　 　　　的解集；  (3)当y1＜y2时，直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2的　　　　方，此时对应自变量的取值范围是关于x的不等式　　　　　　　　　的解集。  一　 　函数图象的交点　 k1x＋b1＝k2x＋b2 上　 k1x＋b1＞k2x＋b2 下　 k1x＋b1＜k2x＋b2 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为(　　)。 　　　　 　　　　 　　　　 A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2 C 2．如图所示的是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＞2时，x的取值范围是 (　　)。 A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3 D　 3．如图，已知直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2交于点A，根据图象回答，y1＞y2时，x的取值范围是(　　)。 A．x＞－1 B．x≥－1 C．x＜－1 D．x≤－1 C　 x … －m2－1 1 2 … y … －2 0 n2＋1 … 4．已知一次函数y＝kx＋b，当x取不同值时，y对应的值列表如下(m，n为常数)： 则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为(　　)。 A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定 A 5．一次函数y＝－3x＋12的图象与x轴的交点坐标是　　　　，与y轴的交点坐标是　　　　，当x　　　　时，函数值大于0，当x　　　　时，函数值小于0。  6．如图，一次函数y＝ax＋b(a＞0)的图象经过点A(4，1)，则关于x的不等式ax＋b＜1的解集为　　　　。  (4，0)　 (0，12)　 ＜4　 ＞4 x＜4　 7．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b与正比例函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为　　　　。  x＞3　 强化提高 8．如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y＝2x的图象相交于点A，则关于x的不等式0＜kx＋b＜2x的解集为(　　)。 A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2 9．若一次函数y＝(m－1)x－m＋4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是　　　　　　。  C　 m＜4且m≠1 10． 【数学应用】一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲地到乙地匀速前进，甲、乙两地之间的路程为200 km，两车离甲地的路程y(km)与行驶的时间x(h)的函数图象如图所示。 (1)OA是　　　　行驶过程的函数图象，BC是　　　　行驶过程的函数图象。  慢车　 快车 (2)分别求出表示快车、慢车所行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式。(不要求写出自变量的取值范围) 解：(2)设慢车所行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式是y＝kx， 则5k＝200，解得k＝40， 即慢车所行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式是y＝40x。 设快车所行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式是y＝ax＋b， 则解得 即快车所行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式是y＝100x－200。 (3)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)。在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式(不需要化简，也不需要求解)：慢车行驶在快车前面；慢车与快车相遇；慢车行驶在快车后面。 (3)在2＜x＜4这一时间段内两车均行驶在途中。 慢车行驶在快车前面：40x＞100x－200； 慢车与快车相遇：40x＝100x－200； 慢车行驶在快车后面：40x＜100x－200。 课堂延伸·提升素养 11． 【综合与实践】在学习数学的过程中，及时对知识进行归纳和整理是一个重要的学习习惯。善于学习的小明在学习了二元一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数之后，把相关知识进行了归纳和整理，如下表： 一次函数与方程的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 图示 (1)一次函数的表达式就是一个二元一次方程； (2)点A的横坐标是方程①的解； (3)点B的坐标(x，y)是方程组②的解 (1)函数y＝kx＋b的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式③的解集； (2)函数y＝kx＋b的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式④的解集 (1)请根据方框中的内容在下面序号后面的横线上写出相应的结论。 ①　　　　　　　；②　　　　　　　；  ③　　　　　　　；④　　　　　　　。  (2)如果点C的坐标是(1，3)，那么关于x的不等式kx＋b＜k1x＋b1的解集是　　　　。  kx＋b＝0　 kx＋b＞0　 kx＋b＜0 x＞1 第二章　不等式与不等式组 　一元一次不等式与一次函数(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 一次函数刻画了两个变量之间存在的一种　　 　　关系，而一元一次不等式或一元一次方程则描述了两个变量满足某些　　 　　时的状态。因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式或一元一次方程的问题，也可以利用一元一次不等式或一元一次方程研究一次函数的相关问题。  相互依赖　 特定条件 基础巩固 1．一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，当ax＋b≤0时，x≥2。对于一次函数y＝ax＋b，下列说法不正确的是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　 A．图象过点(2，0) B．图象过点(0，4) C．函数表达式为y＝－2x＋4 D．当y＞0时，x＞2 课堂精练·发展能力 D　 2．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元。若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是(　　)。 A．当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司的租赁费用相同 B．当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车 租赁公司的车比较合算 C．除去月固定租赁费，甲汽车租赁公司平均 每千米收取的费用比乙汽车租赁公司多 D．甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租赁公司少 D 3．某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每份材料收费20元，另收3 000元设计费；乙公司提出，每份材料收费30元，不收设计费。设该单位要制作x份宣传材料，所需费用为y元，则y与x的函数表达式分别是 y甲＝　 　　　　，y乙＝　　　　　。  当这批宣传材料　　　　　　时，选择甲公司较合算；当这批宣传材料 　　　　　　时，两家公司收费相同；当这批宣传材料　　　　　　时，选择乙公司较合算。  20x＋3 000　 30x　 多于300份　 等于300份　 少于300份 4．某校40名师生到海洋馆参观，该海洋馆的门票价格为30元/人，满40人可以购买团体票，票价打八折。学生半价，但不能同时享受两种优惠。请你通过计算帮助他们选择购票方案。 解：设该校参观者中有学生x人，选择购买学生半价票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则 y1＝30×0.5x＋30×(40－x)＝－15x＋1 200，y2＝30×40×0.8＝960。 由y1＝y2，得－15x＋1 200＝960，解得x＝16； 由y1＞y2，得－15x＋1 200＞960，解得x＜16； 由y1＜y2，得－15x＋1 200＜960，解得x＞16。 ∴当学生人数恰好是16时，两种方案所需费用相同；当学生人数少于16时，购买团体票合算；当学生人数多于16且不超过40时，购买学生半价票合算。 强化提高 5．下列两个表格分别给出了一次函数y1＝ax＋b与y2＝mx＋n图象上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值。当y1＞y2时，x满足的条件为(　　)。 A．x＜－2 B．x＞－2 C．x＜0 D．x＞0 B x … －4 －3 －2 … y1 … －1 0 1 … x … －2 －1 0 … y2 … 1 －1 －3 … 6．某工厂要招聘A，B两个工种的工人共150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为1 200元和2 000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？最少工资总额是多少？ 解：设招聘A工种工人x人，则招聘B工种工人(150－x)人，设每月所付的工资总额为y元，依题意得 y＝1 200x＋2 000(150－x)＝－800x＋300 000，且150－x≥2x，解得x≤50。 ∵y随x的增大而减小， ∴当x＝50时，y最小， y最小＝－800×50＋300 000＝260 000， ∴招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为260 000元。 课堂延伸·提升素养 7． 【项目式学习】近几年，我国快递市场跟随电商经济的发展经历了爆发式增长，越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹。那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习。下表是李华帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告(不完整)，请仔细阅读并完成相应任务。 为家人选择更优惠的快递公司活动报告 一、收集信息 　　经了解，我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点。他们邮寄的快递都是寄到省外且质量在10 kg以内，体积一般较小。快递费通常由首重费和续重费组成，以1 kg为单位计费。 　　甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下。 　　甲：首重1 kg收费8元，续重5元/ kg(即所寄物品质量不超过1 kg时收费8元，质量超过1 kg时，超过部分按每千克5元计费)； 　　乙：首重1 kg收费10元，续重4元/ kg。 二、建立模型 1．发现所寄物品的快递费用y(元)与物品质量x(kg)之间存在函数关系，y与x之间的函数表达式为： 当0＜x≤1时，y甲＝8；当x＞1时，y甲＝5x＋3。当0＜x≤1时，y乙＝10；当x＞1时，y乙＝4x＋6。 2．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，两图象交于点A。 三、解决问题 　　我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠。结论如下：…… 解：(1)图象如图所示， 由图象可得A(3，18)。 由图象可知，①当0＜x＜3时，y甲的图象在y乙的图 象下方，则y甲＜y乙， ∴当0＜x＜3时，选择甲快递公司更优惠； ②当x＝3时，y甲＝y乙，此时选择甲、乙快递公司价格相同，可随意选择； ③当x＞3时，y甲的图象在y乙的图象上方，则y甲＞y乙， ∴当x＞3时，选择乙快递公司更优惠。 任务： (1)请将函数图象补充完整(在图中画出y甲，y乙的函数图象)，直接写出点A的坐标，并根据图象推断哪个快递公司更优惠。 (2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决？怎样解决？ (2)此问题还可以借助一元一次不等式和一元一次方程的知识来解决。 由题可得， 5x＋3＝4x＋6，解得x＝3； 5x＋3＞4x＋6，解得x＞3； 5x＋3＜4x＋6，解得x＜3。 ∴当x＝3时，甲、乙快递公司价格相同； 当x＞3时，选择乙快递公司更优惠； 当0＜x＜3时，选择甲快递公司更优惠。 $