精品解析：福建南平市建阳区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

福建南平市建阳区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：①本试卷仅供选用学校使用； ②所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数建立不等式求解即可. 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵的被开方数10不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求． ∵，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ∵，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式． 3. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，5，6 B. 3，4，5 C. D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，验证各选项三边是否满足该关系即可得到结果． 【详解】解：A选项∵，， ∴，因此2，5，6不能构成直角三角形，符合题意； B选项∵， ∴3，4，5能构成直角三角形，不符合题意； C选项∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D选项∵， ∴5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解： 与 不是同类二次根式，不能合并，选项A错误； ，选项B错误； 根据二次根式乘法法则，，计算正确，选项C正确； ，选项D错误． 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不正确； B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不正确； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不正确； 故选C． 【点睛】此题考查了真假命题的判断，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 7. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解． 【详解】解：该多边形的外角和为360°， 故内角和为2160°-360°=1800°， 故（n-2）•180°=1800°， 解得n=12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 9. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，面积的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用可证明出，得到，进而可得到是等腰直角三角形，由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，当时，，即可求解． 【详解】解：. 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简根式和同类二次根式的定义，根据最简根式和同类二次根式的定义即可求解，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 若a，b为实数，且，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得，，再代入即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，则点A的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，根据点的坐标求出、，再利用角角边证明和全等，根据全等三角形的性质可得，，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 点坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，从而可得垂直平分，得，进而可得的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 16. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 二、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简再合并同类二次根式，再求和即可求解． （2）先计算二次根式乘法，再利用平方差公式计算多项式乘法，最后求和即可求解． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解： 原式       ． 18. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 19. 为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 20. 如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：证明与全等，即可得，，由此可证明． 方法二：根据四边形是平行四边形，可得对角线互相平分，再由边的相等关系证明即可． 【详解】方法一： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 方法二： 证明：连接，与相交于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 22. 如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【小问1详解】 解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，． 所以剩余木料的面积是； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． （1）求证：N是边的中点； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识． （1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由等腰三角形的性质即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴N是边的中点； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是． 24. 综合与实践 【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为，，或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形：三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形； （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】（1）不是，是 （2），证明见解析 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （3）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为，，的三角形是型三角形， 【小问2详解】 解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 25. 如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接，若平分，求的度数； （3）如图3，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形，可得，，由，可得，则，即，证明，进而可得； （2）由正方形，可得，由平分，可得，则，由平分，，可得，则，，根据，计算求解即可； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问3详解】 解：如图2，在上取点，使，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建南平市建阳区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：①本试卷仅供选用学校使用； ②所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的是（ ） A. 2，5，6 B. 3，4，5 C. D. 5，12，13 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 7. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，面积的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. ______． 12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 _____． 13. 若a，b为实数，且，则____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，则点A的坐标为_________． 15. 如图，在平行四边形中，，，、相交于点，点为所在直线上一点．连接、，若，则的周长为______． 16. 跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是_______． 二、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 19. 为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 20. 如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 22. 如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． （1）求证：N是边的中点； （2）当，，时，求的长． 24. 综合与实践 【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为，，或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形：三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形； （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 25. 如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接，若平分，求的度数； （3）如图3，连接，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $