精品解析：山东济南市章丘区2025-2026学年第二学期八年级数学学科学情调研试卷

八年级数学学科学情调研 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项A错误，不符合题目要求， B、左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解，故选项B正确，符合题目要求， C、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项C错误，不符合题目要求， D、右边是和的形式，不是因式分解，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、D选项不成立，不符合题意；C选项一定成立，符合题意． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， 与不一定垂直，与不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意； 四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， 故C符合题意； 与不一定相等， 与不一定相等， 故D不符合题意， 故选：C． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先通分，再合并分子后约分得到结果，运用分式基本性质计算即可． 【详解】解：． 7. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解求参数的取值范围，求不等式的解集，以及分式有意义的条件． 先求解分式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零，得到m的取值范围． 【详解】解：∵， 两边同乘， ∴， 化简：， 移项：， ∴， ∴， ∵解为正数，即， ∴，即， ∵分母不为零：， ∴，即， 综上，且， 故选C． 8. 如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形性质求出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的定义以及平行线的判定分析判断，即可解题． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意； ， ， 即，故A选项不正确，符合题意． ， 平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ，故D选项正确，不符合题意． 9. 如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质进行求解． 【详解】解：根据尺规作图操作可得，平分，垂直平分线段， ∴点到边的距离相等， ∴， ∴． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠EAP＝∠CAQ， 又∵AE＝AC，AP＝AQ， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝， ∴AB＝， ∵AE＝AC＝， ∴BE＝AB−AE＝， 在Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】设边数为n，根据题意可列出方程进行求解． 【详解】解：设多边形有n条边，由题意得： ， 解得． 12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 13. 如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】作，证明四边形是矩形，从而有，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对的直角边是斜边的一半得出即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵四边形是等腰梯形， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴等腰梯形的周长为． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据图象即可得出答案． 【详解】解：把点代入，得：， 解得：， ∴点， 由图象可得，不等式的解集为． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，由旋转可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得垂直平分，根据三角形面积公式，即可得线段的长． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵ ∴， ∴． 三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式分解因式即可； （2）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 20. 解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘，得， 去括号得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 故是原方程的根． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 去括号得， 解得：， 检验：当时，， 原方程无解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： （1）将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ． 【答案】（1）见解析，，， （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，可得出答案； （3）连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1即为所求； 由图可知，，，； 【小问2详解】 解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 22. 综合与实践 背景 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售． 素材一 某超市计划购进这两种手办共400个，经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元， 素材二 用810元购进“哪吒”手办的个数与用630元购进“敖丙”手办的个数相同． 素材三 其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半． 素材四 “哪吒”手办、“敖丙”手办的售价分别为60元/个、55元/个 （1）问题一：单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）问题二：超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个 “敖丙”手办的进价是35元，单个“哪吒”手办的进价是45元； （2）超市应进“哪吒”手办134个，“敖丙”手办266个，获得最大利润，最大利润为7330元． 【解析】 【分析】（1）设单个 “敖丙”手办的进价是x元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出方程，求解即可； （2）由题意得，求出的范围，再由题意得到与的关系式，分析求解可得答案． 【小问1详解】 解：设单个 “敖丙”手办的进价是x元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 单个 “敖丙”手办的进价是35元，单个“哪吒”手办的进价是45元； 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”手办的个数为a个，则购进“敖丙”手办的个数为个，设两种手办全部售完时获得的利润为w元， 根据题意得：， 解得，， 根据题意，， w随a的增大而减小，又a为整数， ∴当时，（元）， 此时（个）， 超市应进“哪吒”手办134个，“敖丙”手办266个，获得最大利润，最大利润为7330元． 23. 【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【小问1详解】 解： 中，常数项，一次项系数， ． 【小问2详解】 ①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 24. 在中，． 【问题发现】 （1）如图1，点是边上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、、则线段与的数量关系：_________，位置关系：_________． 【探究证明】 （2）如图2，点是射线上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、．请判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是外一点，连接、、，当，且时，请求出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得，即可得，从而可得； （2）利用证明得，则易得，从而得，即； （3）将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接．同理由可证明≌，，；由， 可得点在线段上，则由即可求解． 【详解】解：（1）由旋转知，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． （2）判断：． 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴≌， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3所示，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． ∴同理可证≌， ∴，． ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴点在线段上． 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． （1）求直线解析式和点D坐标； （2）点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； （3）若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为， （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可； （2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）分当时， 当时，则点D在线段的垂直平分线上，当时，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点C在轴上点A的右边，， ∴， ∵直线与正比例函数的图象平行， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点P一定在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当时，则点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或； 当时，则点D在线段的垂直平分线上， ∴点是线段的中点， ∴点N的坐标为； 当时，设， ∵， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科学情调研 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 7. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 8. 如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 9. 如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________． 13. 如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为______． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 20. 解分式方程： （1） （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： （1）将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ． 22. 综合与实践 背景 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售． 素材一 某超市计划购进这两种手办共400个，经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元， 素材二 用810元购进“哪吒”手办的个数与用630元购进“敖丙”手办的个数相同． 素材三 其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半． 素材四 “哪吒”手办、“敖丙”手办的售价分别为60元/个、55元/个 （1）问题一：单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）问题二：超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 24. 在中，． 【问题发现】 （1）如图1，点是边上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、、则线段与的数量关系：_________，位置关系：_________． 【探究证明】 （2）如图2，点是射线上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、．请判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是外一点，连接、、，当，且时，请求出四边形的面积． 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． （1）求直线解析式和点D坐标； （2）点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； （3）若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $