精品解析：山东省济南市章丘市2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷卷

济南市章丘区2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 、都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 5. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 6. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 7. 已知，，则多项式的值为（ ） A. 30 B. 11 C. 1 D. 8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解： =__________． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 13. 不等式的所有正整数解的和是________． 14. 如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组，并把它们的解表示在数轴上．并写出不等式组的所有整数解． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，在中，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）求的度数； （2）若，的周长为19，求的长． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 22. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 23. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． （3）已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 24. 如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形． （1）求证：； （2）如图3，若，，且旋转角为时，求的长； （3）如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值． 25. 建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： （1）如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点点和点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市章丘区2024-2025学年第二学期期中考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，理解定义“将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．”是解题的关键． 【详解】解：A、是整式运算，故不符合题意； B、是因式分解，故符合题意； C、不能进行因式分解，故不符合题意； D、不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：B． 3. 、都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键，特别是性质3不等式的两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A、 ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；        B、 ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；        C、∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵，∴当时，不成立，符合题意； 故选：D． 4. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 5. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 6. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打（ ）折． A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 【答案】B 【解析】 【分析】设该自行车最多能打x折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车最多能打x折， 由题意得， 解得：，即最多可打7折． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键． 7. 已知，，则多项式的值为（ ） A. 30 B. 11 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把多项式进行因式分解，再利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解，是解题的关键． 8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集．根据不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围， ∴当时，x的取值范围是， 即当时，x的取值范围是． 故选：C． 9. 已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据有6个整数解，求出a的取值范围即可； 【详解】解不等式组得， ∵不等式组有6个解，0，-1，-2，-3，-4，-5 ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解的知识点，准确分析是解题的关键． 10. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点G，由旋转性质和角平分线定义证明，得到，设，证明四边形是正方形，得到，得到，得到，根据，得到，即得求解． 【详解】解：延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 【答案】3 【解析】 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等．点到直线的距离是指过点作已知直线的垂线段的长度．过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离．根据角平分线的性质可得DE=CD=3． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 13. 不等式的所有正整数解的和是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先解不等式，根据解集得出正整数解，再求和即可． 【详解】解：， ， 所有正整数解为：， ， 故答案为：6． 14. 如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】28 【解析】 【分析】因为四边形ABEH是一个梯形，因为两个直角三角形是完全重合的，所以阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，又因为AB=DE=8，据此求出EH=8-2=6，再利用梯形的面积公式计算即可解答． 【详解】解：（8-2+8）×4÷2=28， 答：图中阴影部分面积为28． 故答案为：28． 【点睛】本题考查了平移的性质，解答此题的关键是明确阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，据此即可解答． 15. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当时，线段的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组，并把它们的解表示在数轴上．并写出不等式组的所有整数解． 【答案】数轴见详解，整数解为：． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，然后画数轴表示，求出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的整数解为：． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． （1）先提取公因式，然后运用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 如图，在中，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识点，掌握所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． （1）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可得，即；最后根据等角对等边即可证明结论； （2）由所对的直角边是斜边的一半可得，再结合、即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵，， ． 19. 如图，，，垂直平分线交于点，交于点． （1）求的度数； （2）若，的周长为19，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由的垂直平分线可得，继而求得的度数，则可求得的度数； （）由是的垂直平分线，，则，，的周长为，从而得，从而求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【小问2详解】 解：垂直平分， ，． ， ∴， ， ， ． 20. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 22. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元 （2）购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质得购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为元， 此时， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 23. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． （3）已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 【答案】（1）； （2）有最大值，且最大值为17； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，根据多项式的前两项配方成完全平方公式，利用非负数的性质求解是解题的关键； （1）根据前两项的情况，分别加9，再减9，利用平方差公式分解即可； （2）先提取负号后，再加1后减1，即可配方，利用非负数的性质即可求得最大值； （3）两式相关，再利用配方法即可判断大小． 【小问1详解】 解： ； 故答案为； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， 即多项式有最大值，且最大值为17； 【小问3详解】 解：； 理由如下： ； ∵， ∴， 即． 24. 如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形． （1）求证：； （2）如图3，若，，且旋转角为时，求的长； （3）如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转得到，根据等边得到即可得到证明； （2）根据，得到，过点E作于点F，根据旋转角得到，得到，再根据正切计算即可得到答案； （3）根据可得，，结合可得，根据得到，，，即可得到，从而得到即可得到，，得到，即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵绕点A顺时针旋转， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 过点E作于点F， ∵旋转角为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形行的性质，三角形全等的性质与判定及三角函数，解题的关键是根据三角形全等得到角相等边相等，结合角度得到等角． 25. 建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： （1）如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点点和点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是等腰直角三角形． 点Q坐标为或或或或． 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出、坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“”可证可得，可得出，，即可求解； （2）根据、坐标，利用待定系数法即可求解； （3）设，分5种情况计算即可． 小问1详解】 解：如图，过点作轴于， ∵直线与轴、轴分别交于两点， ∴当时，，当时， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 设解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 【小问3详解】 在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是等腰直角三角形，理由如下： 设， 当P为直角顶点，Q在上方时，过P作轴交x轴于T，过作于K，如图： 同（1）可证， ∴， ∴ 解得 ∴； 当P为直角顶点，Q在下方时，如图： 可得， ∴， ∴， ∴； 当O为直角顶点，如图： 可得， ∴， ∴， ∴； 当Q为直角顶点时，如图： 由得， 解得， ∴； 同理可得； 综上所述，点Q坐标为或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $