2026年山东省济南市初中学业水平数学考试适应性测试卷

**基本信息** 2026年济南中考数学适应性卷，融合《孙子算经》古题、天宫课堂统计、脱贫攻坚测量等真实情境，通过分层设计考查抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、图形对称、统计波动等|第5题以《孙子算经》相似问题考应用意识| |填空题|5/20|分式、概率、圆的弧长等|第15题矩形动态最值考查空间观念| |解答题|10/90|二次函数综合、几何探究等|第25题分三层次探究等边三角形旋转，第21题天宫课堂统计考数据意识|

2026年山东省济南市初中学业水平数学考试适应性测试卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共7页，25小题考试时间120分钟，满分150分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   ) A． B． C． D． 3．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（    ） A． B． C． D． 4．下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（    ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 5．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图是以O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上．将该纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接，，．设与直径交于点E，若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 8．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 9．如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且，平分，连接，分别交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，二次函数的图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，3，与轴交于点，下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．当分式的值为0时，的值为______． 12．小明设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为，如果他将转盘等分成份，则红色区域应占的份数是________． 13．如图，中，，，以为直径的交于点，则弧的长为________． 14．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 15．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共10小题，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．（本小题满分7分）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为． 求证：． 19．（本小题满分8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 20．（本小题满分8分）如图，在中，，与边，分别交于点，，是的直径，连接，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．（本小题满分9分）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了 名学生． (2)请补全条形统计图． (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 22．（本小题满分10分）某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 23．（本小题满分10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B． (1)求a和k的值； (2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD． ①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值． 24．（本小题满分12分）如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标； (3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离． 25．（本小题满分12分）在三角形中，以，为边在三角形外部作等边三角形和等边三角形，且连接． 【初步尝试】 （1）在图1中，连接，，求证：； 【深入探究】 （2）在图2、图3中，，延长交线段于点． ①如图2，当点为线段的中点时，的值为_______________； ②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，求的值； 【拓展延伸】 （3）在图4中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A A B C D D C 二、填空题 11． 12．6 13． 14． 15． 三、解答题 16．【详解】解：． 17．【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，    原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 18．【详解】证明：四边形是菱形 19．【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ， （米）， 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）如图②，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：（米）， （米）， 答：房屋的高约为米． 20．【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，（已证）， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 21．【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， 故答案为：； （2）解：的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有 8 种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 22．【详解】（1）解：设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元． （2）解：设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得， 解得， 又∵为正整数， ∴m的最小值为14， ∴购买型机器人模型至少为台． 23．【详解】（1）解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上， ∴﹣2×0＋b＝8， ∴b＝8， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8， 将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a， ∴a＝4， ∴B(2，4)， 将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8； （2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8， ∴反比例函数解析式为y＝， 当m＝3时， ∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD， ∴D(2＋3，4)， 即：D(5，4)， ∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E， ∴E(5，)， ∴DE＝4﹣＝，EF＝， ∴＝＝； ②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD， ∴CD＝AB，AC＝BD＝m， ∵A(0，8)，B(2，4)， ∴C(m，8)，D(m＋2，4)， ∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形， ∴Ⅰ、当BC＝CD时， ∴BC＝AB， ∴点B在线段AC的垂直平分线上， ∴m＝2×2＝4， Ⅱ、当BC＝BD时， ∵B(2，4)，C(m，8)， ∴BC＝， ∴＝m， ∴m＝5， 即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5． 24．【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为， 而为直线与抛物线的交点，且在第四象限 则，解得：（负值舍去）， ∴点的横坐标为； （3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点， ∴抛物线， 如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，， 设，， ∵，则， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的表达式为， 又∵，在抛物线上， 则，即，为方程的两个根， ∴， ∴ ∴直线的表达式为， 即点的坐标为，则， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴点到轴的最大距离． 25．【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①如图，延长至，使得，连接 ∵点为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， 在直角中，， ∴； ②当点在边上时，由①可得； 当在边上时，如图，延长交于点，交于点，延长、交于点，连接，交于点，设，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 同理①可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 化简，得， 解得或（负值舍去）， ∴； 综上所述，或． （3）如图，以为边向上作等边，连接、，作于点，以为边作，使得，边交的延长线于点，连接，取的中点，连接、，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 同理（2）可得， ∴，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴为定值，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值． $