精品解析：2026年山西阳泉市 盂县多校联考二模数学试题

中考模拟试题数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 如图，比数轴上点表示的数大1的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：点A表示的数是， ∴比大1的数是， 故选：B ． 2. 如图是由两个木质积木搭成的一个组合体及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图；根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：从左侧看这个几何体可以看到上半部分一个矩形和下半部分一个矩形，右侧看不见的线用虚线表示，这个几何体的左视图为： 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用单项式除法法则，积的乘方法则，同类项的概念，完全平方公式逐一计算判断即可． 【详解】解：对选项A：∵，故A运算正确； 对选项B：，故B运算错误； 对选项C：与不是同类项，不能合并，故C运算错误； 对选项D：，故D运算错误； 4. 2026年3月25日，中船大连造船建造的30.7万吨新一代超大型油船“君望”轮成功交付，这是我国自主研发设计的新一代超大型油船．数据30.7万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：30.7万． 5. 俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小杨头顶到地面的竖直高度为． 6. 某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据各统计量的含义即可选出正确答案． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，一组数据中有一半数据不大于中位数，一半数据不小于中位数；平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数值，方差反映数据的波动程度，这三个统计量都无法直接判断成绩是否超过全校一半学生； ∴小明需要判断自己的成绩是否超过全校一半学生，只需将自己成绩与中位数比较即可， ∴他最应该关注的统计量是中位数． 7. 如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质；连接，由，可得，由为直径，可得，依据即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 故选：C． 8. 若反比例函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合点的横坐标所在象限判断函数值的正负，再根据同一象限内的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数为 ，比例系数 ， ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点的横坐标，对应点在第二象限， ∴， ∵点的横坐标满足，两点都在第四象限， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，是的中位线，平分，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，，然后结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 10. 为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛．花坛设计图如图所示，已知是上两点，以点为圆心画弧，分别与交于点，且直径与相切于点，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪．若，则种植草坪的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,过点作，可知是等边三角形，所以,，可知，弧与线段围成的面积为: ，弧，弧与线段围成的面积为: ，进而可求解． 【详解】解：连接,过点作， 则, ∴是等边三角形， ∴, ∴ ∴, ∴ ∴弧与线段围成的面积为： ∴弧与线段围成的面积为: , ∴弧，弧与线段围成的面积为: ， ∴阴影部分的面积为： ∴种植草坪的面积为． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与合并同类二次根式的能力．先将化简为最简二次根式，与是同类二次根式，然后合并即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 13. 《自叙帖》被誉为“天下第一草书”，依据《自叙帖》制作成如图所示的A，B，C，D四张卡片，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片是A和D的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图所示，把所有等可能结果表示如下， ∴共有12种等可能结果，其中选择A和D的结果有2种， ∴两次抽取的卡片是A和D的概率， 故答案为： ． 14. 某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示．同学们在实验室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值（单位：）随踏板所受压力（单位：）的变化满足我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据．当踏板所受压力为时，其内部压敏电阻的阻值为_____Ω． 2 5 8 11 21 15 9 3 【答案】2 【解析】 【分析】先判断出与满足一次函数关系，再由待定系数法求解函数解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由表格可得，压力F每增加，压敏电阻的阻值均匀减少， ∴与满足一次函数关系 ∴设 则有表格可得， 解得 ∴， 当时，． 15. 如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作,根据正切值可知的长度，进而根据勾股定理可知， 设，可知，进而根据构造方程求解，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, 在菱形中，， ∴,，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 解得：， 则, ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算括号，负指数幂，乘方的结果，再根据实数混合运算法则计算即可； （2）先将因式分解，再提取公因式即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 原方程可变形为， ， ， ，或， ． 17. 践行绿色环保，守护生态环境．2026年3月12日是我国第48个植树节，某校学生会组织七年级和八年级共100名同学开展义务植树造林活动．活动中，七年级学生平均每人植树3棵，八年级学生平均每人植树5棵．若本次植树的总棵数不少于375，求该校学生会最多安排了多少名七年级学生参加本次植树活动． 【答案】62名 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用；根据题意利用植树的总棵数不少于375，列出不等式求解即可． 【详解】解：设该校学生会安排了名七年级学生参加本次植树活动． 根据题意，得． 解得， 是正整数， 的最大值为62． 答：该校学生会最多安排了62名七年级学生参加本次植树活动． 18. 为强化中小学科学实践教育，提升学生科学素养与创新能力，推动科学知识普及与实践技能提升．某校积极响应号召，在全校范围内开展科技普及专题培训，并在普及前和普及后进行科技知识测试（满分分，测试成绩均为整数）．数据整理：该校综合与实践小组的同学随机抽取名学生的测试成绩绘制成如下条形统计图： 普及前和普及后科技知识测试成绩条形统计图 数据分析：该校综合与实践小组的同学对名学生测试成绩的数据进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 普及前 普及后 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________． （2）若该校共有名学生，请你估计普及后成绩不低于分的学生人数． （3）请你根据上述统计图中的信息，评价本次科技普及专题培训的效果，并提出合理化建议．（写出一条即可） 【答案】（1） ， （2）人 （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（）根据加权平均数和众数的定义解答即可求解； （）利用样本估计总体的方法解答即可求解； （）根据数据给出评价和合理化建议即可； 本题考查了条形统计图，平均数和众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得，普及前平均数， 普及后分出现的次数最多， ∴众数， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：， 答：估计普及后成绩不低于分的学生人数为； 【小问3详解】 解：答案不唯一，合理即可，如： 效果：本次科技普及专题培训效果不错，普及后测试成绩的平均数高于普及前； 建议：学校可以适当增加科技专题培训次数，丰富科技专题培训类型． 19. 2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 【答案】每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元 【解析】 【分析】根据题意构造分式方程即可求解． 【详解】解：设每个型机器人的日租金是元，则每个型机器人的日租金是元． 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的根． （元）． 答：每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元． 20. 某公园内安装一款不锈钢文化宣传橱窗栏，如图是该橱窗及其侧面结构示意图，橱窗整体竖直固定．为方便工作人员更换内部宣传内容，橱窗上方点处设计有铰链，橱窗玻璃盖可绕点向上翻开．该橱窗玻璃盖有两个固定打开角度档位：第一档在位置，此时；第二档在位置，此时（其中点分别是点翻至第一档位与第二档位的对应点）．经测量，橱窗玻璃盖的长度为．请结合上述信息计算：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度．（结果精确到；参考数据：，，tan 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作的垂线，，通过三角形分别求出,的长度，进而即可求解． 【详解】解：如解图，过点，分别作的垂线，，，为垂足． 根据题意，得． 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ． 答：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度约为． ． 21. 阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： （1）下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）将材料中的证明过程补充完整． （3）如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）B、D （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）一定内接于圆的四边形，对角一定是互补的，矩形和正方形的对角一定是互补的，而平行四边形与菱形的对角不一定互补； （2）延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，利用是的外角，得出，与已知“”相矛盾，从而证明点在内不成立，从反面证明点在上； （3）作出、的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径，作，此时在上，作出的角平分线，与交于点，连接、，四边形与即为所求． 【小问1详解】 解：∵矩形和正方形四个内角都是， ∴矩形和正方形的对角是互补的， ∴矩形和正方形一定内接于圆， 而平行四边形与菱形的对角只是相等不一定互补， ∴平行四边形与菱形不一定内接于圆． 【小问2详解】 解：当点在内时，如图2，延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在内不成立． 综上所述，点在上，即四边形内接于． 【小问3详解】 解：如图所示，分别作出、的垂直平分线，、的垂直平分线交于点；以点为圆心，以为半径，作；作出的角平分线，与交于点；连接、，四边形与即为所求． ∵点是、的垂直平分线的交点， ∴为的外接圆，即在上， 又∵的角平分线，与交于点， ∴平分，点也在上， ∴四边形与即为所求． 22. 综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． （3）活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案； （2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可； （3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点， ∴抛物线顶点为，其坐标为， 设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，， ∴点的横坐标为， 当时，． 答：立柱的高度为． 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持， ∴列纵队的宽度为， ∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为， ∵当时，． ∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为． 23. 综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形中，是射线上一点（不与点，重合），过点作射线交射线于点，过点作，交射线于点． 初步探究： （1）如图1，是边的中点，于点，当射线经过点时，求的值． 深入探究： （2）如图2，若是对角线上任意一点，求证：． 拓展探究： （3）若，当为对角线的三等分点时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，，可转化为，再结合正方形、等腰直角三角形的性质和已知条件是边的中点，即可得出比值； （2）在边上取一点，连接，使得，由证得，从而得到； （3）为对角线的三等分点，分两种情况：和，从入手，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如解图1，过点作于点，则． ∵是边的中点，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（SAS）， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，∴， 又，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如解图2，在边上取一点，连接，使得， 则， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1），知，． ∴． ∴， ∴． 【小问3详解】 分以下两种情况讨论： 当时， 如解图3，过点作于点． 由（1），得． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴，即． 由（2）可知， ． ∴． ． 当时， 如解图4，过点作于点． 则是等腰直角三角形，， ∵，∴， 由（2）可知， ， ∴ 得． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考模拟试题数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 如图，比数轴上点表示的数大1的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图是由两个木质积木搭成的一个组合体及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年3月25日，中船大连造船建造的30.7万吨新一代超大型油船“君望”轮成功交付，这是我国自主研发设计的新一代超大型油船．数据30.7万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 俯卧撑是一项常见的健身项目．如图所示是小杨同学在水平地面上做俯卧撑保持静止时的状态及几何示意图，他的身体可视为一条直线，与地面成一定夹角，点为他的肩部，点为手掌与地面的接触点，点为小杨的头顶，且．若测得，，小杨的身高，则小杨头顶到地面的竖直高度为（） A. B. C. D. 6. 某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. D. 8. 若反比例函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的中位线，平分，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛．花坛设计图如图所示，已知是上两点，以点为圆心画弧，分别与交于点，且直径与相切于点，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪．若，则种植草坪的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：_____． 12. 如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 13. 《自叙帖》被誉为“天下第一草书”，依据《自叙帖》制作成如图所示的A，B，C，D四张卡片，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片是A和D的概率为__________． 14. 某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示．同学们在实验室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值（单位：）随踏板所受压力（单位：）的变化满足我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据．当踏板所受压力为时，其内部压敏电阻的阻值为_____Ω． 2 5 8 11 21 15 9 3 15. 如图，在菱形中，是对角线，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 践行绿色环保，守护生态环境．2026年3月12日是我国第48个植树节，某校学生会组织七年级和八年级共100名同学开展义务植树造林活动．活动中，七年级学生平均每人植树3棵，八年级学生平均每人植树5棵．若本次植树的总棵数不少于375，求该校学生会最多安排了多少名七年级学生参加本次植树活动． 18. 为强化中小学科学实践教育，提升学生科学素养与创新能力，推动科学知识普及与实践技能提升．某校积极响应号召，在全校范围内开展科技普及专题培训，并在普及前和普及后进行科技知识测试（满分分，测试成绩均为整数）．数据整理：该校综合与实践小组的同学随机抽取名学生的测试成绩绘制成如下条形统计图： 普及前和普及后科技知识测试成绩条形统计图 数据分析：该校综合与实践小组的同学对名学生测试成绩的数据进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 普及前 普及后 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________． （2）若该校共有名学生，请你估计普及后成绩不低于分的学生人数． （3）请你根据上述统计图中的信息，评价本次科技普及专题培训的效果，并提出合理化建议．（写出一条即可） 19. 2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 20. 某公园内安装一款不锈钢文化宣传橱窗栏，如图是该橱窗及其侧面结构示意图，橱窗整体竖直固定．为方便工作人员更换内部宣传内容，橱窗上方点处设计有铰链，橱窗玻璃盖可绕点向上翻开．该橱窗玻璃盖有两个固定打开角度档位：第一档在位置，此时；第二档在位置，此时（其中点分别是点翻至第一档位与第二档位的对应点）．经测量，橱窗玻璃盖的长度为．请结合上述信息计算：当玻璃盖从第一档位翻至第二档位时，最外边缘升高的竖直高度．（结果精确到；参考数据：，，tan 21. 阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： （1）下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）将材料中的证明过程补充完整． （3）如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． （3）活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 23. 综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形中，是射线上一点（不与点，重合），过点作射线交射线于点，过点作，交射线于点． 初步探究： （1）如图1，是边的中点，于点，当射线经过点时，求的值． 深入探究： （2）如图2，若是对角线上任意一点，求证：． 拓展探究： （3）若，当为对角线的三等分点时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $