精品解析：山西省阳泉市盂县部分学校2025年中考二模数学试卷

2025年初中学业水平考试模拟测评（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在标准大气压下，固态酒精、汞、冰、碘四种物质的熔点分别如下表： 物质 固态酒精 汞 冰 碘 熔点/ 0 113.5 其中熔点最低的物质为（ ） A. 固态酒精 B. 汞 C. 冰 D. 碘 2. 纹样的造型精美，承载着深厚的文化寓意．古代工匠们凭借着对美的理解和精湛的手艺，创造出无数精美的纹样作品．下列纹样作品中的图案（文字除外）既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D. y随x的增大而减小 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 随着科技的发展，骑自行车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是某型号自行车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则下管与后下叉所成的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年全国两会热度不断，全民体重管理成为当下热点话题，除了政策推动，还有以下4项相关举措：环境营造、活动鼓励、专业支持和教育普及．王老师准备以“聚焦全国两会·关注全民体重管理”为主题召开一次班会，并让同学们就以上4项相关举措准备资料，各组代表随机选择这4项举措中1项进行宣讲，则小组代表小红和小凡两人中至少有一人选中“教育普及”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题．如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图．如果表示遵义的点的坐标为，表示腊子口的点的坐标为，那么表示泸定桥的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点是上一点，为上一点，连接并延长交的延长线于点，若是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：﹣=__． 12. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______． 13. 随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为______． 14. 年太原市中考体测项目包括四项，其中球类项目中的排球测试要求考生在指定区域内进行连续正面双手垫球，达到规定的高度和次数即得满分分．在考前的一次练习中，甲、乙两位同学六次的练习成绩（单位：分）统计如下表： 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 乙 分析表格中的数据可知，本次练习中发挥较稳定的是______同学．（填“甲”或“乙”） 15. 如图，在中，，，E为的中点，为角平分线，与交于点F，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 已知：如图，在中，边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 18. 在网购盛行、互联网全面普及的当下，快递行业已成为大众瞩目的焦点．顺丰快递凭借高效与准时的服务特色，在众多快递企业中脱颖而出，为广大客户提供了优质服务．为进一步优化客户体验，某顺丰网点经过精心策划，随机抽取了名客户开展问卷调查，形成如下调查报告（不完整）： ××顺丰网点服务满意度调查报告 调查主题 ××顺丰网点服务满意度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 名客户 数据的收集、整理与描述 1．您对本顺丰网点服务的整体评价为______．（单选） A．很满意 B．满意 C．一般 D．不满意 如果您对本顺丰网点服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2．您认为本顺丰网点最需要改进的地方为______．（单选） A．网点覆盖率 B．服务费用 C．物流信息 D．配送速度 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）若该顺丰网点所在范围内服务客户约为人，则据此估计整体评价为“很满意”的客户有多少人． （2）在此次调查中，你认为该顺丰网点最需要在“服务费用”上进行改进的人数是多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该顺丰网点服务提出两条合理的建议． 19. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在天猫某店定制A，B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润． 20. 山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线 新定义： 我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： （1）解答过程中“依据”的内容是______． （2）请将解答过程补充完整． （3）如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 22. 综合与实践 问题情境： 某高校在某次数学建模大赛中设置了不同级别的奖项，现要为本次获奖的优秀学生设计奖杯，学校面向全体师生征集设计方案． 智慧小组的设计方案如下： 第一步：如图所示为奖杯设计稿的实物图和侧面示意图，设计稿中奖杯的上半部分侧面呈抛物线形，抛物线的最低点为C，A，B均为最高点，且A，B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分的侧面为等腰三角形底座，于点D． 第二步：以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．抛物线部分满足函数表达式（b，c为常数），在距离杯底竖直高度的M，N两点所在的奖杯外表面粘贴彩带做装饰．（点M在点N的左侧，奖杯的横切面是水平的圆，杯壁厚度忽略不计） 任务解决： （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式． （2）求抛物线最低点C到杯底的距离． （3）求彩带的长度．（彩带连接处误差忽略不计） 23. 综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间数量关系．如图1，在中，，，为的中点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，点的对应点分别为．连接分别为的中点，连接． 操作发现： （1）创新小组将旋转至点与点B重合的位置，如图2． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展延伸： （2）智慧小组继续探索，当时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平考试模拟测评（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在标准大气压下，固态酒精、汞、冰、碘四种物质的熔点分别如下表： 物质 固态酒精 汞 冰 碘 熔点/ 0 113.5 其中熔点最低的物质为（ ） A. 固态酒精 B. 汞 C. 冰 D. 碘 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数以及 负数的绝对值越大的数反而越小，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵ ∴是最小的， 即， ∴熔点最低的物质为固态酒精， 故选：A 2. 纹样的造型精美，承载着深厚的文化寓意．古代工匠们凭借着对美的理解和精湛的手艺，创造出无数精美的纹样作品．下列纹样作品中的图案（文字除外）既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的识别，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C选项既不是是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D选项既不是是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D. y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C． 【详解】解；∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交， 在中，当时，，则图象经过点， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，分别解不等式组中的两个不等式，把它们解集在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：； 解不等式得：， ∴， 在数轴上表示为：， 故选：B． 6. 随着科技的发展，骑自行车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是某型号自行车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则下管与后下叉所成的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 7. 2025年全国两会热度不断，全民体重管理成为当下热点话题，除了政策推动，还有以下4项相关举措：环境营造、活动鼓励、专业支持和教育普及．王老师准备以“聚焦全国两会·关注全民体重管理”为主题召开一次班会，并让同学们就以上4项相关举措准备资料，各组代表随机选择这4项举措中的1项进行宣讲，则小组代表小红和小凡两人中至少有一人选中“教育普及”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．根据题意列出表格，得出所有等可能的结果数和符合题意的情况数，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：设4项相关举措分别为， 列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，两人中至少有一人选中“教育普及”的情况有7种， 两人中至少有一人选中“教育普及”的概率． 故选：D． 8. 为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义． 第一阶段已实现的种植目标为，第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解． 【详解】解：由题意得：第一阶段已实现的种植目标为， 第二阶段实现的种植目标为， 第三阶段实现的种植目标为， ∴三个阶段共实现种植目标为， 故选：D． 9. 某公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题．如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图．如果表示遵义的点的坐标为，表示腊子口的点的坐标为，那么表示泸定桥的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点坐标得出原点位置是解题关键．利用遵义和腊子口的位置进而确定原点的位置，建立平面直角坐标系，再找出表示泸定桥的点的坐标，即可作答． 【详解】解：表示遵义的点的坐标为，表示腊子口的点的坐标为， 建立平面直角坐标系，如图所示： 表示泸定桥的点的坐标为． 故选：A． 10. 如图，是的直径，点是上一点，为上一点，连接并延长交的延长线于点，若是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，连接，圆周角定理得到，斜边上的中线，得到，进而推出为等边三角形，推出，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 12. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．设与交于点，利用尺规作图得出，，则可得，，利用四边形是平行四边形，结合，得出，则可得，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ∴， ∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为______． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得： ， 解得，， 所以，小明的最小平均速度为． 故答案为：0.8． 14. 年太原市中考体测项目包括四项，其中球类项目中的排球测试要求考生在指定区域内进行连续正面双手垫球，达到规定的高度和次数即得满分分．在考前的一次练习中，甲、乙两位同学六次的练习成绩（单位：分）统计如下表： 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 乙 分析表格中的数据可知，本次练习中发挥较稳定的是______同学．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是正确理解方差的意义． 先求出平均数相同，根据方差的定义及理解，方差越小成绩越稳定，反之，即可判断． 【详解】解：由表得：甲同学成绩的平均数为： ， 甲同学成绩的方差： ， ； 乙同学成绩的平均数为：， 乙同学成绩的方差： ， ， ， 方差越小成绩越稳定， 乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙． 15. 如图，在中，，，E为的中点，为角平分线，与交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过B作于H，过E作交延长线于M；则由角平分线得；由直角三角形的性质可求得的长，由勾股定理求得的长；由得三角形相似， ，即求得． 【详解】解：如图，过B作于H，过E作交延长线于M； ∵，平分， ∴， ∴， ∴； ∵E点为的中点，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； 故答案为：．　 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，作平行线构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则先算绝对值和括号里面的，最后进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 当时，原式． 17. 已知：如图，在中，是边上一点． 求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】（1）小成正确，理由见分析 （2）补全图形见详解，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 解：小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 18. 在网购盛行、互联网全面普及的当下，快递行业已成为大众瞩目的焦点．顺丰快递凭借高效与准时的服务特色，在众多快递企业中脱颖而出，为广大客户提供了优质服务．为进一步优化客户体验，某顺丰网点经过精心策划，随机抽取了名客户开展问卷调查，形成如下调查报告（不完整）： ××顺丰网点服务满意度调查报告 调查主题 ××顺丰网点服务满意度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 名客户 数据的收集、整理与描述 1．您对本顺丰网点服务的整体评价为______．（单选） A．很满意 B．满意 C．一般 D．不满意 如果您对本顺丰网点服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2．您认为本顺丰网点最需要改进的地方为______．（单选） A．网点覆盖率 B．服务费用 C．物流信息 D．配送速度 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）若该顺丰网点所在范围内服务客户约为人，则据此估计整体评价为“很满意”的客户有多少人． （2）在此次调查中，你认为该顺丰网点最需要在“服务费用”上进行改进的人数是多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该顺丰网点服务提出两条合理的建议． 【答案】（1）人； （2）人； （3）该顺丰网点需要在“服务费用”方面进行优化；该顺丰网点需要提升“网点覆盖率”． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的关键． （1）用样本中“很满意”的客户所占百分比乘总人数即可； （2）用样本中“一般”和“不满意”的总人数乘以所占百分百即可得解； （3）根据统计图的数据解答即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知，（人）， 答：估计整体评价为“很满意”的客户有人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：在此次调查中，认为该顺丰网点最需要在“服务费用”上进行改进的人数是； 【小问3详解】 解：该顺丰网点需要在“服务费用”方面进行优化；该顺丰网点需要提升“网点覆盖率”． 19. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在天猫某店定制A，B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润． 【答案】每件A款帆布包的利润为20元，每件B款帆布包的利润为12元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设每件B款帆布包的利润为x元，则每件A款帆布包的利润为元．依题意得，据此即可求解 【详解】解：设每件B款帆布包的利润为x元，则每件A款帆布包的利润为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）． 答：每件A款帆布包的利润为20元，每件B款帆布包的利润为12元． 20. 山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 【答案】66m 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键． 根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，延长，交的延长线于点，设，则，求出的长，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如解图，延长，交的延长线于点，则四边形为矩形． ， 由题意，可知， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， 解得， 答：应县木塔DE的高度约为66m． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 三角形的等角线 新定义： 我们规定：在任意中，在边上取两点，，若，则称线段，为的等角线，如图1． 定义应用： 如图2，在中，是角平分线，点，分别在，上（不与端点重合），连接，．若点到，的距离相等，判断线段，是否为的等角线，并说明理由． 解答过程如下： 解：，是的等角线． 理由：如图3，过点分别作于点，于点，则． 平分．（依据） ． …… 任务： （1）解答过程中“依据”的内容是______． （2）请将解答过程补充完整． （3）如图4，在等腰直角三角形中，，线段，是的等角线，且．若，求的长． 【答案】（1）在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的性质求解即可； （2）根据是的角平分线，得到，进而得到，即可判断； （3）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得：，，结合，线段，是的等角线，推出平分，得到，根据求出，证明，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：解答过程中“依据”的内容是：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故答案为：在一个角内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上； 【小问2详解】 是的角平分线， ， ，即． 线段，是的等角线； 【小问3详解】 如图：过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ，． 又，线段，是的等角线． ， 平分， 又， ， ，，， ， ． ，， ， ， ． 22. 综合与实践 问题情境： 某高校在某次数学建模大赛中设置了不同级别的奖项，现要为本次获奖的优秀学生设计奖杯，学校面向全体师生征集设计方案． 智慧小组的设计方案如下： 第一步：如图所示为奖杯设计稿的实物图和侧面示意图，设计稿中奖杯的上半部分侧面呈抛物线形，抛物线的最低点为C，A，B均为最高点，且A，B两点之间的距离为，点A到杯底的竖直高度为；下半部分的侧面为等腰三角形底座，于点D． 第二步：以杯底所在直线为x轴，过点A且垂直于直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．抛物线部分满足函数表达式（b，c为常数），在距离杯底竖直高度的M，N两点所在的奖杯外表面粘贴彩带做装饰．（点M在点N的左侧，奖杯的横切面是水平的圆，杯壁厚度忽略不计） 任务解决： （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式． （2）求抛物线最低点C到杯底的距离． （3）求彩带的长度．（彩带连接处误差忽略不计） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由题意得出点A坐标，据此求得c值，利用抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，由对称轴求得b值，即可求解； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）令，得，求解即可得出M、N的坐标，进而可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得点A的坐标为． ∵A，B均为最高点，A，B两点之间的距离为， ∴点B的坐标为． 把A，B两点的坐标分别代入，得 解得 ∴该奖杯抛物线部分的函数表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得点C的横坐标为8． 把代入，得． ∴抛物线最低点C到杯底的距离为． 【小问3详解】 解：令，得，解得，． ∵点M在点N的左侧， ． ， ∴M，N两点之间的水平距离为． ∴彩带的长度为． 23. 综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间的数量关系．如图1，在中，，，为的中点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，点的对应点分别为．连接分别为的中点，连接． 操作发现： （1）创新小组将旋转至点与点B重合的位置，如图2． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展延伸： （2）智慧小组继续探索，当时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）①四边形是菱形，见解析；②，见解析；（2）或 【解析】 【分析】（1）①如图1，连接．根据直角三角形性质和三角形内角和定理得出，，，，得出，证明是等边三角形，得出，由旋转的性质，得，即可得，证出，结合，即可证明四边形是菱形． ②证明，得出，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得，在中，，根据等边三角形的性质得出，证明，在中，解直角三角形得出，即可证出． （2）如图2，分为当点在点上方时，和当点在点下方时，画出图形，连接，过点作于点．根据解直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是菱形． 理由：如图1，连接． ∵在中，，P为的中点， ，，，， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ②． 证明：， ， ， ，M为的中点， ， ， ， ， 中，， 是等边三角形，为的中点， ， ， 在中，， ． （2）如图2，当点在点上方时，连接，过点作于点． ∵，根据直角三角形三边的关系得出， 根据（1）的， ∴， 由②得， 则， ∴， ； 当点在点下方时， 同理可求得， ； 的值为或． 【点睛】该题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是正确作出图形，并掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$