精品解析：2026年陕西西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷(二) 数学

2026年初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型值息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识以及先秦古籍《周髀算经》勾股定理，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线（、、为常数，且）与轴交于点、，对称轴为直线，则下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：___________． 10. 六边形从某一个顶点出发可以引________条对角线． 11. 陕西文物资源极为丰富，被誉为“天然的历史博物馆”．某文物修复中心接到一项紧急任务，如果由一位资深修复师单独完成，需要天，现在计划由一位资深修复师带领若干名助手共同工作，已知助手的工作效率是资深修复师的一半．则需要安排________名助手，才能恰好用时天完成这项任务．（假设每位助手工作效率相同，且所有人同时工作） 12. 如图，为的直径，点、在异侧的上，，连接、、．若，则的度数为________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 14. 如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 化简：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，对角线、交于点，点在边的右侧，连接、，．，，求证：是菱形． 20. 2026年4月4日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机 首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力．小钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇．该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个入口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受影响． （1）小钧进入科技馆时选择入口A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的概率． 21. 八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 22. 某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 （1）根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 23. 奥运会是集体育精神、民族精神和国际主义精神于一身的世界级运动盛会，象征着世界的和平、友谊和团结．以下是我国奥运代表团年至年（每四年一届，共五届，年奥运会实际于年举行）夏季奥运会获金牌和银牌数量的条形和折线统计图： 根据上述信息，解答下列问题： （1）我国奥运代表团年至年夏季奥运会获金牌数量的中位数是________枚，获银牌的总数为________枚； （2）求我国奥运代表团年至年这五届夏季奥运会获金牌数量的平均数； （3）根据上述统计图，请你写出一条关于我国奥运代表团年至年夏季奥运会获银牌数量的信息． 24. 如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，，求的长． 25. 儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 26. 探究三角形的面积、外接圆性质及几何最值问题，并完成以下问题 【思路梳理】 （1）如图1，是的角平分线，若，则的值为________； （2）如图2，内接于，，连接、，已知的半径为4，求的周长； 【问题解决】 （3）如图3，某药材种植基地计划在基地内新增一个形状为四边形的药田用来种植桔梗和黄芪，其中，米，连接，沿挖一条隔离沟将其分为两个区域，在区域种植桔梗，区域种植黄芪，，过点作交边于点，沿修一条灌溉水渠，根据市场的需求，现要使种植桔梗区域（即）的面积尽可能的小，请你帮助该基地求出种植桔梗区域面积的最小值．（隔离沟、水渠的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 试卷类型：A 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型值息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴最大的数是． 2. 七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识以及先秦古籍《周髀算经》勾股定理，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； B、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，直线、交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线、交于点，， ∴． 4. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ∴． 6. 在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 7. 正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：由题意， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴. 8. 如图，抛物线（、、为常数，且）与轴交于点、，对称轴为直线，则下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，由图可知，开口向上，即，对称轴在轴右侧，根据对称轴，即，所以，故选项A正确，不符合题意； 选项B，抛物线与轴交于点、，对称轴为直线，即，可得，故选项B正确，不符合题意； 选项C，如图可知，抛物线与轴交于两点，可得，即，故选项C正确，不符合题意； 选项D，当时，，又由图可知当时，，即， 故选项D不正确，符合题意． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：___________． 【答案】# 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的运算，求解即可． 【详解】解：． 10. 六边形从某一个顶点出发可以引________条对角线． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得出答案． 【详解】解：六边形有6个顶点，从一个顶点出发可引出的对角线数量为条． 故答案为：3． 11. 陕西文物资源极为丰富，被誉为“天然的历史博物馆”．某文物修复中心接到一项紧急任务，如果由一位资深修复师单独完成，需要天，现在计划由一位资深修复师带领若干名助手共同工作，已知助手的工作效率是资深修复师的一半．则需要安排________名助手，才能恰好用时天完成这项任务．（假设每位助手工作效率相同，且所有人同时工作） 【答案】 【解析】 【分析】将总工作量看作单位，先根据已知条件分别求出资深修复师和每名助手的工作效率，再设需要安排的助手人数为未知数，根据总工作量等于工作时间乘以总工作效率列一元一次方程求解即可. 【详解】解：设总工作量为，需要安排名助手， 列方程得： ， 解得：. 12. 如图，为的直径，点、在异侧的上，，连接、、．若，则的度数为________． 【答案】70 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形求出，然后根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴ . 13. 在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 14. 如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点，可证明和均为等边三角形，当四点依次共线时，取得最小值，即为，再结合矩形和等边三角形的性质，运用勾股定理，求出的值，再证明四边形、为矩形，运用性质求出的值，最后运用勾股定理即可求解出的值． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点依次共线时，取得最小值，即为， ∵在矩形中， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，1、2 【解析】 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 该不等式组的所有正整数解为1、2． 18. 如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用尺规作图中作过点E的垂线的方法，先作垂线，再与交于F点，即可作出． 【详解】如图所示，即为所求． 19. 如图，在中，对角线、交于点，点在边的右侧，连接、，．，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明得出，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ． 在和中，，，， ， ，即． 是菱形． 20. 2026年4月4日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力．小钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇．该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个入口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受影响． （1）小钧进入科技馆时选择入口A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：依题意，共个入口， ∴小钧进入科技馆时选择入口A的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口的结果有4种， （小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口）． 21. 八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 【答案】八云塔的高度为米． 【解析】 【分析】延长交于点，结合题意证明四边形为矩形，推出，，再根据，推出，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴八云塔的高度为米． 22. 某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 （1）根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 【答案】（1）见解析，一次； （2）； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象，再结合图象即可得解； （2）利用待定系数法求函数解析式并验证即可得解； （3）将代入（2）中解析式即可求解． 【小问1详解】 解：描点、连线如图所示： ； 由图象可知，该函数可能是二次函数关系； 【小问2详解】 设与之间的函数关系式为， 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 令，则． ∴当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 23. 奥运会是集体育精神、民族精神和国际主义精神于一身的世界级运动盛会，象征着世界的和平、友谊和团结．以下是我国奥运代表团年至年（每四年一届，共五届，年奥运会实际于年举行）夏季奥运会获金牌和银牌数量的条形和折线统计图： 根据上述信息，解答下列问题： （1）我国奥运代表团年至年夏季奥运会获金牌数量的中位数是________枚，获银牌的总数为________枚； （2）求我国奥运代表团年至年这五届夏季奥运会获金牌数量的平均数； （3）根据上述统计图，请你写出一条关于我国奥运代表团年至年夏季奥运会获银牌数量的信息． 【答案】（1），； （2）我国奥运代表团年至年这五届夏季奥运会获金牌数量的平均数为枚； （3）我国奥运代表团年至年夏季奥运会获银牌数量在年最多，为枚．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由条形图可对金牌数量进行排序，运用中位数定理即可求解；由折线图可求银牌总数量； （2）由条形图可求金牌总数数量，根据平均数公式即可求解； （3）对折线图的信息进行推测，言之有理即可． 【小问1详解】 由图可得，将年至年夏季奥运会获金牌数进行排序：，中位数为：， 年至年夏季奥运会获银牌总数为：（枚）； 【小问2详解】 我国奥运代表团年至年这五届夏季奥运会获金牌数量的平均数为：（枚）； 【小问3详解】 我国奥运代表团年至年夏季奥运会获银牌数量在年最多，为枚．（答案不唯一，言之有理即可） 24. 如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用可得 ，又根据等边对等角可得，进而可得 ，结论即可论证； （2）通过论证 即可得出结论. 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】（1）依题意，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，待定系数法求解析式，即可 （2）根据平移可得抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知：抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：发射口在点正上方处，且抛物线与抛物线的形状相同， 抛物线可以看作由抛物线沿轴向上平移得到， 抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 的长为． 26. 探究三角形的面积、外接圆性质及几何最值问题，并完成以下问题 【思路梳理】 （1）如图1，是的角平分线，若，则的值为________； （2）如图2，内接于，，连接、，已知的半径为4，求的周长； 【问题解决】 （3）如图3，某药材种植基地计划在基地内新增一个形状为四边形的药田用来种植桔梗和黄芪，其中，米，连接，沿挖一条隔离沟将其分为两个区域，在区域种植桔梗，区域种植黄芪，，过点作交边于点，沿修一条灌溉水渠，根据市场的需求，现要使种植桔梗区域（即）的面积尽可能的小，请你帮助该基地求出种植桔梗区域面积的最小值．（隔离沟、水渠的宽度均忽略不计） 【答案】（1）2 （2） （3）种植桔梗区域面积的最小值为平方米 【解析】 【分析】（1）作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）由圆周角定理可得，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）证明四边形是平行四边形，得出米，再证明是的平分线，过点作于点，于点，在上截取，使得，连接，则，证明得出，，求出米，米，由得出要使的面积最小，则需使的长最小，作的外接圆，过点作于点，连接、、，设的半径为米，则米，米，米，当最小时，有最小值，求出的长为米，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图：作于点，于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：内接于，， ． 的半径为4， ， ． 的周长为． 【小问3详解】 解：，， 四边形是平行四边形， 米， ， ， ， ， 是的平分线， 如图3，过点作于点，于点，在上截取，使得，连接， 是的平分线， ， ， ，， ，，， ， ， ， 米，，， 米，米， ， 要使的面积最小，则需使的长最小， 如图3，作的外接圆，过点作于点，连接、、， ， ， 设的半径为米，则米， 米，米， 当最小时，有最小值， ， ， ， 的最小值为80，此时的长为米， 面积的最小值为（平方米）， 种植桔梗区域面积的最小值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $