精品解析：2025年陕西省西安市阎良区中考二模数学试题

2025年初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是( ) A. B. 10 C. D. 2. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A B. C. D. 3. 如图，直线，直线分别交直线、于点、，点、分别在直线、上，连接交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（ ） A B. 2 C. D. 6. 在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（、为常数，）经过点，，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：________． 10. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为________． 11. 如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为________． 12. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于，两点，轴于点，轴于点，，则的值为________． 13. 如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在矩形和矩形中，点、、在一条直线上，且点是的中点，点在上，连接，点恰好在上，求证：． 19. 中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 20. 成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，每个成语都表示一定的意义，在语句中可承担主语、宾语、定语等成分．语文课上，老师组织“成语故事我会讲”活动，在黑板上写出了四个成语（如图所示），并将分别写有字母、、、的四个小球（除字母外其他均相同）放入一个不透明的布袋中，参加活动的同学在布袋中随机摸出一个小球，然后将小球放回布袋搅匀，再讲出小球上对应字母的成语故事． ．刻舟求剑 ．掩耳盗铃 ．愚公移山 ．画蛇添足 （1）参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是________事件；（填“随机”“不可能”或“必然”） （2）用列表或画树状图的方法，求参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山"的概率． 21. 雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动． 活动主题 测量马栏革命纪念碑高度 测量工具 皮尺、标杆、激光笔等 活动过程 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①在点处竖立一根高3米的标杆； ②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米； ③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米； ④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内． 说明 在测量过程中注意自身和他人安全． 请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度． 22. 据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． （1）填空：无人机上升时的速度是________，________； （2）求段的函数表达式； （3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 23. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 24. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若半径是3，，求的长． 25. 如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点向右作轴平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积． 26. 问题探究 （1）如图①，是菱形的对角线，点是上的动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，使点恰好落在射线上，求证：； 问题解决 （2）管理员计划对某动植物园进行改造，如图②，直线是一条观光车道，是一片草地，点、在直线上，直线，．点是边上一动点，连接，，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线于点，将四边形区域建成水族馆，区域建成食草动物区，延长到点使得，连接，为方便游客观光，沿的三边修建云轨，为节约成本要求云轨的总长（即的周长）尽可能的小．根据规划可知四边形的面积为，请你求出当的周长最小时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求解即可． 【详解】解：因为为负数， 所以的绝对值为， 故选A． 【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键． 2. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 如图，直线，直线分别交直线、于点、，点、分别在直线、上，连接交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线的性质得到，根据对顶角的定义得到，根据三角形外角的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，负整数指数幂的含义，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，得到，，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意得：，， ， ， ， 点到线段的距离为， 故答案为：C． 6. 在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，熟练选用合适的方法准确计算是解题的关键． 先把代入求出，再把，代入即可求出的值． 【详解】解：把代入，得， ， 把，代入 得，， ， 故答案为：C. 7. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行线分线段成比例，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质得到,,求出，由是的中点得到， 由得到，得出，得到是的中位线，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，对角线和交于点，，， ,, , 是的中点， , , , , , 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， , 故选：A． 8. 已知抛物线（、为常数，）经过点，，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B两点到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小， ∵， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 10. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，直接利用完全平方公式变形计算即可．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案：13． 11. 如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 连接，由轴对称得，根据圆周角定理得，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 点关于的对称点是点，， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于，两点，轴于点，轴于点，，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，做到数形结合，找准数量关系是正确解答此题的关键． 先根据两点间距离求出之间的关系，再利用反比例函数上的点的坐标特征求出的值，进而可求反比例函数表达式，得到的值． 【详解】解：，，轴于点，轴于点， ，， ， ， ， ，， 故答案为：12． 13. 如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，先证明四边形是平行四边形；再分和两种情况，过点M作于G，根据三角形面积计算公式求出的长，再求出，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图1所示，当时，过点M作于G， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形的面积为40， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当时，过点M作于G， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案：或． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算零指数幂、二次根式的乘法、化简绝对值，再化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验． 先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解： 两边乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化成1得，， 经检验，是原分式方程的解． 17. 如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，涉及三角形外角的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 作出的平分线即可． 【详解】解：以为圆心，任意长为半径，与、分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线即为求作的． 理由：，， 由作法可知，平分， ， 射线即为求作的． 18. 如图，在矩形和矩形中，点、、在一条直线上，且点是的中点，点在上，连接，点恰好在上，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质，证明，即可． 【详解】解：∵矩形和矩形， ∴， ∵点、、在一条直线上，且点是的中点， ∴， 又∵点恰好在上， ∴， ∴， ∴． 19. 中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了道题 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案． 【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道， 根据题意得， 解得， 答：她答对了道题． 20. 成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，每个成语都表示一定的意义，在语句中可承担主语、宾语、定语等成分．语文课上，老师组织“成语故事我会讲”活动，在黑板上写出了四个成语（如图所示），并将分别写有字母、、、的四个小球（除字母外其他均相同）放入一个不透明的布袋中，参加活动的同学在布袋中随机摸出一个小球，然后将小球放回布袋搅匀，再讲出小球上对应字母的成语故事． ．刻舟求剑 ．掩耳盗铃 ．愚公移山 ．画蛇添足 （1）参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是________事件；（填“随机”“不可能”或“必然”） （2）用列表或画树状图的方法，求参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山"的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据随机事件，不可能事件以及必然事件的定义判断即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山”结果数有7种， ∴甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山”的概率是． 21. 雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动． 活动主题 测量马栏革命纪念碑高度 测量工具 皮尺、标杆、激光笔等 活动过程 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①在点处竖立一根高3米的标杆； ②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米； ③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米； ④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内． 说明 在测量过程中注意自身和他人的安全． 请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度． 【答案】18米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是正确解答此题的关键． 由题意可得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得结论． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ，， 米， 米，米，米， ，， ，， ， 米． 答：马栏革命纪念碑的高度为18米． 22. 据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． （1）填空：无人机上升时的速度是________，________； （2）求段的函数表达式； （3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 【答案】（1）8；17 （2） （3）20.2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键． （1）根据题意，结合图像即可得出答案； （2）用待定系数法，将点，代入求解即可； （3）令（2）中所求表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：无人机上升时的速度是_，， 故答案为：8；17； 【小问2详解】 解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 【小问3详解】 解：令，即， ． 答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2． 23. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间（单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 【答案】（1）见解析；C （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求平均数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）先求出C组的人数，再补全统计图，接着根据中位数的定义求解即可； （2）先求出所有组别的睡眠总时间之和，再除以60即可得到答案； （3）用1500乘以样本中睡眠时间不少于8小时人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 补全统计图如下： 把这60名学生的睡眠时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第30名和第31名学生的睡眠时间的平均数， ∵， ∴中位数落在C组； 【小问2详解】 解：， ∴所抽取学生每天的睡眠时间的平均数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数为人． 24. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若的半径是3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）先根据圆周角定理结合已知得到，则，而，可得到，即可证明平行； （2）连接，由是的切线，结合得到，由题意得，则，由勾股定理得，由求解即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和四边形的综合问题，解出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出，再根据矩形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为： 【小问2详解】 解：∵令， 解得：， ∴ 矩形的面积为： 26. 问题探究 （1）如图①，是菱形的对角线，点是上的动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，使点恰好落在射线上，求证：； 问题解决 （2）管理员计划对某动植物园进行改造，如图②，直线是一条观光车道，是一片草地，点、在直线上，直线，．点是边上一动点，连接，，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线于点，将四边形区域建成水族馆，区域建成食草动物区，延长到点使得，连接，为方便游客观光，沿的三边修建云轨，为节约成本要求云轨的总长（即的周长）尽可能的小．根据规划可知四边形的面积为，请你求出当的周长最小时的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明得到，再由旋转的性质推出，得到，则； （2）过点A作交延长线于E，证明四边形是矩形，，由旋转的性质可得，据此证明，得到，则可证明，据此根据矩形面积计算公式求出，则可得到；延长到G，使得，连接，分别取的中点T、N，连接交于O，则，则是等边三角形；证明是的中位线，，得到，则的周长；证明，得到，则当A、P、N三点共线时，的值最小，即此时的周长最小，的最小值为线段的长，此时点P与点O重合，据此求出的长即可． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点A作交延长线于E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，延长到G，使得，连接，分别取的中点T、N，连接，交于O，则， ∴是等边三角形； ∵， ∴是的中位线，， ∴， ∴周长； ∵是等边三角形，C，T、N分别的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当A、P、N三点共线时，的值最小，即此时的周长最小， ∴的最小值为线段的长，此时点P与点O重合， ∵N为的中点，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，符合题意， ∴的周长最小值时的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解直角三角形等等，解（1）的关键在于作出辅助线构造等腰三角形转换线段；解（2）的关键在于构造中位线和等边三角形，把求三角形周长的最小值转换成求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$