精品解析：2026年安徽省阜阳市阜南县九年级5月模考二模数学试题

数学（一） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是8 7. 如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 矩形中，的平分线与交于E，点F在的延长线上， ，连接，与交于G．以下选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 今年合肥作为央视春晚的分会场之一，重要取景地骆岗中央公园成为2024年网红打卡地．正月初一至初三累计入园人数超过70万人次．数据“70万”用科学记数法可以表示为______． 12. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 14. 已知抛物线，点在抛物线上，其中，． （1）若的最小值是－2，则的最大值是______； （2）若对于，，都有，则t的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）画出关于原点对称的图形； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）利用格点图，画出边上的高，并写出直线上的一个横纵坐标都是整数的点的坐标：______． 18. 横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 20. 如图，以为直径的经过的顶点，和分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若E为中点，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力． 素材一 某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为50元/件时，第一周销售50件． 素材二 第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72件． 素材三 经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件． 解决问题 （1）任务一: 求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）任务二: 第四周，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，等边中，点D、E分别在BC、AC上，且，AD交BE于F． （1）求证：； （2）当时，求的值； （3）连接，若，直接写出的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的对称轴； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的值； ②若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该几何体的左视图为． 3. 下列运算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘法、积的乘方、单项式的除法、平方差公式的法则，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意． 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的计算公式是关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，计算判别式并求解方程． 【详解】解：∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴ 判别式 ，即 ， ∴， 解得，． 故选：B． 5. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数，自变量的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； C、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； D、函数，自变量的取值范围为，即，则此项符合题意； 故选：D． 6. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可． 【详解】解：A、平均数为，故选项错误，不符合题意； B、众数为5、7、11、3、9，故选项错误，不符合题意； C、从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，故选项错误，不符合题意； D、方差，故选项正确，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的关键． 7. 如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形的性质和判定、勾股定理和平行线的判定和性质，解题的关键是找到比值的转化和菱形的性质． 过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，则，设菱形的边长为，则，进一步求得和，通过题意判定为直角三角形，则和，在中，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，如图， 则， 设菱形的边长为，则， ∵， ∴，， 则，， ∵E是的中点，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 则， 故选：C． 9. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由点，代入二次函数，根据推导出，再分析a的符号对的影响． 【详解】解：二次函数图象经过点，， 则，， 由于，得 整理得： 令 则， 当时， 则 故选：C． 10. 矩形中，的平分线与交于E，点F在的延长线上， ，连接，与交于G．以下选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只要证明为等腰直角三角形即可判断A选项；只要证明即可判断B选项；假设，则，推出，由，推出，显然不可能，即可判断C选项，由，可得，由，推出，推出，由，得，即可判断D选项． 【详解】解：平分，为直角， ∴，又， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵四边形矩形， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴则有，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； 假设， 则可知， 由，可得 ∴，则， 连接，如下图： 由题意可得：，， ∴， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，显然不可能，故C选项错误，符合题意； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 今年合肥作为央视春晚的分会场之一，重要取景地骆岗中央公园成为2024年网红打卡地．正月初一至初三累计入园人数超过70万人次．数据“70万”用科学记数法可以表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】用科学记数法表示较大的数，其形式为：（其中，n为整数）， 70万． 12. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ， ， 当时，， 即当时，的值为． 故答案为：16． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 14. 已知抛物线，点在抛物线上，其中，． （1）若的最小值是－2，则的最大值是______； （2）若对于，，都有，则t的取值范围是______． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； （2）先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； （2）点在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， 或， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，计算正弦，负指数幂，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式＝． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 对分式先化简，再代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时， 原式＝． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）画出关于原点对称的图形； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）利用格点图，画出边上的高，并写出直线上的一个横纵坐标都是整数的点的坐标：______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得到点的对应点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，顺次连接即可； （3）利用证明得到 ，则可证明 ，进而可证明，从而可得是边上的高，且符合题意． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，和点即为所求． 【点睛】 18. 横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3）估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人． 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出共抽取的学生人数；用乘以C组人数占总人数的比例即可求出C组对应圆心角的度数； （2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可． 【小问1详解】 解：本次共抽取了（名）学生的模型设计成绩， 组所对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：B组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：用样本估计总体：（人）． 答：估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 20. 如图，以为直径的经过的顶点，和分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若E为中点，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据三角形外角的性质得出，从而得出，根据等角对等边即可证得； （2）延长交于点F，在中，由勾股定理求得，利用证明，求得，，再证明，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：和分别平分和， ，， 和是所对的圆周角， ， ， ， 是的外角， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长交于点F，如图． ∵点E为的中点， ∴设，则， ∵是的直径，点D在上， ∴， 在中，由勾股定理得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的半径是5． 六、（本题满分12分） 21. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力． 素材一 某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为50元/件时，第一周销售50件． 素材二 第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72件． 素材三 经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件． 解决问题 （1）任务一: 求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）任务二: 第四周，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1）第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率 （2）当该坦克模型每件降价1元时获利最大，最大利润为1444元 【解析】 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据题意列出方程求解x的值即可； （2）设该坦克模型每个的售价降价m元，根据题意写出利润与m函数关系式，根据函数开口方向以及函数顶点坐标判断最大利润所对应得值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 整理得，， 解得（不符合题意，舍去）， 所以第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每件降价m元时，可获利y元， 则 ， ， 所以当该坦克模型每件降价1元时获利最大，最大利润为1444元． 七、（本题满分12分） 22. 如图，等边中，点D、E分别在BC、AC上，且，AD交BE于F． （1）求证：； （2）当时，求的值； （3）连接，若，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析（2）.（3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用SAS判定三角形全等； （2）过点B作，过点D作DQ∥AC，证明，再根据条件证明，得到代入求职后可得到一元二次方程，求解得到结果即可得出结论． （3）延长AD至点G，使得，连接，，，根据已知条件得到△BFG为等边三角形，证明，在判断出△FCG为直角三角形，且，，在根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，BD=CE， ∴AB=BC，， 在△ABD和△BCE中， ， ∴（SAS）． （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点B作，与AD交于点G， ∵， ∴， ∴， 过点D作DQ∥AC，交于点Q， ∴，， 在△AFE和△DFQ中， ， ∴， ∴， 设，， 依题意得，△ABC为等边三角形，CE=BD=b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：， 把看成一个关于b的一元二次方程，解得： ，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， （3）如图，延长AD至点G，使得，连接，，， 由（1）知，， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴△BFG为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在△ABF和△CBG中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△FCG为直角三角形，且， ∴， 在Rt△FCG中，勾股定理得： ， ∴， 即， ∵，， ∴， 【点睛】本题主要考查了全等三角形额判定与性质，正确分析条件，准确运用相似三角形的性质，找出相等的量是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的对称轴； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的值； ②若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①或6或；②或 【解析】 【分析】（1）点坐标代入抛物线解析式中，可得与的等量关系，即可求出对称轴； （2）①，解一元二次方程可得的值； ②需分，两种情况讨论，结合抛物线的长随的变化规律，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：代入抛物线解析式得，， ∴， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①当，时，抛物线， ，， 为 ，解得或6或． ②当时，， ，其图象开口向下，对称轴， 的长随的增大而增大，，即的长随的增大而增大， ∴，即， 当时，， ，其图象开口向上，对称轴， 的长随的增大而增大，，即的长随的增大而增大， ∴，， ∴． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $