精品解析：2026年安徽宿松县部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】 只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是 ， 故选 D． 2. 如图是由一个长方体底座和一个三棱柱屋顶组成的“迷你屋”模型，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从物体正面观察得到的平面图形．将“迷你屋”拆分为长方体底座和三棱柱屋顶两部分．因为长方体底座从正面看是矩形，三棱柱屋顶从正面看是矩形，所以组合后的主视图是矩形上方叠加较窄矩形． 【详解】 该几何体：下方的长方体，从正面看是矩形； 上方的三棱柱屋顶，从正面看轮廓是矩形。 ∴主视图为下方矩形、上方矩形的组合图形，且下方矩形比上方矩形略宽，符合的是选项A． 3. 2026年的元旦小长假，长三角铁路累计发送旅客974.8万人次，其中“974.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：974.8万． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同类项的计算，同底数幂的运算以及积的乘方运算判断选项即可． 【详解】解：A选项， ，正确 B选项， ，错误； C选项，，错误； D选项，，错误． 5. 如图，将一副三角尺和顶点C重合平放在桌面上，过点C作，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据外角性质求出，结合平行线性质推出，再根据求解，即可解题． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设2023年安徽省新能源汽车产量为基准量1，按逐年实际增长率计算，2024年产量为，2025年产量为； 若两年年平均增长率为，则2025年产量也可表示为， 因此可列方程：． 7. 已知正实数满足，若为整数，则所有可能的值之和是（ ）． A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的整数解问题，解题关键是通过已知条件用含的式子表示，结合 为正实数确定的取值范围，再根据为整数，求出所有符合条件的值，最后求和． 【详解】解：已知正实数满足，即， 又为整数，代入得； ， 为正实数，，且， ， ， 故的可能值为－1，0，1， 当时，； 当时，； 当时，， 所有可能的值之和为：． 8. 如图，正五边形的边长为2，分别以B，E为圆心，2为半径画弧，两弧交于点P，连接和，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接EP，DP，由题意及正五边形性质得：，，证明B，P，D三点在同一直线上，，根据相似三角形的性质得到点P为的黄金分割点，，即可得到答案． 【详解】解：如解图，连接EP，DP，由题意及正五边形性质得： ，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ，同理得， ，， ， B，P，D三点在同一直线上，， ， ， ， 点P为的黄金分割点， ， ． 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与直线交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的交点式、一次函数解析式的求法、二次函数与x轴交点及对称轴的性质，解题的关键是利用函数与x轴只有一个交点，得出其对称轴为，进而建立方程求解．先将二次函数写成交点式；根据直线过点求出，确定的解析式；写出的表达式，结合它过点且与x轴只有一个交点，得出对称轴为，再用对称轴公式列方程求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ ∵直线过点， ∴，解得，即． ∴ ∵当时，，， ∴当时，，即过点． 又∵与x轴只有一个交点， ∴该交点为，其对称轴为直线． 由对称轴公式得：，，，． 10. 如图，在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，过点E在左侧作，，连接和，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】求得，当点E和点D重合时，最大，据此求解可判断A选项；作点C关于直线的对称点，连接，当B，E，三点在同一直线上时，即点E位于点的位置时，的值最小，最小值为的长，据此计算可判断B选项；在的延长线上取一点，使得，推出和，当时，最小，据此计算可判断C选项；在上任取点（不与点A重合），连接，，当点E和点D或点A重合时的值最大，据此计算即可判断D选项． 【详解】解：∵，，设，则， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当点E和点D重合时，最大为， ∴的最大值为，故A选项正确，不符合题意； 如图①，作点C关于直线的对称点，连接， 记交于点， ∵， ∴， ∴当B，E，三点在同一直线上时，即点E位于点的位置时，的值最小， 最小值为的长， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图②，在的延长线上取一点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， ∴， 同理， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图①，在上任取点（不与点A重合），连接，， 同理， 当点E和点D或点A重合时的值最大， 最大值为的长或的长，最大值为， 故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：＝______． 【答案】1 【解析】 【分析】计算立方根​，计算负整数指数幂．将两个计算结果相加． 【详解】原式． 12. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，．若的半径为5，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由圆内接四边形的性质求解的度数，再由三角形内角和求解的度数，再由圆周角定理求解的度数，最后由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，四边形内接于， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵的半径为5， ∴． 13. 在不透明的甲盒子中装有3个除数字外完全相同的黑球，球上标注的数字依次为1，2，4；在不透明的乙盒子中装有3个除数字外完全相同的白球，球上标注的数字依次为1，3，5．现从甲盒子中随机无放回地摸出2个黑球，将这两个球上的数字之和记为a；从乙盒子中随机无放回地摸出2个白球，将这两个球上的数字之和记为b．以a作为十位数字、b作为个位数字，组成一个两位数．，则这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解a的值与b的值所有可能情况，再列表表示两位数N的情况，再由结合算术平方根的定义由概率公式计算即可． 【详解】解：∵甲盒子黑球数字为：1，2，4，无放回摸2个， ∴所有组合之和分别为：，，， ∴a的值可能为：3，5，6，共3种． ∵乙盒子白球数字为：1，3，5，无放回摸2个， ∴所有组合之和分别为：，，， ∴b的值可能为：4，6，8，共3种． 将a和b按组合，得到所有可能的两位数N列表如下： a b 4 6 8 3 34 36 38 5 54 56 58 6 64 66 68 由列表可知，共有9种等可能的结果， 其中算术平方根为有理数，即N是完全平方数的结果有2个：36，64． ∴这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是． 14. 某中学采购了一批新型实验器材，计划分配给A（物理）、C（化学）、B（生物）、D（地理）四个兴趣小组用于课题研究．当一个小组分配到k套器材并完成一个周期的研究后，该小组能取得的课题成果评分（单位：分）与k的对应关系如下表所示： 小组 分配1套器材 分配2套器材 分配3套器材 分配4套器材 A（物理） 8分 15分 21分 26分 C（化学） 6分 13分 19分 25分 B（生物） 5分 11分 18分 24分 D（地理） 4分 8分 16分 22分 （1）若学校共采购了10套实验器材，每小组已分配了2套，剩余2套分配给四个小组中的1个小组或2个小组，使四个小组的课题成果评分总和最大的分配方案是______； （2）学校共采购了7套实验器材，需全部分配给A（物理）、C（化学）、B（生物）、D（地理）四个兴趣小组（每个小组分配到的器材套数为1到4之间的整数），使四个小组的课题成果评分总和最大的方案有______种． 【答案】 ①. 给B（生物）组1套，D（地理）组1套 ②. 5 【解析】 【难点突破】（1）分情况讨论：①将剩余2套全部分给1个小组时，②将剩余2套分别分给2个小组各1套时，再进一步求解即可； （2）总器材7套，每个小组分配套，即（k可取1，2，3，4）．先给每个小组分配1套，还剩下3套，剩下的这3套所有可能分配类型有三种：再进一步求解即可. 【详解】解：（1）将剩余2套全部分给1个小组时， 由表可知，当从2套器材增加到4套器材时，D（地理）的增量最大，为（分）； 将剩余2套分别分给2个小组各1套时，即分给A（物理）组，得（分）， 分给C（化学）组，得（分）， 分给B（生物）组时，得（分）， 分给D（地理）组时，得（分）， 可知（分）， ∵， ∴将剩余2套器材分给B（生物）组1套，D（地理）组1套，可使四个小组的课题成果评分总和最大； （2）总器材7套，每个小组分配套，即（k可取1，2，3，4）． 先给每个小组分配1套，还剩下3套，剩下的这3套所有可能分配类型有三种： 类型甲：选1个小组分3套； 类型乙：选3个小组各分1套； 类型丙：选1个小组分2套，另选1个小组分1套． 类型甲的最大增量为（分）或（分）； 类型乙的最大增量为（分），即A（物理）、C（化学）、B（生物）各增加1套； 类型丙的最大增量为20（分）． 其中增加1套的最大增量为A（物理）（分）或C（化学）（分）， 增加2套的最大增量为A（物理）（分）或C（化学）（分）或B（生物）（分）， 这样就会有4种方案使得最大增量为20分， 即：①A（物理）增1套，C（化学）增2套；②A（物理）增1套，B（生物）增2套；③C（化学）增1套，A（物理）增2套；④C（化学）增1套，B（生物）增2套． 综上所述，使四个小组的课题成果评分总和最大的方案有5种． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． （1）将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，画出平移后的； （2）边与网格线交于点D，在边上作一点E，使得． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到平移后的； （2）连接，此时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，，所以． 【小问1详解】 先将的图象向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，如图所示． 【小问2详解】 连接，此时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，，根据等边对等角，所以．如图所示， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）求出点的坐标，进而求出的长，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解:令，解得， ∴点A的坐标为， 由，则， ∴点B的坐标为， ∵B为线段的中点， ∴，将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题知直线分别交函数与的图象于点E，F， ∴点E在上，令，得，解得， ∴点E的坐标为． 点F在上，令，得，解得， ∴点F的坐标为． ∵ ，点C到直线的距离为， ∴ ． 18. 2025《中国科技创新盛典》（总台“科晚”）在合肥开启录制，为保障直播安全，技术团队在主舞台（天鹅湖畔）B点及周围A，C，D点处布设电磁安全保障点位．经测量，C在A的北偏东方向，B在A的南偏东方向10千米处，C在B的北偏东方向，且D在B的正北方向与C的正西方向交点处，求B，D两点的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】B，D两点的距离约为19千米 【解析】 【分析】过点A作于点E，求出，，即可求出，再根据求出答案即可． 【详解】解：如解图，过点A作于点E， ， ， ， （千米）， ， ， （千米）， （千米）， 千米， 千米． 答：B，D两点的距离约为19千米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 （1）请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； （2）观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 （3）“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 【答案】（1）7；20；119 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，补全表格即可； （2）观察规律：时，；时，；得到； （3）由题意得到，因此，则，对应前4个偶数项（，，，），得到主序列需生成到第8项或第9项，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据递推公式， ， ， ； 【小问2详解】 解：观察规律：时，； 时，； 时，； 故； 【小问3详解】 解：校验码为696，即＝696， 根据（2）的关系：， 则， 计算数列项，直到找到． ，，，，，，，，， 因此，则，对应前4个偶数项（，，，）， 其和为， 此时主序列需生成到第8项或第9项，即至少生成到第8项． 20. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BE＝ 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； 【小问2详解】 解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 为培育玉米新品种，研究人员从试验田和对照田中各随机抽取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：cm）划分为A，B，C，D四个等级，株高h≥90为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 ①等级划分： 等级 A B C D 株高h（cm） ②试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： ③试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地玉米株高的统计量统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 18.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空： ______， ______， ______； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占30%，抗倒伏、抗病性各占20%计算加权平均分．两块田地玉米的评分如下表： 田地类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 a 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，则整数a的最小值为______． 【答案】（1），88，40 （2）见解析 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行计算即可． （2）根据优秀率，方差，中位数，平均数进行判断即可； （3）分别求出试验田和对照田的综合得分，根据试验田玉米的综合得分不低于对照田，得到，再根据a为整数得到答案即可． 【小问1详解】 解：试验田抽取玉米共20株，中位数为第10，11个数的平均数．将株高按从小到大排序后，第10位为88，第11位为89，故； 对照田C组株高数据中，88出现5次，比其他各组的数据还多，即对照田抽取的株高数据中，88出现次数最多，故； 试验田优秀株（A，B等级）共（株）， ， 故； 【小问2详解】 解：试验田的玉米生长状况更优，优秀率：优秀率（）高于对照田（），说明长势优秀的株数更多． 株高整齐度：方差（）小于对照田（），株高分布更均匀、波动更小． 集中趋势：中位数（）和众数（）均高于对照田，整体株高水平更优； 【小问3详解】 解：试验田：， 对照田：， 若试验田综合得分不低于对照田，则，， 因为a为整数，故a的最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 已知在中，，点D为平面内一点，，的平分线交直线于点E，直线交的延长线于点F，连接． （1）如图①，当点D在上方，且时． （i）判断四边形的形状，并说明理由； （ii）求证：； （2）如图②，当点D在下方时，延长交直线于点G，，求的长． 【答案】（1）（i）四边形是菱形，见解析；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先根据角平分线的性质得到角的关系，再证明与全等，由四边形是平行四边形结合邻边相等即可得形状； （ii）根据菱形的性质以及三角形内角和可得，再根据等角对等边证明即可； （2）过点C作于点M，作于点N，再证明，可得边长成比例，由此求解即可． 【小问1详解】 解：（i）四边形是菱形．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （ii）证明：由（i）知， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点M，作于点N， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（i）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． （1）求A点坐标； （2）两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； （3）当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 【答案】（1）A点坐标为 （2）t的取值范围是或 （3） 【解析】 【分析】（1）求解新抛物线解析式为 ，再进一步求解即可； （2）求解点关于直线的对称点是，当点在新抛物线对称轴右侧时，则；当Q点在新抛物线对称轴左侧时，，再进一步求解即可； （3）求解，结合新抛物线对称轴为直线，且，可得当时，y取最小值，当时，y取最大值，即 ，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，新抛物线解析式为 ， 令，代入可得， 解得， 又∵点A在点B的左边， ∴A点坐标为； 【小问2详解】 解：令，可得 ， 解得， ∴点关于直线的对称点是， 当点在新抛物线对称轴右侧时，则； 当Q点在新抛物线对称轴左侧时，， 解得． 综上所述，t的取值范围是或； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵新抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，y取最小值，当时，y取最大值， 即 ， ∵， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴， ∵为整数， ∴或， ∴（舍去）或， ∴当，此时； 当，此时，但此时不满足题意，故舍去． 将，代入 ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数为（ ） A. B. C. D. 6 2. 如图是由一个长方体底座和一个三棱柱屋顶组成的“迷你屋”模型，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年的元旦小长假，长三角铁路累计发送旅客974.8万人次，其中“974.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺和顶点C重合平放在桌面上，过点C作，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是( ) A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，若为整数，则所有可能的值之和是（ ）． A. B. 3 C. D. 4 8. 如图，正五边形的边长为2，分别以B，E为圆心，2为半径画弧，两弧交于点P，连接和，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与直线交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，过点E在左侧作，，连接和，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：＝______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，．若的半径为5，则扇形的面积为______． 13. 在不透明的甲盒子中装有3个除数字外完全相同的黑球，球上标注的数字依次为1，2，4；在不透明的乙盒子中装有3个除数字外完全相同的白球，球上标注的数字依次为1，3，5．现从甲盒子中随机无放回地摸出2个黑球，将这两个球上的数字之和记为a；从乙盒子中随机无放回地摸出2个白球，将这两个球上的数字之和记为b．以a作为十位数字、b作为个位数字，组成一个两位数．，则这个两位数N的算术平方根为有理数的概率是______． 14. 某中学采购了一批新型实验器材，计划分配给A（物理）、C（化学）、B（生物）、D（地理）四个兴趣小组用于课题研究．当一个小组分配到k套器材并完成一个周期的研究后，该小组能取得的课题成果评分（单位：分）与k的对应关系如下表所示： 小组 分配1套器材 分配2套器材 分配3套器材 分配4套器材 A（物理） 8分 15分 21分 26分 C（化学） 6分 13分 19分 25分 B（生物） 5分 11分 18分 24分 D（地理） 4分 8分 16分 22分 （1）若学校共采购了10套实验器材，每小组已分配了2套，剩余2套分配给四个小组中的1个小组或2个小组，使四个小组的课题成果评分总和最大的分配方案是______； （2）学校共采购了7套实验器材，需全部分配给A（物理）、C（化学）、B（生物）、D（地理）四个兴趣小组（每个小组分配到的器材套数为1到4之间的整数），使四个小组的课题成果评分总和最大的方案有______种． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． （1）将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，画出平移后的； （2）边与网格线交于点D，在边上作一点E，使得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 18. 2025《中国科技创新盛典》（总台“科晚”）在合肥开启录制，为保障直播安全，技术团队在主舞台（天鹅湖畔）B点及周围A，C，D点处布设电磁安全保障点位．经测量，C在A的北偏东方向，B在A的南偏东方向10千米处，C在B的北偏东方向，且D在B的正北方向与C的正西方向交点处，求B，D两点的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 （1）请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； （2）观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 （3）“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中 或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 20. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为培育玉米新品种，研究人员从试验田和对照田中各随机抽取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：cm）划分为A，B，C，D四个等级，株高h≥90为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 ①等级划分： 等级 A B C D 株高h（cm） ②试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： ③试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地玉米株高的统计量统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 18.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空： ______， ______， ______； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占30%，抗倒伏、抗病性各占20%计算加权平均分．两块田地玉米的评分如下表： 田地类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 a 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，则整数a的最小值为______． 七、（本题满分12分） 22. 已知在中，，点D为平面内一点，，的平分线交直线于点E，直线交的延长线于点F，连接． （1）如图①，当点D在上方，且时． （i）判断四边形的形状，并说明理由； （ii）求证：； （2）如图②，当点D在下方时，延长交直线于点G，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． （1）求A点坐标； （2）两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； （3）当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $