微专题1一元二次不等式恒(能)成立问题讲义-2027届高三数学一轮复习

微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题 视角一　在实数集R上的恒成立问题 例1 不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(－2，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P58T6)不等式2kx2＋kx－<0对一切x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________． 视角二　在给定区间上的恒成立问题 例2 (1)若不等式x2＋ax＋1>0对任意x∈(0，2]恒成立，求实数a的取值范围． (2)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记： (1)若欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min. (2)若参数不能分离出来，则要利用二次函数的图象根据对称轴分类讨论． 　跟踪训练　(1)已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．(－，1] C．[0，＋∞) D．[－1，－] (2)若对任意x∈[－1，]，x2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 视角三　变换主元解决恒成立问题 例3 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为__________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零，同理，若f(x)<0恒成立⇔ 　跟踪训练　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围． 视角四　一元二次不等式能成立问题 例4 已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (1)命题p：∃x∈R， f(x)<x为假命题，求实数m的取值范围； (2)当1≤x≤3时，不等式f(x)≤x2＋2x有解，求实数m的取值范围． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：当不等式中含有参数和变量，且能将参数与变量分离到不等式两边时，可使用分离参数法． 根据能成立的条件确定参数的取值范围．若a>f(x)能成立，则a>f(x)min；若a<f(x)能成立，则a<f(x)max. 　跟踪训练　已知函数f(x)＝2x2－1，g(x)＝6x＋a，a∈R.若存在x∈[－2，2]，使不等式f(x)<g(x)成立，求a的取值范围． 提示：请完成微专题1 微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题 例1　解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，即a≠2时，要使得不等式(a－2)·+ (a2)x1<0对一切 x恒成立，则满足 解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2，2].故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：当k＝0时，－<0恒成立，符合题意；当k≠0， 则解得－3<k<0.综上，实数k的取值范围是(－3，0]. 答案：(－3，0] 例2　解析：(1)不等式x2＋ax＋1>0对任意的x∈(0，2]恒成立， 等价于－a<x＋对任意的x∈(0，2]恒成立， 记f(x)＝x＋，则原恒成立问题等价于－a<f(x)min， 因为x∈(0，2]，由基本不等式可得f(x)＝x＋≥2 ＝2， 当且仅当x＝(0<x≤2)时，即当x＝1时，等号成立． 所以，－a<2，解得a>－2. 因此，实数a的取值范围是{a|a>－2}． (2)f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有当－≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，即a≥4不合题意；当－2<－<2，即－4<a<4时，f(x)≥f＝≥0，解得－6≤a≤2，即－4<a≤2；当－≥2，即a≤－4时，f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，即－7≤a≤－4.综上所述，a的取值范围为[－7，2]. 跟踪训练　解析：(1)由x2－2x≤0，求出0≤x≤2， ax2＋2x－1≤0在x∈[0，2]上恒成立， ax2＋2x－1≤0⇒ax2≤1－2x， 当x＝0时，0≤1，a∈R； 当x∈(0，2]时，ax2≤1－2x⇒a≤＝2－1， 其中2－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立， 故a≤－1. 综上，a的取值范围为(－∞，－1]. 故选A. 解析：(2)设f(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则f(x)min>0， (ⅰ)当－≤－1，即a≥2时，f(x)min＝f(－1)＝2－a>0，解得a<2，无解； (ⅱ)当－1<－<，即－1<a<2时，f(x)min＝f＝－＋1>0，解得－2<a<2，则－1<a<2； (ⅲ)当－，即a≤－1时，f(x)min＝f＝>0，解得a>－，则－<a≤－1， 所以实数a的取值范围为. 答案：(1)A　 答案：(2) 例3　解析：当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即当a∈[－1，1]时，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立． 设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0恒成立， 所以即解得x>3或x<1. 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 跟踪训练　解析：改变主元，将m视为主变元，将原不等式化为－(2x－1)<0， 令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立， 只需即 解得得<x<， 故x的取值范围是. 例4　解析：(1)由已知命题为假命题，则∀x∈R，(m＋1)x2－mx＋m－1≥0， 当m＋1＝0，即m＝－1时，x－2≥0，显然在R上不恒成立； 当m＋1<0，即m<－1时，此时y＝(m＋1)x2－mx＋m－1的图像开口向下，故不等式在R上不恒成立； 当m＋1>0时，则 即⇒m≥， 综上，m的取值范围是. (2)不等式f(x)≤x2＋2x，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≤x2＋2x，即m(x2－x＋1)≤x＋1. 由x2－x＋1>0恒成立，则m≤在1≤x≤3时有解，m≤， 设x＋1＝t，有2≤t≤4，＝＝＝， 而y＝t＋－3在[2，4]上单调递增，则y∈，故∈， 所以m≤2，实数m的取值范围为(－∞，2]. 跟踪训练　解析：因为存在x∈[－2，2]，使不等式f(x)<g(x)成立， 即存在x∈[－2，2]，使不等式2x2－6x－1<a成立， 令h(x)＝2x2－6x－1，x∈[－2，2]， 所以a>h(x)min＝－，所以a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $