第10节 指、对、幂的大小比较方法讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指对幂大小比较这一高考高频考点，按求同存异、中间变量、构造函数等题型逻辑展开，通过考向预测梳理核心方法，结合例题精讲与变式训练，构建“考点—方法—应用”的系统复习路径。 资料突出方法创新与素养培养，如用“求同存异法”转化指数底数比较，借助构造函数发展数学思维，配套分层限时训练提升解题效率。既帮助学生掌握估值推理等关键能力，也为教师提供精准复习节奏把控的教学支撑。

第二章函数 第10节　指、对、幂的大小比较方法 【考向预测】 近三年高考数学指对幂数值大小比较属于年年必考、高频热门考点，多位于选择题中档或压轴位置，考查频次稳定且分值固定，常用作差作商法、中间值 0/1 搭桥法、单调性法、构造函数法、放缩估算法五大核心方法，常融合指数、对数、幂函数三类式子混合比大小，还常结合函数性质、不等式综合设题。预测 2027 年依旧保持必考态势，命题会更侧重多类型混合比较、隐蔽中间值选取、构造新函数单调性比较及变式放缩，弱化直白基础题型，强化数形结合、构造转化与估值推理，重点考查技巧灵活运用、快速估值能力和抽象逻辑辨析能力。 【考点突破●明方向】 题型一　求同存异 例1 (1)设a＝0.60.3,b＝0.30.3,c＝0.30.6,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a (2)若a＝log37,b＝log940,c＝,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 【名师点拨】求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 【变式训练】1 (1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6,b＝21.3,c＝,则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c (2)(2026·北京海淀区调研)设a＝log32,b＝log96,c＝,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 题型二　用特殊值作中间变量 例2 (1)设a＝20.7,b＝,c＝log2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a (2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32,b＝log43,c＝,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 【名师点拨】利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1＝log22<log23<log24＝2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较. 【变式训练】2 (1)(2026·河北邢襄联盟联考)若a＝0.30.4,b＝0.40.3,c＝2log83,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b (2)设a＝log2π,b＝loπ,c＝π－2,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 题型三　构造函数比较大小 例3 (2026·四川阶段检测)已知a－＝0,b＝,c＝aa,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 【名师点拨】如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小. 【变式训练】3 (2026·烟台质检)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1,则(　　) A.ln(2b－a＋1)<0 B.ln(2b－a＋1)>0 C.ln|a－2b|>0 D.ln|a－2b|<0 对数型糖水不等式 1.教材母题 (人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: (1)设b>a>0,m>0,则有<. (2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. 2.对数型糖水不等式 (1)设n∈N*,且n>1,则有log(n＋1)n<log(n＋2)(n＋1); (2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a＋m)(b＋m); (3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b＋m)(a＋m). 典例 已知a＝3log83,b＝－lo16,c＝log45,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 2.已知a＝0.,b＝log8,c＝,则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 3.(2026·黑龙江六校联合体模拟)下列不等关系中a<b的充分条件是(　　) A.log0.3a<log0.3b B.a＝(－1.4)3,b＝(－1.5)3 C.a＝1.70.3,＝0.9 D.log64a＝－,b5＝8 4.(2026·铜仁质监)已知0<m<n<1,x＝lognm,y＝mn,z＝nm,则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<y<x D.y<z<x 5.已知实数a,b满足2a＋2a<2b＋2b,则a,b的大小关系为(　　) A.a>b B.a＝b C.a<b D.不能确定 6.(2026·白银模拟)若a＝log53,b＝log5018,c＝lg 6,则(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c 7.(2025·赣州三模)已知a＝log23＋log32,b＝log45＋log54,则下列结论正确的是(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.2>a>b 8.(2026·武汉质检)若b>1,a∈R,且＋2ln b＝a＋,则(　　) A.2a<b B.a>2b C.ea<b2 D.ea>b2 二、多选题 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是(　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 10.(2026·宜昌模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x,则下列关系正确的是(　　) A.x<y B.x3<y3 C.ln x>ln y D.2－x> 11.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则(　　) A.b>a B.c>a C.a－b>ab D.a＋b>ab 三、填空题 12.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c的大小关系为　　　　　.  13.(2025·石家庄调研)已知a＝log34,b＝log45,c＝log56,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接).  14.已知a＝log54,b＝log43,c＝,则三个数a,b,c的大小关系为　　　　.  第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章函数 第10节　指、对、幂的大小比较方法 【考向预测】 近三年高考数学指对幂数值大小比较属于年年必考、高频热门考点，多位于选择题中档或压轴位置，考查频次稳定且分值固定，常用作差作商法、中间值 0/1 搭桥法、单调性法、构造函数法、放缩估算法五大核心方法，常融合指数、对数、幂函数三类式子混合比大小，还常结合函数性质、不等式综合设题。预测 2027 年依旧保持必考态势，命题会更侧重多类型混合比较、隐蔽中间值选取、构造新函数单调性比较及变式放缩，弱化直白基础题型，强化数形结合、构造转化与估值推理，重点考查技巧灵活运用、快速估值能力和抽象逻辑辨析能力。 【考点突破●明方向】 题型一　求同存异 例1 (1)设a＝0.60.3,b＝0.30.3,c＝0.30.6,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a (2)若a＝log37,b＝log940,c＝,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 【答案】(1)D　(2)D 【解析】(1)因为指数函数y＝0.3x在R上为单调递减函数, 所以0.30.3>0.30.6,即b>c, 又幂函数y＝x0.3在[0,＋∞)上为增函数, 所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c. (2)依题意,a＝log37＝log949,故a>b; 而a<log39＝2<c, 故b<a<c,故选D. 【名师点拨】求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 【变式训练】1 (1)(2026·杭州段测)已知a＝40.6,b＝21.3,c＝,则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c (2)(2026·北京海淀区调研)设a＝log32,b＝log96,c＝,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 【答案】(1)D　(2)D 【解析】(1)a＝40.6＝21.2,b＝21.3,c＝＝20.5, 由于y＝2x是增函数,故21.3>21.2>20.5, 即b>a>c. (2)因为b＝log96＝lo()2＝log3, 且c＝＝log3, 又<2<,函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增,则log3<log32<log3, 所以c<a<b. 题型二　用特殊值作中间变量 例2 (1)设a＝20.7,b＝,c＝log2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a (2)(2026·苏州部分学校联考)已知a＝log32,b＝log43,c＝,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a 【答案】(1)D　(2)A 【解析】(1)由题意知,a＝20.7>20＝1, b＝＝3－0.7<30＝1, 又b>0,所以0<b<1,c＝log2<0, 所以c<b<a. (2)易知0<a＝log32<log33＝1,0<b＝log43<log44＝1,c＝>＝1, 因为3a＝3log32＝log38<log39＝2,3b＝3log43＝log427>log416＝2, 所以3a<3b,所以a<b,所以a<b<c.故选A. 【名师点拨】利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1＝log22<log23<log24＝2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较. 【变式训练】2 (1)(2026·河北邢襄联盟联考)若a＝0.30.4,b＝0.40.3,c＝2log83,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b (2)设a＝log2π,b＝loπ,c＝π－2,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 【答案】(1)C　(2)C 【解析】(1)因为y＝0.3x在定义域上单调递减, 所以a＝0.30.4<0.30.3. 因为y＝x0.3在区间(0,＋∞)上单调递增, 所以0.30.3<0.40.3＝b<1, 故a<b<1. 又c＝2log83＝log89>1,所以c>b>a.故选C. (2)依题意,a＝log2π>log22＝1,b＝loπ<lo1＝0,0<c＝π－2<π0＝1,所以a>c>b. 题型三　构造函数比较大小 例3 (2026·四川阶段检测)已知a－＝0,b＝,c＝aa,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 【答案】C 【解析】令f(x)＝x－,易知f(x)在R上单调递增. 由f(1)>0,f<0,得∃x∈, 使得f(x)＝0, 故a∈. 因为b＝,a＝,且a<,所以由指数函数y＝在R上单调递减, 可得a>b,又由指数函数y＝ax在R上单调递减,可得aa>a1,所以c＝aa>a,故b<a<c.故选C. 【名师点拨】如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小. 【变式训练】3 (2026·烟台质检)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1,则(　　) A.ln(2b－a＋1)<0 B.ln(2b－a＋1)>0 C.ln|a－2b|>0 D.ln|a－2b|<0 【答案】B 【解析】对已知不等式变形可得2a＋log2a<22b＋log22b, 令f(x)＝2x＋log2x,x>0. 易知函数y＝2x与y＝log2x在(0,＋∞)上均为增函数. 所以函数f(x)＝2x＋log2x在(0,＋∞)上为增函数, 2a＋log2a<22b＋log22b,即f(a)<f(2b), 故a<2b, 即2b－a>0,所以2b－a＋1>1, 则ln(2b－a＋1)>0,故A错,B正确. 无法确定|a－2b|与1的大小,故无法确定ln|a－2b|与0的大小,C,D都错,故选B. 对数型糖水不等式 1.教材母题 (人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: (1)设b>a>0,m>0,则有<. (2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. 2.对数型糖水不等式 (1)设n∈N*,且n>1,则有log(n＋1)n<log(n＋2)(n＋1); (2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a＋m)(b＋m); (3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b＋m)(a＋m). 典例 已知a＝3log83,b＝－lo16,c＝log45,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 【答案】A 【解析】法一　a＝3log83＝log827＝lo33＝log23, b＝－lo16＝log316＝log34. 对任意x>y>0,m>0, ＝>0,即>. 所以a＝log23＝> ＝log3>log34,即a>b, b＝log34＝>＝log4>log45,即b>c,所以a>b>c. 法二　a＝3log83＝log827＝lo33＝log23, b＝－lo16＝log316＝log34,c＝log45, 利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c. 【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 【答案】D 【解析】依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3<log0.20.2＝1,所以b>a>c. 2.已知a＝0.,b＝log8,c＝,则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】A 【解析】由于y＝0.7x是R上的减函数, 则0<0.<0.70＝1,所以0<a<1, 由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函数, 则log8<log81＝0,所以b<0, 由于y＝4x是R上的增函数, 则>40＝1,所以c>1, 所以b<a<c. 3.(2026·黑龙江六校联合体模拟)下列不等关系中a<b的充分条件是(　　) A.log0.3a<log0.3b B.a＝(－1.4)3,b＝(－1.5)3 C.a＝1.70.3,＝0.9 D.log64a＝－,b5＝8 【答案】D 【解析】由log0.3a<log0.3b,可得a>b>0, 故不是a<b的充分条件,A错误; 由a＝(－1.4)3＝－1.43,b＝(－1.5)3＝－1.53,1.43<1.53, 可得a>b,故不是a<b的充分条件,B错误; 因为a＝1.70.3>1.70＝1, 又由＝0.9,可得b＝0.93<1,所以a>b,故不是a<b的充分条件,C错误; 由log64a＝－,可得a＝6,由b5＝8,可得b＝>1, 所以a<b,故是a<b的充分条件,D正确.故选D. 4.(2026·铜仁质监)已知0<m<n<1,x＝lognm,y＝mn,z＝nm,则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<y<x D.y<z<x 【答案】D 【解析】因为0<m<n<1,所以x＝lognm>lognn＝1,0<y＝mn<m0＝1,0<z＝nm<n0＝1, 易知函数f(x)＝mx(0<m<1)单调递减, 则y＝mn<mm,函数g(x)＝xm(0<m<1)单调递增,则mm<nm＝z, 所以y<z,因此y<z<x.故选D. 5.已知实数a,b满足2a＋2a<2b＋2b,则a,b的大小关系为(　　) A.a>b B.a＝b C.a<b D.不能确定 【答案】C 【解析】设f(x)＝2x＋2x,x∈R, 则f(a)<f(b),因为函数y＝2x和y＝2x在R上都为增函数, 所以函数f(x)在R上为增函数,所以a<b. 6.(2026·白银模拟)若a＝log53,b＝log5018,c＝lg 6,则(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c 【答案】D 【解析】a＝log53＝<＝log5018＝b, c＝>＝log5018＝b, 所以a<b<c. 7.(2025·赣州三模)已知a＝log23＋log32,b＝log45＋log54,则下列结论正确的是(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.2>a>b 【答案】A 【解析】设f(x)＝x＋,x>0, 由对勾函数单调性,f(x)在(0,1)上递减, 在(1,＋∞)上递增,f(x)min＝f(1)＝2, 且a＝log23＋log32＝log23＋＝f(log23), b＝log45＋log54＝log45＋＝f(log45), 因为log23>log2＝log45>1, 所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2. 8.(2026·武汉质检)若b>1,a∈R,且＋2ln b＝a＋,则(　　) A.2a<b B.a>2b C.ea<b2 D.ea>b2 【答案】C 【解析】由＋2ln b＝a＋, 得－a＝－2ln b, 即e－a－a＝＋2ln, 即e－a－a＝＋ln, 因为b>1,所以＋ln>＋ln, 从而e－a－a>＋ln. 法一　令f(x)＝ex＋x,上述不等式可化为f(－a)>f, 易知f(x)在R上单调递增, 所以－a>ln,即－a>－ln b2,a<ln b2, 所以ea<b2.故选C. 法二　令g(x)＝x＋ln x,不等式e－a－a>＋ln可化为g(e－a)>g, 易知g(x)在定义域内单调递增,所以e－a>,所以ea<b2. 二、多选题 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是(　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 【答案】BC 【解析】对于A,∵0<a<1,幂函数y＝xa在(0,＋∞)上单调递增,且b>c>1,∴ba>ca,故A错误; 对于B,∵0<a<1,∴函数y＝logax在(0,＋∞)上单调递减, 又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1＝0, ∴0>>, 即0>logba>logca,故B正确; 对于C,∵0<a<1,则a－1<0, ∵函数y＝xa－1在(0,＋∞)上单调递减, 且b>c>1,∴ba－1<ca－1,∴cba<bca,故C正确; 对于D,由选项B可知0>logba>logca, ∴0<－logba<－logca, ∵b>c>1,∴c(－logba)<b(－logca), ∴blogca<clogba,故D错误. 10.(2026·宜昌模拟)若3x＋5－y<3y＋5－x,则下列关系正确的是(　　) A.x<y B.x3<y3 C.ln x>ln y D.2－x> 【答案】ABD 【解析】对于A,因为3x＋5－y<3y＋5－x, 所以3x－5－x<3y－5－y, 令f(x)＝3x－5－x,易得f(x)为增函数, 又f(x)<f(y),故x<y,故A正确; 对于B,因为x<y,函数y＝x3在定义域R上单调递增,则x3<y3,故B正确; 对于C,令x＝－2,y＝－1,则满足x<y, 但ln x,ln y无意义,故C错误; 对于D,因为x<y,故2－x＝>,故D正确. 11.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则(　　) A.b>a B.c>a C.a－b>ab D.a＋b>ab 【答案】BD 【解析】因为a＝ln 4>ln e＝1,b＝lg 4<lg 10＝1,所以b<a,故A错误; 因为42<e3,所以ln 42<ln e3, 即ln 4<, 又,(20.6)5＝()5＝8＝, 所以<20.6,则ln 4<20.6,即a<c,故B正确; 因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝－lg 4－, 而lg(4e)>1,lg 4>0,lg e>0, 所以a－b－ab<0,即a－b<ab,故C错误; 由a＋b－ab＝＋lg 4－·lg 4 ＝lg 4·>0, 所以a＋b>ab,故D正确. 三、填空题 12.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c的大小关系为　　　　　.  【答案】a<c<b 【解析】因为函数y＝log2x是增函数, 且0.5<1,则a＝log20.5<log21＝0, 因为函数y＝2x是增函数,且0.5>0, 则b＝20.5>20＝1, 因为正弦函数y＝sin x在区间上单调递减,且<2<π, 所以0＝sin π<c＝sin 2<sin ＝1, 所以a<c<b. 13.(2025·石家庄调研)已知a＝log34,b＝log45,c＝log56,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接).  【答案】a>b>c 【解析】法一　由a＝log34＝, b＝log45＝,c＝log56＝, 所以a－b＝, 而ln 3 ln 5<<＝ln24, 故a－b>0,故a>b, 同理可得b>c,则a>b>c. 法二　由对数型糖水不等式得log34>log45>log56,即a>b>c. 14.已知a＝log54,b＝log43,c＝,则三个数a,b,c的大小关系为　　　　.  【答案】c>a>b 【解析】由对数型糖水不等式得log43<log54<log55＝1,而>＝1,故c>a>b. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $