精品解析：山东省聊城市阳谷县2026年中考一模考试数学试题

二○二六年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（一） 本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 2. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 根据轴对称图形定义：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”；及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【详解】解： A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 4. 今年世界读书日，某出版社发布数据，其推出的四本热门书籍《成长的足迹》《知识的海洋》《思维的火花》《探索的旅程》受到广泛关注，该出版社在世界读书日这一周的书籍销售额达亿元．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确， 不符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     C.     ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并． 6. 现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回，洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示．根据题意画出树状图，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示． 根据题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的结果有1种， （两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化）， 故选A． 7. 神话故事中有3个头4只手的神兽若干，有1个头6只手的仙兽若干，两方争斗，共有24个头，68只手．问神兽、仙兽各有多少？设神兽有x个，仙兽有y个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据总头数和总手数的等量关系，分别列出方程得到方程组，再匹配选项即可，解题关键是准确找到对应等量关系 【详解】设神兽有个，仙兽有个， ∵ 每个神兽有个头，每个仙兽有个头，总头数共个， ∴ 个神兽总头数为，个仙兽总头数为，可得第一个方程： ， ∵ 每个神兽有只手，每个仙兽有只手，总手数共只， ∴ 个神兽总手数为，个仙兽总手数为，可得第二个方程： ， 因此所列方程组为 8. 在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”. 【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x， A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合； B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合； C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合； D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； 故选B. 【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明四边形是菱形可得结论． 【详解】解：如图2中，由作图可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同法可证， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的周长． 故选：B． 10. 如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. C. 28 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积． 【详解】∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）， 把点A、B的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数关系式为： ， ∴顶点坐标为（-1，4）， ∵根据旋转可知，与x轴围成的图形面积等于与x轴围成的图形面积， ∴图中阴影部分的面积为：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键． 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 12. 已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，． 根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可． 【详解】解：一元二次方程有两个根， ， ， 两根之和为正数，两根之积是负数， ∴，， ， 令，． 故答案为：，（答案不唯一）． 13. 如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点，是经过剪刀手柄的直线．若，，则的度数是_____． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4051， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴． 15. 如图，正方形的边长为8，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由题意得，，，勾股定理求出，由，得到当点在线段上时，最小，此时，，设，则，利用可得的长，即可求出结果． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为8，点G是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ， 当点在线段上时，最小，此时，， 将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算平方，三角函数，0指数幂，负整数指数幂，再相加即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式化简，再去括号将除法转化为乘法，然后约分，最后将代入计算即可． 【详解】（1） ； （2） ， 将代入得原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 【答案】情况一（或情况二或情况三），证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 选择情况一时，延长到，使，连接，全等，得，再证即可得出结论；选择情况二时，由已知可得为线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择情况三时，可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：选择情况一，证明如下： 延长到E，使，连接，如图所示： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 选择情况二，证明如下： ∵于D， ∴为线段的垂直平分线， ∴； 选择情况三，证明如下： ∴于D， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个 （2）费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购个单枪新能源充电桩，则加购个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为 如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍 解得 随的增大而减小 答：费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个． 19. 体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体240名女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取该20名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 信息1：两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）： 上学期测试成绩频数分布直方图 本学期测试成绩频数分布直方图 信息2：成绩在的是： 上学期：80 81 85 85 85 86 88 本学期：80 82 83 86 86 86 88 89 信息3：上学期及本学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 84 a 85 本学期 b 86 d 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a的值是________． （2）下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②成绩的极差可能为40；③b有可能等于80．其中，所有正确结论的序号是________． （3）从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质健康变化情况． （4）若大于等于80分为优秀，则本学期九年级全体女生达到优秀的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）② （3）从中位数上看，由上学期的分到本学期的86分，表明一半以上的女生体质情况有较大提升；从成绩达到80分的女生数上看，本学期比上学期增加3人，且90分以上的多2人，表明体质训练有效果（答案不唯一）． （4）168人 【解析】 【分析】（1）根据所给数据和直方图、中位数的定义即可得； （2）分别根据平均数、中位数、众数、极差的定义逐个判断即可得； （3）从中位数、频数分布直方图的角度分析即可得． （4）先求样本里80分及以上的优秀人数，再算出样本优秀率，最后用用样本估计总体求出全校优秀人数． 【小问1详解】 解：由中位数的定义得：上学期样本测试成绩按从小到大的顺序排序后，第10个数和第11个数的平均数为其中位数则 ； 【小问2详解】 解：由本学期测试成绩频数分布直方图可知，的人数为3人，的人数为3人，的人数为8人，的人数为6人， 成绩在的这部分数据中，86出现的次数最多，为3次，但在区间的成绩，有可能某个成绩的次数超过3次，则不一定等于86，即结论①错误； 由极差的定义得：本学期样本测试成绩的极差的最大值为， 则测试成绩的极差可能为40，即结论②正确； 设的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为， 则，，， 即，，， ， 则， 由平均数的公式得：， 则， 即， 因此，没有可能等于80，即结论③错误； 综上，正确结论的序号是②； 【小问3详解】 解：从中位数上看，由上学期的分到本学期的86分，表明一半以上的女生体质情况有较大提升， 从成绩达到80分的女生数上看，本学期的人数为，上学期的人数为，即本学期比上学期增加3人，且90分以上的多2人，表明体质训练有效果． 【小问4详解】 解： 抽取样本共20名女生， 成绩80分及以上优秀人数：（人）， 优秀率为：， 九年级全体女生共240人， 九年级优秀总人数约为：（人）． 20. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． 【小问3详解】 解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 22. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点； （2）若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点情况，二次函数的图象和性质， （1）由，，即可得证； （2），分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则且，，即可求解； （3）当时，总有随的增大而减小，则，，继而得出，再根据二次函数的最值即可得解； 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴该函数图象与轴一定要有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点、分别位于抛物线对称轴的两侧，且， ∴且，， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 ∵图象过点， ∴，即， ∵当时，总有随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值是：， ∴的最小值是． 23. 【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）正确，见解析；（3）；（4）4；（5） 【解析】 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可解答； （2）在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可； （3）取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； （4）如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可； （5）连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，，先根据等边三角形的判定与性质可得，根据圆周角定理可得，则可得，再作的外接圆，求出，然后可得当点共线时，，此时的值最大，最大值为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、， 则有（两点之间，线段最短） 即 由得，即， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：小琳的说法正确，理由如下： 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴，即． ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小琳的说法正确； （3）解：如图，取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ， ∴的最小值为：， 故答案为：； （4）解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得， ，， ∴要使最小，只需最小， 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4， 故答案为：4； （5）解：如图，连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，， ∵半径为6， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则需点到的距离最大， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为， ∴的最大面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短、坐标与图形，等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、圆中的最值问题等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（一） 本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 今年世界读书日，某出版社发布数据，其推出的四本热门书籍《成长的足迹》《知识的海洋》《思维的火花》《探索的旅程》受到广泛关注，该出版社在世界读书日这一周的书籍销售额达亿元．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回，洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 神话故事中有3个头4只手的神兽若干，有1个头6只手的仙兽若干，两方争斗，共有24个头，68只手．问神兽、仙兽各有多少？设神兽有x个，仙兽有y个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. C. 28 D. 32 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________． 13. 如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点，是经过剪刀手柄的直线．若，，则的度数是_____． 14. 两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 15. 如图，正方形的边长为8，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求代数式的值：，其中． 17. 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形（结论）． 选择下面一种情况，完成证明． 情况一 情况二 情况三 已知：如图，在中，平分，D是BC的中点， 已知：如图，在中，，于D 已知：如图，在中，于，AD平分 选择情况：_____________． 证明： 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 19. 体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体240名女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取该20名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 信息1：两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）： 上学期测试成绩频数分布直方图 本学期测试成绩频数分布直方图 信息2：成绩在的是： 上学期：80 81 85 85 85 86 88 本学期：80 82 83 86 86 86 88 89 信息3：上学期及本学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 84 a 85 本学期 b 86 d 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a的值是________． （2）下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②成绩的极差可能为40；③b有可能等于80．其中，所有正确结论的序号是________． （3）从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质健康变化情况． （4）若大于等于80分为优秀，则本学期九年级全体女生达到优秀的人数约为多少？ 20. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 21. 综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） （1）求的度数； （2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； （3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 22. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点； （2）若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 23. 【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $