精品解析：2025年山东省聊城市阳谷县中考数学一模试题

二〇二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（一） 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共7页．选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并收回． 5．不允许使用计算器． 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）． 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 3. 据统计，2025年我国人工智能核心产业规模达6784亿元，数据“6784亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：6784亿； 故选C． 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 7. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 9. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故选：B． 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，满分18分．） 11. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 12. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度． 【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，设点的坐标为，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，连接，得到，得到，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，得到，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，点的坐标为， ∴， ∵反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限， ∴； ∴， ∵在第一象限， ∴， ∴； 故答案为：3． 14. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 15. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥高cm， 故答案是：． 16. 在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，； 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当时，原式． 18. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线分别交，于点，，连接，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考尺规作图—作垂线，斜边上的中线，解直角三角形，解题的关键是得到垂直平分线段： （1）根据作图，得到垂直平分线段，进而得到是斜边上的中线，进行求解即可； （2）解直角三角形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：垂直平分线段， ∴为的中点， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求、的值和一次函数的表达式； （2）连接，求点到线段的距离． 【答案】（1），， （2）点到线段的距离为 【解析】 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【小问1详解】 点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； 【小问2详解】 如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 20. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， （1）填空：______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1）91，92.5，90 （2）图见解析 （3）八（1）班的成绩更好一些，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，列表法求概率： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行计算即可； （2）根据数据描述画出条形图即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为， ∴， 八（3）班的数据出现次数最多的为：90， ∴； 【小问2详解】 由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图： 【小问3详解】 八（1）班的成绩更好一些，理由如下： 两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些； 【小问4详解】 用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 共20种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种， ∴． 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 22. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． （1）请仅就图2的情形证明． （2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】（1）见解析 （2）塑像的高约为 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数（）． （1）求二次函数对称轴． （2）若当时，函数的最大值为10，求此二次函数的最小值． （3）抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将两点式化为一般式，直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，得到时，函数取最大值，求出的值，当时，函数取最小值，代入计算即可； （3）根据，得到不关于对称轴对称，进而得到或，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为：； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为：， 解得：或（舍去）； 当时，函数有最小值为：； 【小问3详解】 ∵对于，都有， ∴不关于对称轴对称， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（一） 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共7页．选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并收回． 5．不允许使用计算器． 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）． 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 据统计，2025年我国人工智能核心产业规模达6784亿元，数据“6784亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 9. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A B. C. 0 D. 1 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，满分18分．） 11. 计算的结果为___． 12. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，设点的坐标为，则_____． 14. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 15. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______cm． 16. 在你合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．当为偶数时，则的值为______． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线分别交，于点，，连接，． （1）求的长； （2）求的长． 19. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求、的值和一次函数的表达式； （2）连接，求点到线段的距离． 20. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， （1）填空：______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 22. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 23. 如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． （1）请仅就图2情形证明． （2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数（）． （1）求二次函数对称轴． （2）若当时，函数最大值为10，求此二次函数的最小值． （3）抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $