精品解析：山西长治市长子县部分学校2025-2026学年第二学期期中测试八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期学业素养调研 八年级数学 考试时长：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 依据分式的概念逐一判断选项即可，分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子． 【详解】解： 选项A是单项式，属于整式； 选项B的分母是常数2，不含字母，属于整式； 选项C的分母是，含有字母a，符合分式定义； 选项D的分母是常数5，不含字母，属于整式； 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为0的性质，列式求解x的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 4. 已知一次函数与的图象的交点的坐标是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程的关系，掌握二者的关系是解题的关键． 根据一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解直接进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标是， ∵一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解， ∴方程组的解是， 故选：D． 5. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为0.000002，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将0.000002用科学记数法表示为． 6. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，据此求出、的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称 ∴，， ∴， 故选：C． 7. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1， A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误； B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误； C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确； D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断a、b的符号，结合函数图象可得答案． 【详解】解：A、∵两个一次函数与y轴的交点都在y轴的正半轴， ∴， ∴两个一次函数的图象都应该经过第一、二、三象限，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； B、∵一个一次函数的图象经过第二、三、四象限，一个一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴两个一次函数与y轴的交点都在y轴的负半轴上，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； C、∵一个一次函数的图象经过第一、三、四象限，一个一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴此时的函数图象满足这个条件，故此选项符合题意； D、∵两个一次函数与y轴的交点都在y轴的负半轴， ∴， ∴两个一次函数的图象都应该经过第一、三、四象限，此时的函数图象不满足这个条件，故此选项不符合题意； 9. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，先解方程得到，再由方程的解为正数，得到，再由，可得，从而可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 分式与的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】两个分式的分母都是单项式，因此最简公分母是各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积． 【详解】解：系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， 因此分式与的最简公分母． 12. 函数的自变量x的取值范围是_________________ 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，得：x+3＞0， 解得：x＞-3， 故答案为：x＞-3． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 若分式的值为0，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子等于零的方程，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解可得， 解可得， ∴符合条件的的值为． 14. 在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出电流与电阻的函数关系式，再把代入关系式中求出I的值即可． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，． 15. 已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8个小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2）解方程 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得 检验：把代入，得． 是原方程的增根， ∴原方程无解． 17. 先化简分式，再从，，0，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再计算乘法，约分即可得出结果，最后代入合适的值进行计算即可得出结果． 【详解】解： ， 由且得且， 将代入，得原式． 18. 已知函数 （1）填表，并画出这个函数的图象： … 0 ________ … … ________ 0 … （2）根据你画的图象，写出该函数图象的一条性质：________． （3）根据函数的性质或图象，直接写出取________时，． 【答案】（1）见解析 （2）y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象可得答案； （3）求出时，x的值，再根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解： … 0 2 … … 4 0 … 函数图象如下所示： 【小问2详解】 解：由函数图象可知，y随x的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：当时，， ∴由函数图象可得当，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），；（2）4 【解析】 【分析】（1）一次函数和反比例函数都经过点A，把点A坐标代入即可求得； （2）先利用解析式求得点B坐标，再利用求面积． 【详解】解：把代入得， 解得 一次函数解析式为； 把代入得， 反比例函数解析式为； 把代入得 点坐标为， 当时，， 解得 点坐标为 ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积，得出B点坐标是解题关键． 20. 下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学： 橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． （2）请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【答案】（1）长治到郑州的大巴速度；两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间 （2）长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 【解析】 【分析】（1）根据题意和所列方程可得答案； （2）选芳芳的解法，解方程求出x的值，检验后求出的值即可得到答案；选橙橙的解法，解方程求出t，再根据速度等于路程除以时间求出对应的速度即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得芳芳同学所列方程中表示的实际意义是长治到郑州的大巴速度；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间． 【小问2详解】 解：选芳芳同学的解法： ， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意 ； 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 选橙橙的解法： ， 去分母得， 解得， ，， 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为． 21. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】（1）； （2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 （3）当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值；而求一次函数，则需要两组x，y的值． （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得关于x的函数表达式即可； （2）当时，，可得的值； （3）当时，，当时，，当时，，分求得x的取值范围即可得出方案． 【小问1详解】 解：设， 把点代入，可得：， 解得， ∴； 设， 把代入，可得，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； 【小问3详解】 解：由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 22. 项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： （1）图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ （3）代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①减小②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的③2 （3）4 【解析】 【分析】（1）描点法画出函数图象； （2）①根据函数图象得出增减性； ②根据平移的性质求解； ③根据平移的性质求解； （3）根据分式的加法运算法则求解． 【小问1详解】 解：函数图象如图所示， 【小问2详解】 解：①当时，函数值随自变量的增大而减小； ②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的； ③由②平移可得，函数图象的对称中心为即为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 综合与实践 壶关紫团党参是长治市国家地理标志道地药材（“道地药材”是指特定产区出产、品质优、疗效好的中药材，其形成与地理环境、种植技术、炮制工艺等因素密切相关，是中医药领域评价药材质量的重要标准），紫团党参以根条粗壮、肉质柔润、香气浓、味甜无渣、药用价值高著称，富含多种氨基酸与微量元素，是道地药材中的珍品．某药材公司计划从本地产地采购紫团党参和黄芪两种药材，在实际采购中发现，采购紫团党参的数量（千克）与所需费用（元）之间并非单一函数关系，其对应规律可用平面直角坐标系中的图象直观呈现，图象依次经过点，和；已知黄芪的采购单价为60元/千克． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）若公司计划一次性采购两种药材共100千克，其中紫团党参的采购量控制在不少于40千克且不超过70千克、设本次采购的总费用为元，试确定采购方案使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1） （2）当采购紫团党参40千克、黄芪60千克时，总费用最低，为6800元 【解析】 【分析】（1）分两种情况：和，分别利用待定系数法求解即可； （2）设采购紫团党参千克，则采购黄芪千克，分两种情况：和，分别列出w关于a的关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴； 当时，设函数表达式为， 将，代入，得方程组， 解得， ， 综上，与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设采购紫团党参千克，则采购黄芪千克， 由题可知 ①当时， ∵， ∴随的增大而增大 ∴当时，最小，； ②当时，， ∵ 当时，，此时采购总费用最低 答：当采购紫团党参40千克、黄芪60千克时，总费用最低，为6800元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学业素养调研 八年级数学 考试时长：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一次函数与的图象的交点的坐标是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为0.000002，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 7. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 8. 如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 分式与的最简公分母是________． 12. 函数的自变量x的取值范围是_________________ 13. 若分式的值为0，则的值是________． 14. 在校园科技文化艺术节的自制小台灯项目中，小明用一节定值电压的锂电池给台灯供电，通过改变滑动变阻器的阻值来调节灯泡的亮度．已知电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流大小为________． 15. 已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 三、解答题（本题共8个小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2）解方程 17. 先化简分式，再从，，0，1中选择一个合适的数代入求值． 18. 已知函数 （1）填表，并画出这个函数的图象： … 0 ________ … … ________ 0 … （2）根据你画的图象，写出该函数图象的一条性质：________． （3）根据函数的性质或图象，直接写出取________时，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 20. 下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学： 橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． （2）请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 21. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 22. 项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： （1）图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． （2）性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ （3）代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 23. 综合与实践 壶关紫团党参是长治市国家地理标志道地药材（“道地药材”是指特定产区出产、品质优、疗效好的中药材，其形成与地理环境、种植技术、炮制工艺等因素密切相关，是中医药领域评价药材质量的重要标准），紫团党参以根条粗壮、肉质柔润、香气浓、味甜无渣、药用价值高著称，富含多种氨基酸与微量元素，是道地药材中的珍品．某药材公司计划从本地产地采购紫团党参和黄芪两种药材，在实际采购中发现，采购紫团党参的数量（千克）与所需费用（元）之间并非单一函数关系，其对应规律可用平面直角坐标系中的图象直观呈现，图象依次经过点，和；已知黄芪的采购单价为60元/千克． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）若公司计划一次性采购两种药材共100千克，其中紫团党参的采购量控制在不少于40千克且不超过70千克、设本次采购的总费用为元，试确定采购方案使总费用最低，并求出最低费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $