精品解析：山西运城市盐湖区2025—2026学年第二学期八年级期中测评卷 数 学

2025～2026学年第二学期八年级期中测评卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置，条形码正确张贴在答题卡的相应位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的中线，高线、角平分线重合 B. 若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加 C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 4. 是不等式的一个解，则m的值不可能是（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 5. 枣庄购物中心有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于5%，设打x折销售，则下列说法正确的是（ ） A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该商品最少打7折 D. 该商品最多打7折 6. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 32 C. 36 D. 40 9. 如图，在中，，，，点，分别是为边，上的点，连接，，若且平分，则的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 不等式的最大整数解是__________． 12. 用反证法证明命题：若中，，则，应先假设______． 13. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_____°． 14. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为______． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 17. 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是__________． （2）该不等式的解集应为__________． （3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．__________ 18. 如图，已知，． （1）尺规作图：作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，交的延长线于点F，判断的形状并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 20. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，山西省在2025年实行中考体育改革，把足球，篮球，排球（任选其一）加入到中考体育测试范围，某中学为此准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）若该学校准备购买足球和篮球共100个（每种至少买一个）；要求总费用不超过8000元，若商店的足球可打八折销售，篮球按原价销售，则至少要买多少个足球？ 21. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 22. 阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： （1）求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； （2）请直接写出图4中线段与的数量关系； （3）请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合． 初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期八年级期中测评卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置，条形码正确张贴在答题卡的相应位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，C正确； 当，时，，不一定成立，故D错误． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的中线，高线、角平分线重合 B. 若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加 C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，等边三角形的判定判断即可． 【详解】解：等腰三角形底边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合，A选项错误，不符合题意； 若多边形的边数增加，则它的外角和是不变，内角和会增加，B选项错误，不符合题意； 等腰三角形两底角的平分线相等，C选项正确，符合题意； 有一个外角是的等腰三角形不一定是等边三角形，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 是不等式的一个解，则m的值不可能是（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， ∴， ∴的值不可能是1.5． 5. 枣庄购物中心有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于5%，设打x折销售，则下列说法正确的是（ ） A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该商品最少打7折 D. 该商品最多打7折 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得不等关系：标价打折进价利润，根据不等关系列出不等式，解之即可判断． 【详解】解：设打x折销售， 依题意得：， 解得：， ∴该商品最多打7折， 故D选项正确，A，B，C错误， 故选D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 6. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴. 7. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 8. 如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】因为平移后的三角形和面积不变，两个三角形有重叠的公共部分为三角形，所以阴影部分的面积和梯形的面积相等．本题的关键是利用平移的性质得出小三角形的底和高． 【详解】解： 如图： ∵现将沿着方向平移到的位置， ， ∴ ∴ ∵若平移距离为4， ∴ ∴阴影部分的面积和梯形的面积相等 ∴阴影面积． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，点，分别是为边，上的点，连接，，若且平分，则的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定；勾股定理求得，根据角平分线的定义，平行线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵且平分， ∴， ∴， ∴ ∴的周长为：， 故选：B． 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由勾股定理可求的长，由三角形面积公式可求的长，由旋转的性质可得，可得，则当点与点重合时，有最小值，即有最小值． 【详解】如图，过点作于点， ， ， ， ， 解得：， 将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是点到线段最短的距离， 即：当点与点重合时，有最小值，， 即：此时有最小值，， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 不等式的最大整数解是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最大整数解是． 故答案为：1． 12. 用反证法证明命题：若中，，则，应先假设______． 【答案】 【解析】 【详解】解：用反证法证明命题：若中，，则，应先假设． 13. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_____°． 【答案】42或138 【解析】 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°； ②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣48°＝42°． 故答案为：42或138． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 14. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 只需要找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集为． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 分类讨论，根据勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ， 设，则， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ； 当时， ∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ， ∵，， ， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时， 过点作交于点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ∴； 综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 17. 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是__________，上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是__________． （2）该不等式的解集应为__________． （3）在解一元一次不等式时，除了要注意小亮同学在上题解法中的错误外，请你根据平时的学习经验，给同学们提一条建议．__________ 【答案】（1）不等式的基本性质2；五；不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的基本性质2求解； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解； （3）根据解一元一次不等式的方法求解． 【小问1详解】 解：上述求解过程中，第一步变形的依据是不等式的基本性质2，上述求解过程中的第五步发生错误，具体错误是不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变； 【小问2详解】 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以，得； 【小问3详解】 解：去分母时，不等式两边的每一项都必须乘以分母的最小公倍数，不能遗漏任何一项； 当分子是一个多项式时，去分母后，一定要给这个多项式加上括号； 括号前面是负号，去括号后，括号里面的每一项都要变号． （答案不唯一，答案合理即可） 18. 如图，已知，． （1）尺规作图：作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，交的延长线于点F，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形．证明见解析 【解析】 【详解】解：（1）如图线段即为所求 （2）是等腰三角形． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【小问1详解】 解：如图所示： 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示， 的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 20. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，山西省在2025年实行中考体育改革，把足球，篮球，排球（任选其一）加入到中考体育测试范围，某中学为此准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）若该学校准备购买足球和篮球共100个（每种至少买一个）；要求总费用不超过8000元，若商店的足球可打八折销售，篮球按原价销售，则至少要买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价70元，篮球的单价为100元 （2）46个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设足球的单价为元、篮球的单价为元，根据购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元列出方程组求解即可； （2）设学校可以购买个足球，则买个篮球，根据足球可打八折销售，篮球按原价销售且总费用不超过8000元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元、篮球的单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：足球的单价70元，篮球的单价为100元， 【小问2详解】 解；设学校可以购买个足球，则买个篮球， 由题意得，， 解得：， 为正整数， 的最小值为46， 答：至少要买46个足球． 21. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）128 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： （1）求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； （2）请直接写出图4中线段与的数量关系； （3）请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线线的性质； （1）选择图2，过点D作，垂足为点E，根据角平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可；选择图3，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可； （2）根据的直角三角形的性质解答即可； （3）作边的垂直平分线或过点A作交于点P，根据的直角三角形的性质即可得到． 【小问1详解】 选择图2 证明：过点D作，垂足为点E． 在中，， ． 又是的角平分线，， ． 在中，， ． ． ， ． 选择图3 证明：连接． 在中，， ． 是的垂直平分线， ． ． ． 在中，， ． ． ． ． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图所示，点即为所求． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合． 初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1），理由见解析（2）详见解析（3）或 【解析】 【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论； （2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案； （3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）．理由：在中，，，， 点H为边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 由平移可知：， ， ， ， 在与中： ， ， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （3）或．理由如下： ①当点F落在边所在直线上时，如图， 由平移可知：， ，， ∴，而，， ， ， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， ， ； ②当点F落在边所在直线上时，如图， 过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H， 由平移可知：， ， ， ， 在中，，， 同理：， ． 综上，平移距离为或． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $