湖南平江县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 融合祖暅原理等数学史素材，梯度覆盖复数、立体几何、解三角形等核心知识，通过空间向量运算、动态几何问题考查直观想象与逻辑推理，适配高一下学期期中能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|复数虚部、空间向量夹角、解三角形|基础概念与符号运算结合，如第1题复数基本概念| |多选题|3|向量性质、正三棱台线面关系|多选项辨析空间位置关系，如第10题正三棱台线面平行证明| |填空题|3|球内接三棱锥体积、向量模最值|动态几何与最值问题，如第12题球内接三棱锥体积最大值| |解答题|5|解三角形综合、立体几何证明|分层设问，如第18题从求角到面积范围，考查推理与运算能力|

湖南省平江县一中2006年高一下学期期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．若,则z的虚部为(      ) A. B.3 C. D. 2．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为(   ) A. B. C. D. 3．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则(      ) A. B. C. D. 4．设甲：；乙：,则(      ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是两个等高的几何体,如果在同高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等,一个上底面边长为1,下底面边长为2,高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”,则该不规则几何体的体积为(      ). A.7 B.10 C.7π D.10π 6．已知平面向量满足且,则向量和向量的夹角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 7．若一个圆锥的底面半径为1,母线长为,则圆锥的体积是(      ) A. B. C. D. 8．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的取值范围是(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．对于任意两个非零向量和,下列命题中正确的是(      ) A. B. C. D.向量与向量垂直 10．在正三棱台中，D为的中点，则(      ) A. B.平面 C. D.平面 11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,,的中点,则(      ) A.点C与点G到平面AEF的距离相等 B.直线与平面AEF平行 C.异面直线与EF所成角的余弦值为 D.平面AEF截正方体所得的截面面积为 三、填空题 12．设A,B,C,D是同一个半径为3的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为______________. 13．已知平面向量,平面向量满足,的最大值和最小值分别为m、n,则的值是__________. 14．如图，棱长为2的正方体中，E，P分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设E，P分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有_________. 四、解答题 15．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,满足. （1）求A, （2）若的周长为20,面积为,求a. 16．如图,正四棱锥的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l. （1）求证:平面平面PAD; （2）求证:; 17．如图,在中,,,,,. （1）判断并证明直线与的位置关系; （2）若,求的值. 18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （1）求角A的大小; （2）若为的角平分线,且,,求角平分线的长度; （3）若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 19．如图所示,四棱锥,底面为正方形,,为正三角形,,点E在上. （1）若E为中点,求证:平面; （2）求异面直线与所成角的余弦值; （3）若,在棱上是否存在一点F,使平面?并证明你的结论. 参考答案 1．答案：C 解析：由,则, 所以z的虚部为. 2．答案：A 解析：如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，，故.故选A. 3．答案：B 解析：由正弦定理得,所以, 因为,所以,所以, 则, 故选:B. 4．答案：A 解析：由等价于,解得或, 由甲可以推出乙成立,但由乙不能推出甲成立. 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 5．答案：A 解析：正四棱台的上底面边长为1,故上底面积; 下底面边长为2,故下底面积,棱台高 所以. 6．答案：D 解析：由,可得, 以及,又因为, 所以, 得, 从而, 同理, 而, 故. 7．答案：C 解析：因为圆锥的底面半径为1,母线长为, 所以圆锥的高为, 所以圆锥的体积为, 故选：C. 8．答案：A 解析：由题知, 即 由正弦定理化简得 即 故选:. 9．答案：AD 解析：对于A,,A正确; 对于B, ,B错误; 对于C,,C错误; 对于D,, 所以向量与向量垂直,D正确. 10．答案：BD 解析：如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面， 则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则， 又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，平面， 则平面，故D正确. 11．答案：BCD 解析：正方体中,连接,设,如图: 对A,根据,,可得,又为中位线可得,,故,点C与点G到直线EF的距离不相等,故点C与点G到平面AEF的距离也不相等,故A错误; 对B,因点E,F是BC,中点,则,而正方体的对角面ABC1D1是矩形,则, 连GF,因G是棱BB1中点,则,且,即四边形是平行四边形,A1G//D1F, 平面AEF,平面AEF,于是平面AEF,故B正确; 对C,因,,则异面直线与所成角是或其补角, 作于M,显然,即四边形AEFD1是等腰梯形,, ,,故C正确; 对D,,平面截正方体所得的截面是等腰梯形,其面积,故D正确. 故选:BCD 12．答案： 解析： 13．答案：2 解析：取平面上一点O为原点,取三点使得, 则可以写成, 即,所以,故点C的轨迹是以线段为直径的圆, 该圆的直径为, 半径,因为,所以O在圆外,设圆心到原点的距离为d, 则点C到原点的距离也即的最大值和最小值分别是和, 所以. 14．答案：①③ 解析：对①：过P作，交于E，连接，则平面，因为P点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确； 对②：当E与重合，P为中点时，，所以长度取值范围是是错误的； 对③： 因为直线平面，所以P到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当E与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确； 对④，当E，P位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误. 故答案为：①③. 15．答案：（1）; （2）7 解析：（1）在中,由及正弦定理,得, 而,即,则,即, 又,所以. （2）由的面积为,得,解得, 由的周长为20,得,即, 由余弦定理得,即, 于是,解得, 所以. 16．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点,底面ABCD为平行四边形, 所以, 又平面平面, 则平面, 同理平面平面, 可得平面, 又平面, 所以平面平面. （2）因为底面ABCD为平行四边形,所以, 又平面平面, 所以平面, 又平面,平面平面, 所以. 17．答案：（1）直线与平行,证明见解析 （2） 解析：（1）设,则, 可知, 因为,, 所以, 又因为,所以, 故,同时根据可得 ,从而有,则直线与平行. （2）可知, 由得, 整理得,则, 又,所以. 18．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）,, ,, 由余弦定理得, 又,; （2）由的角平分线将的面积分为两部分, 则,, 于是, 即,解得, 所以的长为; （3）由三角形面积公式得, 由正弦定理得 , 三角形为锐角三角形,,得,, ,,,. 19．答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在,证明见解析. 解析：（1）连接交于点O,连接, 因为是正方形,所以O为中点, 所以在中,为中位线,, 又平面,平面,平面; （2）取的中点Q,因为O为中点, 所以在中,为中位线,所以,, 所以为异面直线与所成角（或其补角）, 在中,,,, 由余弦定理可得,又, 所以为锐角, 所以异面直线与所成角的余弦值为; （3）当F是棱中点时,平面 证明如下:取中点M,连接,,则, 平面,平面, 平面, 在中,E为中点,O为中点, 平面,平面,所以平面; ,所以平面平面; 平面,平面 学科网（北京）股份有限公司 $