专题06 二元一次方程组的应用【期末复习重难点专题培优十四大题型】-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用的14个高频易错题型，通过“精讲+精练”系统构建从实际问题建模到多场景应用的解题方法体系，培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|14题型（含期中/期末真题精讲+分层精练）|各题型核心解法（如设元技巧、等量关系分析、方案优化策略）|从概念建模（列方程组）到多领域应用（行程/工程/几何等）的递进式逻辑链| |优选真题实战演练|2层次（基础夯实+拓展拔尖，共62题）|真题解题规范与易错点规避|覆盖期末考高频考点，实现从基础应用到综合创新的能力提升|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 二元一次方程组的应用『期末复习重难点专题培优』 【14个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共62题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 3 题型三 方案问题（二元一次方程组的应用） 4 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 5 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 6 题型六 数字问题（二元一次方程组的应用） 8 题型七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 8 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 9 题型九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 10 题型十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 12 题型十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 13 题型十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 14 题型十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 16 题型十四 其他问题（二元一次方程组的应用） 17 优选真题 实战演来拿 18 【基础夯实 能力提升】 18 【拓展拔尖 冲刺满分】 20 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 【精讲】（25-26八年级上·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【精练1】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【精练2】如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    题型三 方案问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【精练1】已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 【精练2】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【精练1】如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【精练2】小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【精练2】（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 题型六 数字问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【精练1】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 题型七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【精练1】小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁． 【精练2】今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁． 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【精练1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 题型九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 【精练1】下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 【精练2】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 题型十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【精练1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【精练2】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 题型十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【精练1】．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【精练2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则_____． 题型十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【精练1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【精练2】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段检测）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 题型十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 【精练1】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 题型十四 其他问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 【精练1】（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【精练2】为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【基础夯实 能力提升】 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 3．）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 4．一次测验中共有20道题，规定答对一题得5分，答错得负2分，不答得0分．某同学在这次测验有两题没有答，共得分69分．则该生答对_________题． 5．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 6．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______． 7．某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 8．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元? 9．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 10．某单位为四川地震灾区学校新建了一座体育馆，进出这座体育馆共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，分钟内可以通过名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下体育馆内的学生应在分钟通过这道门安全撤离．假设这座体育馆最多可以容纳人，问：建造的这道门是否符合安全规定?请说明理由． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．“龟鹤同池，龟鹤共100只，共有脚350只，问龟鹤各多少只？”设龟有x只，鹤有y只，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 3．我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为___元． 6．如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为_________m．    7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 8．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 9．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题06 二元一次方程组的应用『期末复习重难点专题培优』 【14个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共62题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 3 题型三 方案问题（二元一次方程组的应用） 5 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 8 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 9 题型六 数字问题（二元一次方程组的应用） 12 题型七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 14 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 15 题型九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 17 题型十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 20 题型十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 22 题型十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 24 题型十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 28 题型十四 其他问题（二元一次方程组的应用） 30 优选真题 实战演来拿 33 【基础夯实 能力提升】 33 【拓展拔尖 冲刺满分】 38 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【答案】(1)苹果的价格，梨的价格 (2)，． 【思路引导】（1）根据所列方程组，写出未知数表示的意义即可； （2）根据题意列方程组，求解即可． 【规范解答】（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【答案】(1)；； (2)新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【思路引导】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【规范解答】（1）解：完成表格如下： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 ∵该公司新增40名实习生分配到甲、乙两个团队， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：根据题意可得． 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 【精讲】（25-26八年级上·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【规范解答】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 【精练1】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【思路引导】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【规范解答】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【考点剖析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【精练2】如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    【答案】75 【思路引导】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【规范解答】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【考点剖析】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键. 题型三 方案问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【思路引导】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【规范解答】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 【精练1】已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 【答案】(1)1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨 (2)该物流公司有29吨货物要运输 【思路引导】（1）设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合恰好每辆车都载满货物列式求解即可． 【规范解答】（1）解：设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨， 由题意得，解得， 答：1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． （2）解：依题意得：（吨）． 答：该物流公司有29吨货物要运输． 【精练2】（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【思路引导】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【规范解答】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【规范解答】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【精练1】如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【思路引导】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【规范解答】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 【精练2】小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【思路引导】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【思路引导】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【思路引导】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 【精练2】（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【规范解答】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 题型六 数字问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【规范解答】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 【精练1】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【思路引导】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【规范解答】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 题型七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【思路引导】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【精练1】小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁． 【答案】29 【思路引导】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【规范解答】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【考点剖析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【精练2】今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁． 【答案】18 【思路引导】设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，根据“今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：18． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【思路引导】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 【精练1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【精练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 题型九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元； (2)总利润最高是元． 【思路引导】（1）设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，列方程，写出所有整数解，比较总利润即可． 【规范解答】（1）解：设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元， 根据题意，得， 解得， ∴每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元． （2）解：设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，总利润为元， 根据题意，得， ∵，都是正整数， ∴或或， 当时，总利润是， 当时，总利润是， 当时，总利润是， ∵， ∴总利润最高是元． 【精练1】下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元． 食材 价格（单位：份） 加料（单位：份） 小份 大份 粉干、面 元 元 元 (1)求小龙订的大份、小份的份数； (2)求大、小份加料后另外需付的总费用． 【答案】(1)小龙订的小份份，大份份 (2)大、小份加料后另外需付的总费用是元 【思路引导】（1）设小龙订的小份份，大份份，则小份的加料数为，大份的加料数为，根据“小份的加料数比大份的加料数多份；已知大、小份均未加料共需付元”列出方程组求解即可； （2）求出小份的加料数及大份的加料数之和再乘以即可． 【规范解答】（1）解：设小龙订的小份份，大份份， 依题意，得：， 解得：， 答：小龙订的小份份，大份份； （2）解： （元）， 答：大、小份加料后另外需付的总费用是元． 【精练2】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件 (2)以五折售出的乙商品有70件 【思路引导】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 题型十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【答案】(1)每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元 (2)29.68元 【思路引导】（1）设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元，根据当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意用油车需花费的总费用减去电车需花费的总费用进行求解即可. 【规范解答】（1）解：设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元， 根据题意得， 解得； 答：每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元． （2）解：（元） 答：小张这次出游比小李节省了29.68元． 【精练1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【规范解答】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 【精练2】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资 (2)共有3种租车方案，方案6：租用9辆小货车，1辆大货车；方案3：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于，的二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案． 【规范解答】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资 由题意可得：， 解得：， 答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资． （2）解：设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． 题型十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 【精练1】．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【规范解答】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 【精练2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则_____． 【答案】16 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 题型十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【思路引导】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【规范解答】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【精练1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【精练2】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段检测）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【思路引导】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则______． 2 3 【答案】 【思路引导】根据三阶幻方中每行每列每条对角线上的三个数之和相等的性质，建立关于x,y的方程组，求解得到x的值． 【规范解答】解：设三阶幻方中每行每列对角线的公共和为S， 由题意，右上到左下的对角线三个数之和为； 第一列三个数之和为， 第一行三个数之和为 因此可得方程组 整理得 得 . 解得 ． 【精练1】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【规范解答】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 【精练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【规范解答】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 题型十四 其他问题（二元一次方程组的应用） 【精讲】废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池． (1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用； 车型 甲 乙 载人数 4 6 租金（元） 50 70 (2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？ 【答案】(1)方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元；方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元；方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； (2)1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 【思路引导】（1）设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得，由x、y均为非负整数，求解即可； （2）设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：设需要甲车辆，乙车辆，根据题意得， 因为x、y均为非负整数，所以对y进行取值： 当时，；当时，；当时，； ∴有三种方案： 方案一：甲车6辆，乙车1辆，费用370元； 方案二：甲车3辆，乙车3辆，费用360元； 方案三：甲车0辆，乙车5辆，费用350元； （2）解：设1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和， 则， 解得， 答：1节1号电池和1节5号电池的质量分别是和． 【精练1】（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【答案】(1)5；2 (2)同学G不可能得82分，见解析 【思路引导】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了道题，根据得分答对题目数答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得：， 解得：， 即答对一道题得5分，答错一道题扣2分， 故答案为：5；2； （2）解：同学G不可能得82分，理由如下： 假设同学G得了82分， 设同学G答对了m道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得， 又∵m为自然数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即同学G不可能得82分． 【精练2】为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【答案】(1)第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. (2)需要准备855米电缆. 【思路引导】（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）先求解需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，再进一步列式计算即可. 【规范解答】（1）解：设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意得， ， 解得：， 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. （2）解：∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组， ∵每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆， ∴要满足这个供电需求，需要准备电缆. 【基础夯实 能力提升】 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【规范解答】解：设雀每只两，燕每只两， ． 2．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【规范解答】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 3．）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【规范解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 4．一次测验中共有20道题，规定答对一题得5分，答错得负2分，不答得0分．某同学在这次测验有两题没有答，共得分69分．则该生答对_________题． 【答案】15 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设该生答对x道，答错y道，根据总共20道题得分69分，列方程组求解． 【规范解答】解：设该生答对x道，答错y道，由题意得： ， 解得：； 则该生答对15道题． 故答案为：15． 5．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 【答案】3 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，代入计算即可得． 【规范解答】解：如表格，设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为， 7 3 6 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 故答案为：3． 6．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱．现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系列二元一次方程组即可． 【规范解答】解：醇酒（优质酒）1斗，价值钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱，现有钱，买得2斗酒， 设醇酒为斗，行酒为斗， ， 故答案为： ． 7．某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 8．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元? 【答案】甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元 【思路引导】本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系．即可列方程组解应用题．等量关系为：甲、乙两件服装的成本共500元，将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元；然后列出方程组，进而问题可求解． 【规范解答】解：设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，由题意得： ， 解得：， 甲服装的实际获利是元； 乙服装的实际获利是元； 答：甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元． 9．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【规范解答】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 10．某单位为四川地震灾区学校新建了一座体育馆，进出这座体育馆共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，分钟内可以通过名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下体育馆内的学生应在分钟通过这道门安全撤离．假设这座体育馆最多可以容纳人，问：建造的这道门是否符合安全规定?请说明理由． 【答案】(1)平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生 (2)建造的这道门不符合安全规定．理由见解析 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，根据题意列出关于，的二元一次方程组求解即可． （2）先计算该体育馆在紧急情况下分钟通过这道门可安全撤离学生人数，然后与体育馆最多可以容纳人数相比即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生， 根据题意得，， 解得， 答：平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生． （2）解：建造的这道门不符合安全规定．理由如下： 该体育馆在紧急情况下分钟通过这道门可安全撤离学生人数为：（名）， 这座体育馆最多可以容纳人，， 建造的这道门不符合安全规定． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．“龟鹤同池，龟鹤共100只，共有脚350只，问龟鹤各多少只？”设龟有x只，鹤有y只，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设龟有x只，鹤有y只，根据鹤和龟共100个且鹤和龟共有350只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：设龟有x只，鹤有y只，依题意，得： ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【思路引导】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，设这一列数中有个，个3，其余为0，根据题意，建立关于和的方程组，解出和的值，再代入立方和的表达式即可求解． 【规范解答】解：设数列中有个，个3，则0的个数为个， 根据题意得：， 解得：， ∴ ， 故选：D． 3．我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，根据两种情况找出等量关系列出方程，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意； B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意； C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意； D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 【答案】100 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数． 【规范解答】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元， 由题意可得：， ①②，得：， ， 即购甲、乙两种商品各1件共需100元， 故答案为：100． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为___元． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟读题目，找出题目中的关系，列出方程组，从而解方程组． 设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，则根据题意列出二元一次方程组，解方程组，求出x的值，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元， 则甲店的耳机进价为：元；标价为：元； ∵甲乙两店的利润率分别为和， ∴， 解得：， ∴乙店每副耳机的进价为元； 故答案为：． 6．如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为_________m．    【答案】8 【思路引导】设小长方形花圃的长为，宽为，然后根据图形列出方程组求解即可解答． 【规范解答】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 由题意得，解得， 所以其中一个小长方形花圃的长是． 故答案为8． 【考点剖析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，数形结合、弄懂题意，找出等量关系，列出方程组是解答本题的关键． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 【答案】(1)购进甲种水果40千克，乙种水果100千克 (2)赚钱了，赚了280元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算的应用，理解题意准确列出方程组为解题关键． （1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，列出方程组求解即可； （2）先算出两种水果的总销售额，再减去进价费用1200元即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克， 根据题意得：， 解得：，， 答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克； （2）解：甲种水果的销售额为（元）， 乙种水果的销售额为（元）， 则总销售额为（元）， （元）， 答：赚钱了，赚了280元． 8．快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【答案】(1)50 (2)171 (3)应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【思路引导】本题主要考查了扇形统计图、百分比的应用、二元一次方程组的应用等知识点，能够从扇形统计图和表格中获得正确信息是解题的关键． （1）结合扇形统计图，得快乐公司从甲厂购买产品A的件数是件，据此即可解答； （2）根据扇形统计图分别求得甲、乙、丙三个工厂购买产品A的件数，再进一步根据这三个工厂生产的产品A的优等品率进行计算即可； （3）设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．联立解方程组即可． 【规范解答】（1）解：快乐公司从甲厂购买产品A的数量为（件）． 故答案为：50． （2）解（件）． 答：快乐公司购买的200件产品A中优等品有171件． 故答案为：171． （3）解：设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 根据题意，得： ，解得：． 答：应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 9．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元 (2)在这两家超市都可以买下看中的这两样商品，且在A超市购买比较省钱 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：设该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B买下看中的这两样商品，可有， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)④ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【思路引导】（1）根据长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个长方体纸盒， ①②③才能折成一个长方体纸盒， 故答案为：④； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示，∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【考点剖析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $