精品解析：广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期中段学情反馈卷 八年级数学试卷

2025－2026学年第二学期中段学情反馈卷 八年级数学试卷 说明：1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷三大题，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边为整式的不等式． 【详解】解：选项A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义 选项B、 ，未知数次数为2，不符合定义 选项C 、 ，含有两个未知数，不符合定义 选项D 、 ，是分式，不是整式，不符合定义 ∴答案选A． 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 3. 下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，轴对称图形寻找对称轴，中心对称图形寻找对称中心旋转重合． 【详解】选项A：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项B：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项C：因为沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，但是绕某一点旋转后，不能够与原图形重合（上下点数不同），所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项D：因为沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，同时绕某一点旋转后，能够与原图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，且变形后等式成立，据此逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解： 选项A：左边已经是整式乘积，属于整式乘法变形，不属于因式分解，故该选项不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是整式乘积的形式，且展开后左右两边相等，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； 选项C：结果为 ，是和的形式，不是整式乘积，不属于因式分解，故该选项不符合题意； 选项D：右边展开得，和左边不相等，变形错误，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 5. 如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式变形为 ，即转化为求直线 在直线 上方（包括交点）时 的取值范围，结合图象与交点坐标即可求解． 【详解】原不等式可移项变形为， ∵直线与直线交于点， ∴当 时，两直线函数值相等 观察图象可知，当时，直线的图象在直线  的图象上方或重合 ， ∴ 不等式的解集是． 6. 如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论． 【详解】解：选项A中， ∵， ∴ 由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项B中，由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴中线平分的面积． 选项C中， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积． 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 7. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得，即 ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示为：和2处均为实心点，且线段连接两点之间， 观察选项，A选项符合题意． 8. 如图，在等边中，．为上一点，且，的平分线交于点，是上的动点，连结、．则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作，根据三线合一，得到，进而得到，进而得到的最小值是的长，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可. 【详解】解：连接，作， ∵等边中，，的平分线交于点， ∴ ，垂直平分， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的最小值是的长， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理先判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【详解】解：， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为， 故答案为：． 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， 故答案为：2． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得， ∴． 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式得出，结合得出，解方程即可得出a的值． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 解得：． 13. 关于的不等式组有且仅有3个整数解．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出不等式组的解集，再根据不等式组仅有3个整数解，即可确定m的取值范围． 【详解】解：不等式组 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为，且整数解为0，1，2， m的取值范围为 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） （3）；不等式解集在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （2）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 解得：， 解集在数轴上表示如下： 15. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出 ，由三角形内角和定理得出，即可得出，由 即可得出 ． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴ ，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 又∵ ， ∴ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标； （2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标； （3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1），图见解析 （2），图见解析 （3），图见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、成中心对称的图形的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案； （2）由中心对称的性质即可得出答案； （3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 如图，为所作，点的坐标为； 【小问2详解】 如图，为所作，点的坐标为； 【小问3详解】 如图，为所作，点的坐标为 17. 尺规作图及计算 尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题， （1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积． 【答案】（1）见详解 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法画图即可． （2）由线段垂直平分线的性质得出，结合已知条件得出，由勾股定理得出，然后由完全平方公式得出，然后再根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下： 【小问2详解】 解：∵为斜边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴ 又∵中，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． （1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ （2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元 （2）购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【解析】 【分析】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 【小问1详解】 解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； 【小问2详解】 设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵，  ∴随的增大而减小，  ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． （1）方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． （3）若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【小问1详解】 解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； 【小问2详解】 解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； 【小问3详解】 解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 20. 已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） （2）如图，为等腰三角形时，求的值． （3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 【答案】（1） （2）的值为，， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 【小问2详解】 解：在中，， 根据勾股定理，得， 若，则 ，解得； 若，则， 解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，，． 【小问3详解】 解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期中段学情反馈卷 八年级数学试卷 说明：1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷三大题，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 3. 下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，．为上一点，且，的平分线交于点，是上的动点，连结、．则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为____________． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则______． 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值为______． 13. 关于的不等式组有且仅有3个整数解．则的取值范围是______． 三、解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 15. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标； （2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标； （3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标． 17. 尺规作图及计算 尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题， （1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积． 18. 2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． （1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ （2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． （1）方程 是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． （3）若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 20. 已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） （2）如图，为等腰三角形时，求的值． （3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $