精品解析：广东省深圳市罗湖外语初中学校2024-2025学年 八年级下学期期中数学试卷

罗湖外语初中学校2024—2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试题 命题人：付鹏审题人：杜梓莹 说明：1.本学科试题从第1页至第4页，共4页．满分100分，考试时间90分钟． 2.答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ） A. 武汉地铁 B. 重庆地铁 C. 成都地铁 D. 深圳地铁 2. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　） A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米 6. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（ ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A. B. C. D. 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 9. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ． 10. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 11. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为________ 12. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 15. （1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为______________； （2）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________． 17. 如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 18. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 19. 综合与实践：直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现 背 景 深深和圳圳两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素 材 如图，是直角三角形，， 操作：深深和圳圳画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任 务 1 在如图所示的直角三角形中，深深发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助深深找出点的位置．（保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法） 任 务 2 （2）点在图的位置时，圳圳发现： ①______；②与的（数量）关系为：_____． 任 务 3 （3）继续探索发现，如图所示，、、三点共线，此时，深深和圳又有新的发现： ①________； ②若已知，发现能用含字母的式子表示线段的长度，则的长度为________． 20. 新定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如果有，则称点为关于点的勾股点． （1）概念理解：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在小正方形的顶点上，则_______，_______，_______，那么点是关于点______的勾股点． （2）问题探究：如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． （3）应用发现：如图4，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，则的长为_______； （4）扩展延伸：在（3）的条件下，如图5，已知点在直线左上方区域，且点是关于点的勾股点，当为等腰三角形时，请直接写出此时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖外语初中学校2024—2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试题 命题人：付鹏审题人：杜梓莹 说明：1.本学科试题从第1页至第4页，共4页．满分100分，考试时间90分钟． 2.答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ） A. 武汉地铁 B. 重庆地铁 C. 成都地铁 D. 深圳地铁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、该图案不是中心对称图形，故A不符合题意； B、该图案不是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图案不是中心对称图形，故C不符合题意； D、图形是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质 ，不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．∵，原变形错误，不符合题意； B．∵，原变形错误，不符合题意； C．∵，原变形正确，符合题意； D．∵，原变形错误，不符合题意． 故选：C． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：用数轴表示解集为： 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式组的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 4. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　） A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 由题意可得：，，， ， ， ， ， 适合小华的绳长为2.6米， 故选：C． 6. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了，进而即可求出答案． 【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形， 米，米， 长方形的面积平方米． ∴绿化的面积为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出式子求出答案． 7. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（ ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，理解题意、找准不等关系成为解题的关键． 设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．再根据不等关系“至少含有4200单位的维生素C”和“购买原料的费用不超过72元”列出不等式组即可． 【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得：． 故选：C． 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，找到A点的坐标循环的规律是解题的关键． 根据旋转的性质分别求出第、、、、…时，点A的对应点、、、、…的坐标，找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ∵，叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 9. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减求解即可． 【详解】解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 10. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 11. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集．根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方． 故答案为：． 12. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质得出，，利用证明，得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵边长为1的正方形绕点逆时针旋转， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：，（负值已舍去） ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，利用全等三角形求出，是解题的关键，也是本题的难点． 13. 如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质，过作交直线于，连接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过作交直线于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分解因式的基本方法，包括提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）以及处理相反数项的变形技巧，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）提取公因式，即可分解； （2）将转化为后，提取公因式，即可分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解； （4）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 ． 15. （1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变；任务二：． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式组的解集为：； （2）任务一：①乘法分配律； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：乘法分配律；五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集为． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为______________； （2）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________． 【答案】（1）4 （2）解：如图，即为所求；； （3） 解：如图，即为所求； （4） 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （4）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：根据图形可知： 旋转中心的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键． 17. 如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：若① ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ 若② ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ 若③ ∵DE，DF分别是 ​和 ​高 ∴ 在和中 ∵ ∴ （2）16 【解析】 【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明； （2）根据，可得，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 18. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得： . 解此方程组得：. 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元； （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则 ， ∵k=2>0， ∴W随t的增大而增大， 由题意，解得， ∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润, 答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键. 19. 综合与实践：直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现 背 景 深深和圳圳两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素 材 如图，是直角三角形，， 操作：深深和圳圳画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任 务 1 在如图所示的直角三角形中，深深发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助深深找出点的位置．（保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法） 任 务 2 （2）点在图的位置时，圳圳发现： ①______；②与的（数量）关系为：_____． 任 务 3 （3）继续探索发现，如图所示，、、三点共线，此时，深深和圳又有新的发现： ①________； ②若已知，发现能用含字母的式子表示线段的长度，则的长度为________． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）①；②；（3）①，②． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线与垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上； （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可得度数；②根据含角的直角三角形的性质得出，进而结合，等量代换，即可得证； （3）①根据、、三点共线，得出，根据三角形内角和定理即可得度数；②过点作于点，根据角平分线的性质得，进而根据等面积法列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）作的角平分线与的垂直平分线，与交于点，点即为所求． （2）①∵是的角平分线， ∴设， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． ②∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：， （3）①∵、、三点共线，，是垂直平分线， ∴， ∵， ∴． ②如图，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：①，② 20. 新定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如果有，则称点为关于点的勾股点． （1）概念理解：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在小正方形的顶点上，则_______，_______，_______，那么点是关于点______的勾股点． （2）问题探究：如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． （3）应用发现：如图4，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，则的长为_______； （4）扩展延伸：在（3）的条件下，如图5，已知点在直线左上方区域，且点是关于点的勾股点，当为等腰三角形时，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1），，， （2） 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ，， ， ，， ， ， ， 点为关于点的勾股点； （3）6 （4）或或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想进行画图是解题的关键． （1）根据勾股定理和题中勾股点的定义即可求解； （2）要证点为关于点的勾股点，即证，就是证，再从条件出发，证明，进而即可得证； （3）根据勾股点的定义求出的长，再利用勾股定理求解即可； （4）根据勾股点的定义求出的长，当为等腰三角形时，分、、三种情况讨论，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ， ， 点是关于点的勾股点， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，是边上的中线，， ，， 点是关于点的勾股点， ， ，， ， 在，， 故答案为：6； 【小问4详解】 点是关于点的勾股点， ， 由（3）可知，，， ， ， 当为等腰三角形时，需分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图，过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； 第二种情况：当时，如图，过点作于点， 此时， ， 在中，， ， ， ； 第三种情况：当时，如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，四边形的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $