精品解析：上海金山中学、闵行中学、嘉定一中、青浦高级四校2025-2026学年高二第二学期阶段练习数学试卷

2025学年第二学期阶段练习 高二数学试卷 （练习时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合且，则实数a的取值范围是______． 2. 样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 3. 双曲线的渐近线方程为___________ 4. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 5. 在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 6. 抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 7. 现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 8. 已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 9. 已知正实数满足，，则______. 10. 已知是的等差中项，直线与圆交于两点，则的小值为______ 11. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 12. 已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得4分，15-16选对得5分，否则一律得零分. 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 14. 已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（ ） A. 1 B. C. 无穷多个 D. 前面的说法都有可能 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（ ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A. ①③④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为，求随机变量的分布列与数学期望． 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，若的平分线交于，求的长. 20. 已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． （1）当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； （2）当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； （3）当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段练习 高二数学试卷 （练习时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据集合的包含关系得到参数范围. 【详解】集合且，则. 故答案为： 2. 样本数据2，5，7，11，14，16，20，25的第80百分位数为________． 【答案】20 【解析】 【详解】样本数据有8个数，由， 得样本数据的第80百分位数为第7个数20. 3. 双曲线的渐近线方程为___________ 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以其渐近线方程为. 4. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】 【解析】 【详解】 考点：复数的模 5. 在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【详解】二项式的通项公式为： ， 化简得：，令 ，解得. 将代入通项公式，可得项的系数为： . 6. 抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得点P到直线的距离等于点P到点的距离， 根据抛物线的定义可知，该抛物线焦点为，准线为， 焦点到准线的距离． 7. 现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法1：条件概率公式法； 方法2：缩小样本空间法. 【详解】方法一：设事件A为“女生甲被选中”，事件B为“选取的3人包含2名男生和1名女生”，所求概率为条件概率. 1. 总基本事件数：从8人中任选3人的组合数为； 2. 事件A的基本事件数：先确定选女生甲，再从剩余7人中任选2人，即，故； 3. 事件AB（女生甲被选中且另外2人均为男生）的基本事件数：先选女生甲，再从5名男生中选2人，即，故； 4. 代入条件概率公式，得. 方法2：缩小样本空间法 已知女生甲已被选中，仅需从剩余的5名男生、2名女生共7人中再选2人，要求2人均为男生： 1. 该条件下样本空间的基本事件总数为； 2. 符合要求的基本事件数为从5名男生中选2人的组合数； 因此所求概率为. 8. 已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出母线，作出圆台的轴截面，即可得出圆台的母线与底面所成角的平面角，进而可得出答案. 【详解】设圆台的母线长为， 由题意可得，解得， 作出圆台的轴截面如图所示，则即为圆台的母线与底面所成角的平面角， 且， 作，垂足为，则， 在中，， 所以圆台的母线与底面所成角的大小为. 故答案为：. 9. 已知正实数满足，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 10. 已知是的等差中项，直线与圆交于两点，则的小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法，结合勾股定理代入计算即可求解. 【详解】因为成等差数列，是的等差中项，所以，即， 代入直线方程得， 即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故答案为：4 11. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 【答案】 【解析】 【分析】对 ，两边同乘以整理后再对求导，然后令代入整理即可. 【详解】对 ，两边同乘以得： ， 两边同时求导得， 令得， 即. 故答案为：. 12. 已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，， 设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则 ，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系. 则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得4分，15-16选对得5分，否则一律得零分. 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合本题的题意，可判断出答案. 【详解】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数. 故选：B. 14. 已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断 【详解】当时，则，则数列为递减数列， 当是递增数列时，，因为，所以，则可得， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 15. 设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（ ） A. 1 B. C. 无穷多个 D. 前面的说法都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】设出各点坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 由得， 所以， 所以， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：A． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．现有以下4个命题，其中所有的真命题为（ ）． ①存在“旋转函数”； ②“旋转函数”一定是“旋转函数”； ③若为“旋转函数”，则； ④若为“旋转函数”，则． A. ①③④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，找出函数，即可得出结论；对于②，找出反例“倾斜角为的直线”，即可得出结论；对于③，利用函数是“旋转函数”，得出倾斜角为的直线与函数有至多1个交点，直曲联立得方程，对参数进行分类讨论，即可得出结论；对于④，利用函数是“旋转函数”，得出至多有1解，构造函数 ，利用单调性得出 恒成立，构造函数，求导利用单调性即可得出参数的取值范围. 【详解】由题意， 对于①，如，逆时针旋转后函数为，故①正确； 对于②，如倾斜角为的直线， 旋转后是倾斜角为函数，旋转后是垂直于轴的一条直线，不是函数， ∴ “旋转函数”不一定是“旋转函数”，②错误； 对于③， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， 直曲联立，解得 ， 当，即时，，至多一解，符合题意， 当，即时，为一元二次方程，， 对，都，使得，即方程有不止一个解， 故不合题意，舍去， ∴，③正确； 对于④， 在中，函数为“旋转函数”， ∴函数逆时针旋转后，不存在垂直于轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不存在倾斜角为的直线，使其与函数有两个及以上交点， 即倾斜角为的直线与函数有至多1个交点， ∴即至多有1解， 在 中，函数为单调函数， ， 为使为使函数为单调函数，其导数需恒为非正或恒为非负， ∵ ， ∴ 恒成立， 单调递减， 即 恒成立， 当时，，符合题意， 当时， 在中， ， 当时，解得， ∴， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取得最小值， ， 解得：， 综上，，④正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示． （1）求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）（万元） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出的值，再将每个矩形中点的横坐标矩形面积全部相加即可； （2）根据分层随机抽样的抽取规则，求出6家企业中月收入在，，内的企业个数，利用古典概率计算公式求出相应概率，进而得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1知 ，解得. 所以月收入在，，，，，，内的频率分别为， 所以这1000家小微企业的月收入的平均数约为（万元）. 【小问2详解】 因为月收入在，，内的企业的比例为， 所以抽取的6家企业中月收入在，，内的企业数分别为. 所以从这6家企业中随机抽取3家企业，其中月收入在内的企业数的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为 所以数学期望为． 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，. （1）求证：平面BDS； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【小问1详解】 设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. 【小问2详解】 因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以， . 则. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得，再由三角函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，再结合题设条件及面积公式，建立方程，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 20. 已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． （1）当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； （2）当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； （3）当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或或； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据的周长求出，结合椭圆的焦距得出，即可求出曲线及的方程； （2）求出曲线的方程，分别以点和点为圆心2为半径作圆，得出点的位置，即可求出点的坐标； （3）求出曲线及的方程，设出切线的表达式，分别与曲线及的方程联立，求出韦达定理，结合，即可求出切线的表达式. 【小问1详解】 由题意， 在中，的周长为8， ， ∵，， ，解得：， 椭圆的焦距为2， ∴，解得 ∴， 在双曲线中，实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴. 【小问2详解】 由题意， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴，， ， ∵是等腰三角形，且是该三角形的腰， ∴①若 ，以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有3个交点， 则， 解得或或， ，，， ②若 ，则以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有2个交点， 一个为点，一个为点， 由对称性可知， 综上，点P的坐标为或或. 【小问3详解】 由题意，存在， 在中，， ∴， ∴，解得：，， 在双曲线中， 实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴， 假设存在直线满足题意，切点为， 联立得， ，解得， 联立得， 设交点，则， ∴，， ∵， ∴ ，即 ， 整理，得 ， 其中 ∴ ， 化简，整理，解得， 结合，解得， ∴存在椭圆的切线l，其与双曲线的左、右两支分别交于点M、N，使， 满足要求的直线l的方程为. 21. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取区间端点  ，计算 ， ，不满足要求，故不是1级控制函数； （2）由定义化为​，得递增，即 ，分离得，从而得到最小值； （3）由控制函数定义及 得，利用在单调递增，得 ，应用换元法求得范围． 【详解】（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即 ， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有 ， 从而，即． 令， 则． 令，则 ， 从而 ， 即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $