精品解析：河北省保定市定州市2026年九年级数学一模试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 2. 两个大小不同的正方体按如图摆放，组成一个几何体，下列不是这个几何体的三视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出该几何体的三视图，再逐项判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： ∴只有选项A不是． 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：若，则． 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出直线与的夹角． 【详解】解：与是对顶角，， ， ， ， ， 设直线与相交于点P， 在中，， ， ， 直线，相交所夹锐角的度数是． 5. 使有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 6. 在括号内填一个单项式，使多项式（ ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 7. 不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中共有个球，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为（个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 8. 若一元二次方程的两根之积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解，再验证方程有实根即可得到结果． 【详解】解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵两根之积为， ∴，解得， ∴原方程为， 解得，，符合题意， ∴． 9. 如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴四边形的周长为， ∵， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 11. 如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 延长至点，使，得到等腰三角形，再由外角的性质得到等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 【答案】． 【解析】 【详解】解：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数， ． 14. 清代数学家罗士琳（）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若是大于1的奇数，则，，是一组勾股数； Ⅱ．若是大于2的偶数，则，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是，最大的数是；在Ⅱ中，若，则最小的数是，最大的数是． 若一组勾股数中，最小的数是，最大数是；另一组勾股数中，最小的数是，则最大数是________． 【答案】 【解析】 【分析】分三类讨论，当为大于的奇数，根据题意可得，最大的数为，解得，从而计算出第二组最大的数为；当时，第一组勾股数为，，，与题意矛盾；当为大于的偶数时，根据题意最大的数为，解得，与题设矛盾． 【详解】解：①当为大于的奇数时，根据题意第一组勾股数中，最大的数为， ∴， 解得（负值舍去）， ∵， ∴在第二组勾股数中，最大的数为； ②当时，第一组勾股数为，，， 最大的数为，与题干最大的数为矛盾，故舍去； ③当为大于的偶数时，根据题意最大的数为， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，第二组勾股数中最大的数为． 15. 如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正多边形的内角公式求得正五边形每个内角都是，结合四边形的内角和以及对顶角相等，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的解． 【详解】解：如图， 由正多边形的内角公式可知，， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 16. 如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形和旋转的性质得出相关角相等，再利用三角形外角的性质证明，从而证得，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 将点D绕点C顺时针旋转得到点E， ，， 是等边三角形， ， 点F在$DE$上， ， 是的外角， ， 又 ， ， 在和中， ，， ， ， 即 ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，其中是整式． （1）求整式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将等式变形，然后展开，再合并同类项即可； （2）将代入（1）中所得的代数式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 18. 一个一元一次不等式的解集如图所示． （1）写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； （2）设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）①；②和． 【解析】 【分析】（1）根据数轴得出解集，再写出符合条件的一元一次不等式即可； （2）①根据题意可得，，且，即可得解；②根据已知不等式，得出，进而得出，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可知，数轴表示的解集为， 则符合条件的一元一次不等式为； 【小问2详解】 解：①m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ，，且， ， ， ， m的取值范围为； ②由①可知，，， ， ， ， ， ∵，即， ∴ ， 整数n的值为和． 19. 【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． （1）【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． （2）【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 20. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，选错、多选、不选都算错．竞赛结束后，学校抽取了名同学的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）： 2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13 将以上数据分五个等级（A：，B：，C：，D：，E：），绘制了如图所示的尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图． （1）求，的值； （2）求的值，并补出频数分布直方图中的B等级部分； （3）求这些答对题数的众数和中位数． 【答案】（1）， （2），频数分布直方图见解析 （3）众数为道，中位数为道 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图确定等级E的人数和占比，相除得到抽取的人数，再用等级A的人数除以抽取人数求得占比； （2）先根据等级C的占比求出的值，再计算出等级B的人数，之后补全频数分布直方图即可； （3）先将剩下的数据从小到大排列，结合统计图确定被污染的数据所在的等级，再根据众数和中位数的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由两个统计图可知，等级E的人数为人，占比， ∴抽取人数为（人），即， ∴等级A的占比为， ∴； 【小问2详解】 解：∵等级C的占比为， ∴等级C的人数为（人），即， ∴等级D的人数也是人， ∴等级B的人数为（人）， 频数分布直方图补全如下： 【小问3详解】 解：将剩下的个数据从小到大排列得： 2，4，5，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，18，20， 其中等级A的数据有2个，等级B的数据有2个，等级C的数据有6个，等级D的数据有6个，等级E的数据有2个， ∴被污染的数据一个在等级B，一个在等级E， ∵10道出现次，出现的次数最多， ∴众数为10道， ∵A、B两组共个数， ∴这个数据的第个数为C组的第个数，即，第个数为C组第个数，即， ∴中位数为（道）． 21. 淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． （1）当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． （2）顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 【答案】（1）当时，；当时， （2）①顾客乙购买水果的总价为元；②二人合买比分别购买省元 【解析】 【分析】（1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）①根据题意可求出顾客乙购买水果的总价超过120元，再把代入中求出x的值即可得到答案；②根据题意可求出顾客甲购买水果的总价不超过120元，据此求出顾客甲购买水果的总价，再分别求出二人单独购买的费用和合买的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，； 当时， 【小问2详解】 解：①∵， ∴顾客乙购买水果的总价超过120元， 在中，当时，， 解得， 答：顾客乙购买水果的总价为135元； ②∵， ∴顾客甲购买水果的总价不超过120元， 在中，当时，，解得， ∴顾客甲购买水果的总价为90元， ∴顾客甲和顾客乙一起购买水果的总价为元， 元， 元， 元 答：二人合买比分别购买省元． 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，可证，进一步可知，根据平行四边形的性质可知，即可求解； （2）①作于点，设半圆的半径为，根据解三角形可知半径，即可求解弧长； ②根据是直径，可知，进而可知，根据余弦值可知长度，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图1． ∵半圆与相切，点为切点， ∴ ∵， ∴, ∴ 又， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：①作于点，如图2． 设半圆的半径为，则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴的长为 ② 如图3，∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 而, ∴ 23. 如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． （2）若，，直接写出点与点距离的最大值． 【答案】（1）①，且，理由见解析；②证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）①容易证明，则，，进而证明； ②由直角三角形的性质可得，根据题意容易判断是等边三角形，则，．由①可知，则，．结合是等边三角形可得，，从而证明，因此； （2）连接，由和是等边三角形，容易证明也是等边三角形，则．由直角三角形的性质和三角函数计算得，由线段公理可知，，当、、三点共线时，取得最大值，因此的最大值为． 【小问1详解】 解：①，且，理由如下： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②证明：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由①可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值，此时，符合题意， ∴的最大值为． 24. 如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点． （1）求的解析式，并用含的式子表示； （2）嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； （4）若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）嘉嘉说得正确，定点坐标为 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入求得，根据的解析式可得点，代入可得； （2）将和代入，可得，观察可知，当时，为定值，因此过定点； （3）联立抛物线与，求得交点坐标为，，则两个点的对称中心的坐标为，由该点在轴可知，，解得； （4）根据可得，在抛物线中，点离对称轴直线越近，对应的函数值越大，结合可知，，解得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 解得， ∴的解析式为， 抛物线的顶点的坐标为， 将点代入，得； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， 当时，为定值， ∴嘉嘉说得正确，定点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线为， 联立抛物线与，得， ， 解得或， ∴抛物线与的两个交点的坐标为，，对称中心的坐标为， ∵两个交点的对称中心在轴上， ∴，解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∴在抛物线中，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 平方，得， 整理，得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各数中，最小的数是（ ）． A. B. C. D. 2. 两个大小不同的正方体按如图摆放，组成一个几何体，下列不是这个几何体的三视图为（ ）． A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 使有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 且 6. 在括号内填一个单项式，使多项式（ ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共个，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．嘉嘉从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出个球，这个球是蓝球的概率是（ ）． A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 11. 如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 14. 清代数学家罗士琳（）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若是大于1的奇数，则，，是一组勾股数； Ⅱ．若是大于2的偶数，则，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是，最大的数是；在Ⅱ中，若，则最小的数是，最大的数是． 若一组勾股数中，最小的数是，最大数是；另一组勾股数中，最小的数是，则最大数是________． 15. 如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 16. 如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，其中是整式． （1）求整式； （2）当时，求的值． 18. 一个一元一次不等式的解集如图所示． （1）写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； （2）设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 19. 【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． （1）【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． （2）【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 20. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题，竞赛采用限定时间快速答题的方式进行，选错、多选、不选都算错．竞赛结束后，学校抽取了名同学的答卷，将他们答对的题数（单位：道）统计如下（有几个数据被墨水污染了）： 2，8，4，10，18，5，9，10，12，11，20，16，15，13，10，15，14，13 将以上数据分五个等级（A：，B：，C：，D：，E：），绘制了如图所示的尚不完整的频数分布直方图及扇形统计图． （1）求，的值； （2）求的值，并补出频数分布直方图中的B等级部分； （3）求这些答对题数的众数和中位数． 21. 淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． （1）当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． （2）顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 22. 如图1和图2，中，对角线，是上一点（不与点重合），以为直径作半圆，圆心为点，交于点． （1）如图1，若半圆与相切，点为切点，连接并延长，交于点，求证：； （2）如图2，若半圆与交于点，，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取3.14） 23. 如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． （2）若，，直接写出点与点距离的最大值． 24. 如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点． （1）求的解析式，并用含的式子表示； （2）嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； （3）若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； （4）若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $