精品解析：2026年河北廊坊市香河县初中学业水平结业测评数学试卷

2026年河北省初中学业水平结业测评 数学试卷 〔七~九年级〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1.使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2.修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 将4，，，0，，3.141这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如下图，直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2或 8. 函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（ ） x 10 y 1 A. B. C. D. 9. 如下图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若的面积为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，24，25 C. ，， D. ，， 11. 体育课上，八年级（1）（2）班各出5名同学进行1分钟跳绳比赛，赛后两班体委根据成绩绘制出如下图所示的折线统计图．他们通过分析得出如下结论： ①两班学生成绩的平均水平相同； ②（1）班优秀的人数多于（2）班优秀的人数（每分钟跳绳个数为优秀）； ③已知，，所以（1）班成绩波动情况比（2）班成绩波动小． 上述结论中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 12. 如下图，以的斜边为直径作，点D为的中点，为的切线，交的延长线于点E．连接．若的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 计算的结果是__________． 14. 在函数中，写出一个你认为正确的x的值______． 15. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 16. 已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： （1）求的值； （2）通过计算说明：与的值是否相等． 18. 在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 19. 关于x的方程有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）取一个你喜欢的m值，解这个方程； （3）在（1）的条件下，化简：． 20. 如下图，在四边形中，，，，E是的中点，连接，相交于点F，连接． （1）求证：； （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 21. 某中学为了解全校学生对四类电视节目（A：新闻，B：娱乐，C：体育，D：动画）的喜爱情况，就“我最喜爱的电视节目”进行了一次简单随机抽样调查（四类中必选并只选一类），学校调研小组根据调查结果绘制出如下图所示不完整的统计图． （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图； （2）若该校共有学生1000人，估计最喜爱动画节目的学生人数； （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，用列表法或画树状图的方法求恰好抽中一男一女的概率． 22. 某超市购入一批进价为15元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：售价不低于进价时，日销售量y（单位：盒，）与售价x（元/盒）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 售价x（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量y（盒） 54 50 46 38 30 （1）写出y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）； （2）该超市在本次糖果销售中： ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 23. 如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． （1）求C到M的距离； （2）汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 24. 如下图，等腰三角形内接于，点D是上一点，连接，连接并延长，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）在线段上找一点G，连接，交于点H，使得．求证：； （3）若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平结业测评 数学试卷 〔七~九年级〕 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1.使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2.修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 将4，，，0，，3.141这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵从中随机抽取1张，共有6种等可能的结果，其中无理数有，，共2种结果， ∴抽到无理数的概率为． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，且等式需成立，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，左边是乘积形式，右边是多项式，不符合因式分解定义，故A选项错误，不符合题意； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，故B选项错误，不符合题意； C、展开右边得，与左边不相等，因式分解错误，故C选项错误，不符合题意； D、对左边因式分解，，符合因式分解定义且变形正确，故D选项正确，符合题意． 3. 下图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由俯视图所标该位置上小立方块的个数可知，主视图有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为该列数字的最大值． 【详解】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列 ，左边一列只有1个位置，数字为3 ∴主视图左边一列有3层 ∵中间一列有3个位置，数字分别为1，1，2，最大值为2 ∴主视图中间一列有2层 ∵右边一列有2个位置，数字分别为2，1，最大值为2 ∴主视图右边一列有2层 综上所述，该几何体的主视图从左到右小正方形个数分别为3，2，2 ． 4. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 5. 如下图，直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线的定义得到的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵矩形本身就有，，，故A，C，D错误； 添加，可以证明矩形是正方形，故B正确． 7. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 8. 函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（ ） x 10 y 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据表格中与的对应值，找出函数规律，得到函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，再逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 故该函数图象上的点满足， A、，因此该点不在这个函数图象上，故符合题意； B、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； C、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； D、，该点在这个函数图象上，故不符合题意． 9. 如下图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若的面积为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，且相似比为，再由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， ∴，且相似比为， ∴， ∵的面积为1.5， ∴的面积为． 10. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，24，25 C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； B、，且7，24，25都是正整数，故7，24，25是勾股数，该选项符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； D、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意． 11. 体育课上，八年级（1）（2）班各出5名同学进行1分钟跳绳比赛，赛后两班体委根据成绩绘制出如下图所示的折线统计图．他们通过分析得出如下结论： ①两班学生成绩的平均水平相同； ②（1）班优秀的人数多于（2）班优秀的人数（每分钟跳绳个数为优秀）； ③已知，，所以（1）班成绩波动情况比（2）班成绩波动小． 上述结论中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的定义可判断①；根据统计图中的数据可判断②；根据方差与稳定性之间的关系可判断③． 【详解】解：八（1）班的平均成绩为个， 八（2）班的平均成绩为个， ∴两班学生成绩的平均水平相同，故①正确； 由题意得八（1）班优秀的人数为4人，八（2）班优秀的人数为3人， ∴（1）班优秀的人数多于（2）班优秀的人数（每分钟跳绳个数为优秀），故②正确； ∵，， ∴， ∴（1）班成绩波动情况比（2）班成绩波动小，故③正确； ∴正确的有①②③． 12. 如下图，以的斜边为直径作，点D为的中点，为的切线，交的延长线于点E．连接．若的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于点H，连接，由切线的性质得到，由勾股定理得到，则，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点H，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 14. 在函数中，写出一个你认为正确的x的值______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴写出一个正确的x的值为3（答案不唯一）． 15. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 16. 已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： （1）求的值； （2）通过计算说明：与的值是否相等． 【答案】（1） （2），计算说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据定义分别求出和的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴． 18. 在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第二步；等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立；小高的解答过程不正确，正确解答过程见解析 【解析】 【分析】根据题意可知第二步去分母，依据是等式的性质2；在第三步去括号时，数字1前面的符号没有变号，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，并检验即可． 【详解】解：由题意得，第二步是去分母，去分母的依据是等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立， 小高的解答过程不正确，正确解答如下： ， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 19. 关于x的方程有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）取一个你喜欢的m值，解这个方程； （3）在（1）的条件下，化简：． 【答案】（1） （2）取时，方程的解为（答案不唯一，m满足且计算正确即可） （3） 【解析】 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）取，然后利用因式分解法解方程即可； （3）根据（1）可得，据此根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：取，则原方程为， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解： 由（1）得， ∴， ∴ ． 20. 如下图，在四边形中，，，，E是的中点，连接，相交于点F，连接． （1）求证：； （2）判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补求出，再证明出，最后利用“”即可证明； （2）利用全等三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某中学为了解全校学生对四类电视节目（A：新闻，B：娱乐，C：体育，D：动画）的喜爱情况，就“我最喜爱的电视节目”进行了一次简单随机抽样调查（四类中必选并只选一类），学校调研小组根据调查结果绘制出如下图所示不完整的统计图． （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图； （2）若该校共有学生1000人，估计最喜爱动画节目的学生人数； （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，用列表法或画树状图的方法求恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据喜欢A：新闻类节目的人数除以所占的比例即可得出问卷调查的总人数，再求出喜欢D：动画类节目的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以喜欢D：动画类节目的人数所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有可能的结果，找出恰好抽中一男一女的情况，再根据概率公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：问卷调查的总人数为（人）， 故喜欢D：动画类节目的人数为（人）， 补全条形图如图所示： 【小问2详解】 解：估计最喜爱动画节目的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：画树状图可得： 由图可得：共有种等可能出现的结果，其中恰好抽中一男一女的情况有种， 故恰好抽中一男一女的概率为． 22. 某超市购入一批进价为15元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：售价不低于进价时，日销售量y（单位：盒，）与售价x（元/盒）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 售价x（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量y（盒） 54 50 46 38 30 （1）写出y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）； （2）该超市在本次糖果销售中： ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1） （2）①售价应定为25元/盒或35元/盒；②售价定为30元/盒时，每天能够获得最大利润 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据每天获得的利润（售价进价）日销售量建立方程求解即可；②设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润（售价进价）日销售量列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设出y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①由题意得，， 整理得， 解得或， 答：售价应定为25元/盒或35元/盒； ②设每天获得的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为450， 答：售价定为30元/盒时，每天能够获得最大利润． 23. 如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． （1）求C到M的距离； （2）汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 【答案】（1） （2）汽车C没有超速 【解析】 【分析】（1）设，解得到，解得到，再根据建立方程求解即可； （2）根据（1）可得的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出汽车的速度即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：C到M的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 在中，， ∴， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴汽车C没有超速． 答：汽车C没有超速． 24. 如下图，等腰三角形内接于，点D是上一点，连接，连接并延长，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）在线段上找一点G，连接，交于点H，使得．求证：； （3）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角并结合圆周角定理可得，再结合三角形外角的定义及性质即可得证； （2）由（1）可得，由等边对等角可得，从而可得，结合圆周角定理可得，即可得证； （3）先由题意求出，作于点，，设，则，，解直角三角形得出，再结合勾股定理计算即可得出的值，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ， ∵， ∴ 由圆周角定理可得：， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $