广东阳江市第三中学2025-2026学年高二下学期数学周末小练习（八）

**基本信息** 本试卷为高二数学周测，覆盖等比数列、导数、概率等核心知识，通过抽题、做题游戏等生活情境考查数据意识与模型意识，基础题与综合题结合，适配高二阶段性巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等比数列前n项和、导数切线、二项式系数|基础概念辨析，如第6题条件概率考查数学思维| |多选题|3|导数应用、排列组合、随机事件概率|选项分层，如第10题排列组合结合实际情境| |填空题|3|导数极小值、二项式系数、概率分布列|计算与应用结合，第14题分布列考查数据意识| |解答题|5|概率应用、数列求和、解三角形|情境化综合，如15题抽题概率体现模型意识，17题数列求和考查逻辑推理|

2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(八) 2026年 5月 17日 班级: 姓名： 学号： 一、单选题 1．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 3．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 6．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与30%，且两地同时下雨的概率为15%，则春季的一天里在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 7．在二项式的展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为240 C．所有项的系数和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 8．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 二、多选题 9．下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．重庆市第二外国语学校准备在5月开展科技文化节，高二年级现在从5名男生，4名女生中选出4人参加比赛，则下列说法正确的是（    ） A．如果任意选择4人，有120种选法 B．如果4人中男女各占两人，有60种选法 C．如果男生中的甲，女生中的乙都必须参加，有21种选法 D．如果男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，有91种选法 11．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的极小值是______． 13．在的展开式中．的系数为______． 14．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下: 0 1 2 则的值分别为_____、_____、_____. 四、解答题 15．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 16．甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题没有做对试题的概率； (2)求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率； (3)若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列. 17．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 19．设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉 高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。你能算出韩信到底有多少兵吗？第 1 页 共 4 页 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学周末小练习(八)解析版 2026 年 5月 17日 一、单选题 1．已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A【详解】由题意可知，是等比数列， 则，即，故. 2．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【答案】D【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列，可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 3．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C【详解】设切点坐标为，因为，所以， 所以切线的斜率，解得，又，即，所以. 4．已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A【详解】函数的定义域为，，所以. 所以，所以. 5．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题意知，，解得，展开式通项公式为，令，则，所以. 6．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与30%，且两地同时下雨的概率为15%，则春季的一天里在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】设事件甲地下雨，事件乙地下雨， 根据题意得： ，两地同时下雨的概率 ， 根据条件概率公式：在发生的条件下发生的概率为 . 7．在二项式的展开式中，下列说法不正确的是（    ） A．第四项二项式系数最大 B．常数项为240 C．所有项的系数和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】B【详解】对于A，二项式展开式共有7项，由二项式系数性质可知， 该二项式系数最大为中间项即第四项二项式系数最大，故A正确； 对于B，该二项式的通项公式为， 令，所以常数项为，故B错误； 对于C，因为， 令，得，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数之和为，故D正确. 8．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】B【详解】先整理基本量：总球数，红球总数，逐个验证选项： 选项A，，A正确； 选项B，由全概率公式，，B错误；选项C，，C正确； 选项D，从所有红球中抽取，来自概率概率概率概率最小，D正确. 二、多选题 9．下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，则，解得，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，则，则，故D正确. 10．重庆市第二外国语学校准备在5月开展科技文化节，高二年级现在从5名男生，4名女生中选出4人参加比赛，则下列说法正确的是（    ） A．如果任意选择4人，有120种选法 B．如果4人中男女各占两人，有60种选法 C．如果男生中的甲，女生中的乙都必须参加，有21种选法 D．如果男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，有91种选法 【答案】BCD【详解】对A，9人中任选4人，方法数为，A错； 对B，4人中男女各占两人，方法数为，B正确； 对C，男生中的甲，女生中的乙都必须参加，方法数是，C正确； 对D，男生中的甲，女生中的乙至少一人参加，用任选4人的方法数减去两人都不参加的方法数，为：，D正确. 11．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD【详解】对于B，由，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于A，由，可得，所以A错误； 对于C，由，可得，且， 根据条件概率的公式，可得，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D正确. 三、填空题 12．函数的极小值是______． 【答案】 【详解】，，令，则， 解得：，随着的变化，和变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 由表可知，函数的极小值是． 13．在的展开式中．的系数为______． 【答案】 【详解】，，使可得，则的系数为. 14．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下: 0 1 2 则的值分别为_____、_____、_____. 【答案】 / / / 【详解】依题意，得，，，所以，，. 四、解答题 15．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 （2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，，， ，， 16．甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题没有做对试题的概率； (2)求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率； (3)若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列. 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.由题设可知，所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为 （2）由题设可知. 又，所以.故. （3）根据题意甲做对题概率为. 甲做对一题的概率为分析可得 （甲乙）（甲乙或甲乙） （甲乙或甲乙）,（甲乙） 可得的分布列为 0 1 2 3 0.15 0.35 0.35 0.15 17．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【详解】（1）由，根据余弦定理，得， 因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，，则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 19．设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）因，则，故， 即，解得，故原不等式的解集为. （2）因，由，可得为奇函数. 又，因，，则故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得，即存在使得，因，， 则当时，取得最小值，故得.故实数的取值范围是. 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $