精品解析：2025年江苏省淮安市淮安区部分校中考第一次检测数学试题

2024-2025学年春学期九年级第一次调研 数学试题 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 把方程＝1去分母后正确的是（　　） A. 4x﹣3（x﹣1）＝1 B. 4x﹣3x﹣3＝12 C. 4x﹣3（x﹣1）＝12 D. 4x+3x﹣3＝12 2. 如图1所示的华万“HR45T－A”发动机是中国第一款使用正向工程研制的转子发动机，它的轻型动力系统世界领先，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”（三个侧面都是曲面），如图2，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　） A. B. C. D. 4 6. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于两点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是______． 10. ______． 11. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当时，随的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______． 12. 如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____． 13. 已知a、b是方程的两个实数根，则_____． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____． 15. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 16. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____． 17. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则α的余弦值为________________． 18. 如图，正方形的边长为4，平分交于点E，在上截取，连接，交于点G，交于点H，点M是线段上一个动点，于点N．下列说法：①；②；③；④的最小值是．正确的是________（只填序号）． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： 20. 小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数被污染了． 计算：． （1）若，计算：； （2）若，求的值； （3）若要使的结果为最小正整数，求值． 21. 某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二（表二中每组数据包括最小值，不包括最大值）． 表一 甲组 乙组 人数 100 80 平均分 94 90 表二 分数 [0，60） [60，72） [72，84） [84，96） [96，108） [108，120） 频数 3 6 36 50 13 频率 20% 40% 等第 C B A 请根据表一、表二所示信息回答下列问题： （1）样本中，学生数学成绩平均分为　 　分（结果精确到0.1）； （2）样本中，数学成绩在[84，96）分数段的频数为　 　，等级A的人数占抽样学生总人数的百分比为　 　，中位数所在的分数段为　 　； （3）估计这8000名学生数学成绩的平均分约为　 　分（结果精确到0.1）． 22. 在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率． 23. 如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 24. 如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 25. 已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小； （Ⅱ）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小． 26. 如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点． (1)求证：四边形AOCP是平行四边形； (2)填空：①当∠ABP＝ 时，四边形AOCP是菱形； ②连接BP，当∠ABP＝ 时，PC是⊙O的切线． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年春学期九年级第一次调研 数学试题 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 把方程＝1去分母后正确的是（　　） A. 4x﹣3（x﹣1）＝1 B. 4x﹣3x﹣3＝12 C. 4x﹣3（x﹣1）＝12 D. 4x+3x﹣3＝12 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边乘以12得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程＝1， 去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 2. 如图1所示的华万“HR45T－A”发动机是中国第一款使用正向工程研制的转子发动机，它的轻型动力系统世界领先，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”（三个侧面都是曲面），如图2，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转子形状是“曲侧面三棱柱”，它的三个侧面都是曲面，根据三视图看到方向，可以确定三个视图的形状，判断答案． 【详解】解：∵转子形状是“曲侧面三棱柱”， ∴它的三个侧面都是曲面， ∴俯视图的三条线都是曲线， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题． 3. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可得CE，进而问题可求解． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD， ∴， ∵∠DOB＝60°， ∴， ∵EB＝2， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂径定理及圆周角定理，熟练掌握勾股定理、垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 5. 如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答． 【详解】解：如图，若，且AB＝10， ∴AD＝4，BD＝6， 作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′， 可得A、C、A′三点共线， ∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称， ∴AB＝A′B， ∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10． 而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40． 则A′C2＝20， 又∵A′C2＝A′B2﹣CB2， ∴20＝100﹣CB2， ∴CB＝4． 故选A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后作出解答． 6. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，设中间正六边形的中心为D，连接．判断出，的长，可得结论． 【详解】解：设中间正六边形的中心为D，连接． ∵点P为，图中是7个全等的正六边形， ∴， ∴， 根据题意知垂直平分 ∴， ∴， 又Q的坐标为， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴，即， 解得，， ∴， ∵点M在第四象限， ∴点M的坐标为， 7. 如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正八边形的性质，设正八边形的边长为a，则，，因此，进而求解即可． 【详解】解：设正八边形的边长为a，则， 且，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于两点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称性求得，进而根据二次函数的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∵与关于直线对称，， ∴， ∴， ∴当时，，故C选项正确 ∵ ∴ ∴，故A选项错误； 由题意知，， 则，故B选项错误， ∵ ∴，故D选项错误， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，牢记公式是解题的关键．代入弧长公式即可求解． 【详解】解：由弧长公式得，解得， 故答案为：2． 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 根据特殊角的三角函数值解决此题． 【详解】解：原式 = 故答案为： 11. 已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当时，随的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可． 【详解】解：图像过原点， 可以设解析式为： 当时，随的增大而增大， ，开口向上，且对称轴， 即， 可以设二次函数为 满足均可． 故答案不唯一，如：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键． 12. 如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____． 【答案】2π． 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∴的长＝， 故答案为2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 13. 已知a、b是方程的两个实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，，利用完全平方公式将原式进行化简，然后将得出条件代入即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据等边对等角可得∠A=∠ACD，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD， ∴tan∠ACD＝tan∠A＝＝＝． 故答案为． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键． 15. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作于点E，过点C作于点F，根据求出和的 长度，进而求出的长度，根据对余四边形的定义得出，则 ，即可求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最 后根据即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点E，过点C作于点F， ∵，， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，勾股定理的内容，正确作出辅助线，构建直角三角形． 16. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____． 【答案】4π 【解析】 【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可． 【详解】解：如图所示：连接OA、OB． ∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10， ∴∠AOB＝＝72°， ∴的长为：． 故答案为：4π． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键． 17. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则α的余弦值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解方程求得x=6，从而求出较长边的长度，运用三角函数定义求解． 【详解】解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10． 设直角三角形中较小直角边长为x，较长的直角边（x+2）， 则有（x+2）2+x2=102， 解得，x=6， ∴较长直角边的边长为x+2=8， ∴cosα===． 【点睛】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义. 18. 如图，正方形的边长为4，平分交于点E，在上截取，连接，交于点G，交于点H，点M是线段上一个动点，于点N．下列说法：①；②；③；④的最小值是．正确的是________（只填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定，即可判定①；根据全等三角形的性质及正方形的性质，即可判定②；根据角平分线的定义及全等三角形的判定与性质，即可判定③；由②知垂直平分，可得，过点A作于点P，交于点Q，此时取得最小值，最小值即为的长，即可判定④，据此即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， 平分， ， ， ， ，，故③错误； 垂直平分， 如图：过点A作于点P，交于点Q，连接，，此时取得最小值，最小值即为的长， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为，故④正确． 故正确的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、点到直线的距离，找到的最小值是解决本题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题关键； 将特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】原式= = 20. 小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数被污染了． 计算：． （1）若，计算：； （2）若，求的值； （3）若要使的结果为最小正整数，求值． 【答案】（1）0；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先算乘除，再计算加法，即可求解； （2）解出一元一次方程，即可求解； （3）根据最小的正整数为1，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）∵， ∴解得：； （3）， ∵最小的正整数为1，即， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 21. 某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二（表二中每组数据包括最小值，不包括最大值）． 表一 甲组 乙组 人数 100 80 平均分 94 90 表二 分数 [0，60） [60，72） [72，84） [84，96） [96，108） [108，120） 频数 3 6 36 50 13 频率 20% 40% 等第 C B A 请根据表一、表二所示信息回答下列问题： （1）样本中，学生数学成绩平均分为　 　分（结果精确到0.1）； （2）样本中，数学成绩在[84，96）分数段的频数为　 　，等级A的人数占抽样学生总人数的百分比为　 　，中位数所在的分数段为　 　； （3）估计这8000名学生数学成绩的平均分约为　 　分（结果精确到0.1）． 【答案】（1）92.2；（2）72，35%，[84，96）；（3）92.2 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数公式即可求得； （2）利用总数乘以对应的百分比即可求得数学成绩在分数段[84，96）的频数，利用百分比的意义求得等级为A的人数占抽样学生人数的百分比； （3）由（１）得样本中，学生的数学成绩的平均分，用样本估计总体，可得总体的平均分． 【详解】解：（1）样本中，学生数学成绩的平均分是：≈92.2（分）； 故答案为：92.2； （2）数学成绩在分数段[84，96）的频数是：（100+80）×40%＝72（人）， 等级A为的人数占抽样学生人数的百分比是：＝35%， 将学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在[84，96）组，因此中位数在[84，96）； 故答案为：72，35%，[84，96）； （3）样本估计总体，样本平均数为92.2分，因此估计总体的平均数为92.2分． 【点睛】本题考查了加权平均数，频率的计算，频数的计算及统计图表的识别．了解频率分布直方图和频率分布表中频率的计算方法是解题的关键． 22. 在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中刚好是一男生一女生的结果有6种， ∴刚好是一男生一女生的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 23. 如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1） 点和即为所求； （2）2或8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． 24. 如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 【答案】（1）配色条纹的宽度为 米 （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设条纹的宽度为米，根据图中所示可列出条纹面积的代数式为，又根据题意得出等量关系：配色条纹面积整个地毯面积，列出方程求解即可； （2）根据： 总价单价数量，地毯总造价条纹面积造价其余面积造价，地毯总面积中，条纹面积占则其余面积占代入数据计算即可． 【小问1详解】 设配色条纹的宽度为米，根据题意，可列方程为： 整理得， ， 解得 (不符合题意，舍去)，， 答：配色条纹的宽度为 米； 【小问2详解】 条纹造价： (元) ， 其余部分造价： (元) ， 总造价为： (元) ， 所以地毯的总造价是元． 25. 已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （1）如图①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小； （Ⅱ）如图②，过点B作BD∥MA，交AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小． 【答案】（1）∠AMB＝46°；（Ⅱ）∠AMB＝60°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据切线性质求出∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理求出∠COB，求出∠BOA，即可求出答案； （2）连接AB、AD，得出平行四边形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等边三角形AMB，即可得出答案． 解：（1）连接OB， ∵MA、MB分别切⊙O于A、B， ∴∠OBM=∠OAM=90°， ∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=23°， ∴∠BOC=2∠BAC=46°， ∴∠BOA=180°﹣46°=134°， ∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°． （2）连接AD，AB， ∵BD∥AM，DB=AM， ∴四边形BMAD是平行四边形， ∴BM=AD， ∵MA切⊙O于A， ∴AC⊥AM， ∵BD∥AM， ∴BD⊥AC， ∵AC过O， ∴BE=DE， ∴AB=AD=BM， ∵MA、MB分别切⊙O于A、B， ∴MA=MB， ∴BM=MA=AB， ∴△BMA是等边三角形， ∴∠AMB=60°． 26. 如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点． (1)求证：四边形AOCP是平行四边形； (2)填空：①当∠ABP＝ 时，四边形AOCP是菱形； ②连接BP，当∠ABP＝ 时，PC是⊙O的切线． 【答案】 (1)证明：∵点M是OP中点， ∴PM=OM， ∵AO=BO， ∵PC∥AB， ∴∠CPM=∠AOB，∠PCM=∠OAM ∴△CPM≌△AOM， ∴AO=CP 又PC∥AB， ∴四边形AOCP是平行四边形； (2)①30°；②45°. 【解析】 【分析】（1）证明△CPM≌△AOM，得出PC=OA，结合PC∥AB，即可得出结论； （2）根据圆周角定理得到∠AOP=60°，推出△AOP是等边三角形，得到AP=AO，于是得到四边形AOCP是菱形；由圆周角定理得到∠AOP=90°，根据平行线的性质得到∠OPC=∠AOP=90°，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）当∠ABP=30度时，四边形AOCP是菱形； 理由：∵∠ABP=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AO=PO， ∴△AOP是等边三角形， ∴AP=AO， ∴四边形AOCP是菱形； 当∠ABP=45度时，PC是⊙O的切线； 理由：∵∠ABP=45°， ∴∠AOP=90°， ∵AO∥PC， ∴∠OPC=∠AOP=90°， ∴PC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】（1）y＝−x2＋2x＋；（2）；（3）（，2）或（，2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的交点式，结合待定系数法即可求解； （2）△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA，即可求解； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解． 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝，即C（0，）， 设抛物线的表达式为y＝a（x−5）（x＋1）， 将点C的坐标代入上式得：＝a（0−5）（0＋1）， 解得a＝−， ∴抛物线的表达式为：y＝−（x−5）（x＋1）＝−x2＋2x＋； （2）由抛物线的表达式得：顶点M（2，）， 过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设直线AC的表达式为y＝kx＋t， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为：y＝−x＋， 当x＝2时，y＝，则MH＝−＝3， 则△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋）， 由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可， ∴EF2＝OD2＝m2＋（−m＋）2＝m2−m＋， ∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1， ∴点D（1，2）， ∵点P、D的纵坐标相同， ∴2＝−x2＋2x＋，解得x＝ 故点P的坐标为（，2）或（，2）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $