精品解析：江苏南京市鼓楼区2026年中考一模考试数学试题

九年级数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 截至2026年3月底，我国大模型调用量领跑全球，调用量达46900亿，用科学记数法表示46900是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 下列与5最接近的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，所以只要比较被开方数，看哪个与25更接近即可． 【详解】解：， ∵，且， ∴与5最接近的数是． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先判定，然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即． 故选：D． 5. 无论取何值，点不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标关系得到点所在直线，结合各象限内点的坐标符号特征，即可判断点不可能存在的象限． 【详解】解：设点坐标为，由题意得， 若点在第二象限，需满足且 当时， 不可能为正数，因此点不可能在第二象限． 同理可得，时点在第一象限，时点在第三象限，时点在第四象限． 6. 函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：①由于反比例函数和一次函数的图象均关于原点中心对称，则关于原点中心对称，故①正确； ②令，即，则，解得，则函数图象与轴有交点，故②错误； ③当时，随的增大而增大，随的增大而减小，则随的增大而增大，故③正确； ④由②可知，当时，，故，则④正确． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 6的平方根是________，6的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：的平方根是，的立方根是． 8. 计算的结果是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 9. 已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】先求出正五边形边长所对弧的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形的外接圆， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， 根据圆周角定理可得． 10. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列方程计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 根据弧长公式可得扇形弧长为， 由扇形弧长等于圆锥底面周长可得， 解得． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】设一元二次方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得两根之和为， ∵方程的一个根是， ∴， 解得，即另一个根是． 12. 一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式． 【详解】解：在一次函数的图象上取两点： 当时，，可得点 当时，，可得点 关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于轴对称的点分别为， 设所求直线的表达式为， 将，代入表达式得 把代入，得 解得 因此所求直线的表达式为 13. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该商品经过两次涨价后的价格=该商品的原价这两次涨价的平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14. 甲纸条长为，乙纸条长为．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为的纸条，则________． 【答案】88 【解析】 【分析】由题意可知：重叠部分为，设重叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴． 15. 将矩形纸片的一组对角按图中方式折叠，折痕为和，图中所示的重叠部分刚好是一个边长为的正方形，已知长为，则长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，根据折叠的性质可得，然后证明四边形是矩形，则，然后求出，最后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∵重叠部分刚好是一个边长为的正方形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴ 解得（舍负）． 16. 实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解①得， ， 解②得 综上所述，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 【答案】（1）见解析 （2）90 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，即可证明四边形为矩形； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，根据平行线的性质得出，从而证明，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形； 连接，交于点O，如图所示： ∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 20. 不透明口袋中有3个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从口袋中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为________； （2）从口袋中随机摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以得到摸出的球是白球的概率； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出摸出的2个球都是白球的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得，从口袋中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为； 【小问2详解】 解：树状图如下所示， 由上可得，一共有20种等可能性，其中摸出的2个球都是白球的可能性有6种， ∴摸出的2个球都是白球的概率为． 21. 在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）乙更稳定 （2）变小，变大 【解析】 【小问1详解】 解： ∵ ∴乙的方差更小，成绩更稳定． 【小问2详解】 解： ， ∴甲这6次成绩的方差变小； ， ∴乙这6次成绩的方差变大． 22. 某工厂要生产A，B两种零件，已知生产1个A零件和2个B零件的成本为750元，3个A零件和5个B零件的成本为1950元． （1）求分别生产1个A零件、1个B零件的成本； （2）若要生产A，B两种零件共150个，且要求B零件个数不少于A零件个数的2倍，那么生产A种零件多少个时，可使生产成本最低？最低生产成本是多少？ 【答案】（1） 生产1个A零件的成本为150元，生产1个B零件的成本为300元 （2） 生产A种零件50个时，生产成本最低，最低生产成本为37500元 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种生产组合的成本关系，设未知数后列二元一次方程组，进行求解即可； （2）先根据B零件的数量限制条件求出A零件个数的取值范围，再列出总成本关于A零件个数的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最低生产成本.  【小问1详解】 解：设生产1个A零件的成本为元，生产1个B零件的成本为元， 根据题意得 ，  解得 ，  答：生产1个A零件的成本为150元，生产1个B零件的成本为300元； 【小问2详解】 解：设生产A零件个，生产成本为元，则生产B零件 个， 根据题意得 ， 解得，其中且为整数， 总成本 ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 把代入得 （元） 答：生产A种零件50个时，生产成本最低，最低生产成本为37500元. 23. 已知是一个四位数，表示千位、百位、十位、个位上的数字分别是，，，，若可以被9整除，求证：这个数可以被9整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先将四位数按数位意义展开变形，把原式拆分为9的倍数与的和，结合已知条件即可证明该四位数能被9整除，用到多位数的数位表示方法和整除的性质． 【详解】证明：∵四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为，，， ∴ ∵是9的整数倍，可以被9整除 已知可以被9整除 ∴两个能被9整除的数的和也能被9整除 ∴可以被9整除． 24. 如图，是半圆的直径，，弦，相交于点，平分． （1）若，求的长； （2）设长为，长为，求关于的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和推论能够求出直角三角形中锐角的度数，可以求出的长； （2）利用圆周角定理，勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 【答案】（1）（或） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式性质，考查待定系数法求解析式，指定自变量范围的最值计算，根据函数值大小关系求参数范围．利用二次函数对称轴和开口方向对函数值的影响，分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点 将代入解析式得 得， 解得 因此抛物线的表达式为，展开可得 【小问2详解】 解：当时，抛物线解析式为 抛物线开口向上，对称轴为直线 在范围内，当时，取得最小值，最小值为 当时， 当时， 因此在范围内的最大值为 最大值与最小值的差为 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大 ∵，则 ∵ 解得： ∴ 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴ 解得： 综上所述，或 26. 以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若，，则四边形是平行四边形； （2）若，，被平分，则四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作，得，再以C为圆心，为半径作弧，交射线于D； （2）以B为圆心，为半径作弧，交于E，作的垂直平分线，交于O，连接并延长至点D，使，连接即可； 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 作，得，再以C为圆心，为半径作弧，交射线于D； 则四边形是等腰梯形，不是平行四边形； 【小问2详解】 如图，四边形即为所求； 以B为圆心，为半径作弧，交于E，作的垂直平分线，交于O，连接并延长至点D，使，连接即可； 由作图可知， ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， 则四边形不是矩形． 27. 汽车转向． 家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： 前轮转动方向，后轮方向不变．当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； 为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； 如图，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； 当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． （1）在汽车转向时，前内轮转角________前外轮转角，前内轮的转动速度_________前外轮的转动速度；（均填写“”“”或“”） 已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向时前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是_________（用含，和的式子表示）． （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到） （参考数据：，，，．） （3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留下图所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由． 【答案】（1），；； （2）该汽车的最小转弯半径约为； （3）从右往左行驶，理由见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意得，，是的切线，则有，所以，，从而可得，，根据图形即可判断，再由前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间，根据“速度路程时间”即可求解； 由得，，在中，，所以，在中，，即，然后代入即可求解； （）由，求得，则，然后通过勾股定理即可求出该汽车的最小转弯半径； （）观察图形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，是的切线， ∴， ∴，，即，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵前内轮的转动距离小于前外轮的转动距离，前内轮的转动时间等于前外轮的转动时间， ∴根据“速度路程时间”可得前内轮的转动速度小于前外轮的转动速度， 故答案为：，； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴该汽车的最小转弯半径， ∴该汽车的最小转弯半径约为； 【小问3详解】 解：从右往左行驶，理由， 由转向时，同一侧前轮的转弯半径大于后轮，后轮轨迹始终位于前轮轨迹的内侧（更靠近转向中心）， 观察轨迹可知，沿从右向左的方向，符合“后轮始终在前轮后方，且后轮轨迹始终在内侧"的特征， 因此汽车从右向左行驶． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 截至2026年3月底，我国大模型调用量领跑全球，调用量达46900亿 ，用科学记数法表示46900是（ ） A. B. C. D. 2. 下列与5最接近的数是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 无论取何值，点不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 6的平方根是________，6的立方根是________． 8. 计算的结果是____________． 9. 已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 10. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 12. 一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 13. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 14. 甲纸条长为，乙纸条长为．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为的纸条，则________． 15. 将矩形纸片的一组对角按图中方式折叠，折痕为和，图中所示的重叠部分刚好是一个边长为的正方形，已知长为，则长为_______． 16. 实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）要使四边形为菱形，需要_________°． 20. 不透明口袋中有3个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从口袋中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为________； （2）从口袋中随机摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率． 21. 在射击游戏中，甲、乙分别进行了5次射击，成绩（单位：环）如下表所示． 甲 乙 （1）通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； （2）假设两人第6次射击成绩均为8环，与前5次成绩的方差相比，甲这6次成绩的方差________，乙这6次成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 22. 某工厂要生产A，B两种零件，已知生产1个A零件和2个B零件的成本为750元，3个A零件和5个B零件的成本为1950元． （1）求分别生产1个A零件、1个B零件的成本； （2）若要生产A，B两种零件共150个，且要求B零件个数不少于A零件个数的2倍，那么生产A种零件多少个时，可使生产成本最低？最低生产成本是多少？ 23. 已知是一个四位数，表示千位、百位、十位、个位上的数字分别是，，，，若可以被9整除，求证：这个数可以被9整除． 24. 如图，是半圆的直径，，弦，相交于点，平分． （1）若，求的长； （2）设长为，长为，求关于的表达式． 25. 已知抛物线（为常数，）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； （3）已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 26. 以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若，，则四边形是平行四边形； （2）若，，被平分，则四边形是矩形． 27. 汽车转向． 家用汽车转向时一般采用“前轮转向”方案，具体约束条件如下： 前轮转动方向，后轮方向不变．当方向盘保持一定角度时，汽车做圆周运动； 为了安全平稳地转向，所有车轮都绕同一个转向中心滚动； 如图，转向中心在后轮触地点连线的延长线上，与前轮触地点的连线始终垂直于该前轮的前进方向； 当前轮转角最大时，到前外轮触地点之间的距离称为车辆的最小转弯半径． （1）在汽车转向时，前内轮转角________前外轮转角，前内轮的转动速度_________前外轮的转动速度；（均填写“”“”或“”） 已知汽车轴距为，轮距为，若该汽车转向时前内轮转角为，则此时前外轮转角的正切值是_________（用含，和的式子表示）． （2）已知某汽车的轴距为，轮距为，前内轮转角最大为，求该汽车的最小转弯半径．（精确到） （参考数据：，，，．） （3）一辆汽车将车身左侧的前后轮涂上颜料，然后在广场上随意驾驶，在地面留下图所示的轨迹．汽车是从左向右行驶还是从右往左行驶？判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $