7.4.2超几何分布巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以超几何分布为核心，通过基础概念辨析、综合计算应用到实际情境建模的三层递进设计，实现知识从单一到综合的巩固路径，培养数学抽象、运算推理及数据模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|超几何分布基本概念及概率计算|单选题直接套用公式，考查概念辨析，如“任取5球恰有2红球”，夯实抽象能力| |综合理解|分布列、期望及与其他分布的辨析|多选题多选项判断（如二项分布对比）、填空题参数计算，培养推理能力，如“黑球个数概率最大”问题| |应用拓展|实际问题建模、分布列与期望综合应用|解答题结合生活情境（促销抽奖、图书识别），提升数据观念和应用意识，如“有放回与不放回抽样误差比较”|

7.4.2超几何分布巩固练习 一、单选题 1．设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A． B． C． D． 3．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 4．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 7．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个。现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，求一等品不少于3个的概率（   ） A． B． C． D． 8．高二（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 11.一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本. 用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 三、填空题 12．某班由8人组成的课外学习小组，其中男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 13．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 14．甲和乙两个箱子中各装有10个球（除颜色外质地、大小、形状均相同），其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则从乙箱中摸出红球的概率为__________；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为__________. 四、解答题 15．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖。盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个。顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品。 (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望。 16．某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人。现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书。两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试。 (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望。 17．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇。试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率； (3)若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 18．为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量检测数学成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数； (2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望. 19．一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从袋子中一次摸出的2个球都是红球的概率为。 (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为。 （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超 过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2超几何分布巩固练习 一、单选题 1．设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布概率计算公式求解即可. 【详解】从袋中任取5个球，共有种取法，其中恰有2个红球的取法为， 所以从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为. 故选：A. 2．一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：，. 故选：D. 3．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 4．在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 故选：A. 5．一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 故选：B. 6．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 故选：C. 7．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个。现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，求一等品不少于3个的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】一等品的个数为随机变量的可能值为，则， 所以，，， 所以. 故选：B 8．高二（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 二、多选题 9．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的分布列，再结合期望的定义逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，， ，，故A，B正确，C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 10．袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 【答案】BD 【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误； 选项，， ，，因此，故正确。 选项，超几何分布期望公式，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质，故错误； 选项，取出个球，因此（为白球个数）， .故D正确。 故选：BD . 11.一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本. 用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】ABC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于A，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸3次，，则根据期望公式可得，故A正确； 对于B，不放回的摸球，则且服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望公式可得， ; ;. ,故B正确； 对于C，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式，故正确； 对于D，根据条件概率公式表示的最大编号是5， 剩余的2个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率，则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是5的概率， 则，则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．某班由8人组成的课外学习小组，其中男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 【答案】 【分析】根据题意可知，从8人中抽出4人作为代表，求出其中男生代表为3人的概率，可用超几何分布的概率公式计算. 【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中， 将数值代入可得：. 故答案为：. 13．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 【答案】3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. 14．甲和乙两个箱子中各装有10个球（除颜色外质地、大小、形状均相同），其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则从乙箱中摸出红球的概率为___ _；若从甲箱中随机摸出3个球，用表示摸出红球的个数，则随机变量的数学期望为____ __. 【答案】 【分析】先用全概率公式求摸到红球的概率，再用超几何分布的期望公式求随机变量的数学期望即可. 【详解】①方法1：“从乙箱中摸出一个红球”记为C.从甲箱摸出一个球可能是红球也可能是白球， 则 ; 方法2：“从甲箱中摸出一个红球”记为A,“从甲箱中摸出一个白球”记为B;“从乙箱中摸出一个红球”记为C.则： . ②服从超几何分布（超几何分布的期望公式为 ，其中 是抽取数， 是总体红球数， 是总体球数），所以：. 故答案：；. 四、解答题 15．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖。盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品。 (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）方法1：设一位顾客抽到红球的个数为X,则；当时，顾客获得纪念品． ，，． 方法2：“一位顾客获得纪念品”记作A,其对立事件是“一位顾客没有获得纪念品”。 则 . （2）由已知及（1）可得：，则． 所以Y的分布列为： . 16．某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人。现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书。两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试。 (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以。 17．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇。试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率； (3)若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 【分析】（1）根据超几何分布求出分布列； （2）由分布列和概率的加法公式计算； （3）根据条件概率的公式计算. 【详解】（1）用表示抽到他能背诵的课文的数量，则的可能取值有， 则，，，， 则的分布列为： （2）至少要背出其中2篇才能及格， 则他能及格的概率为； （3）用表示他能及格，表示他获得小红花， 则， 故若他能及格，那他获得小红花的概率是 。 18．为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量检测数学成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数； (2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望. 【分析】（1）据频率分布直方图中矩形面积之和为1可求得，再由百分位数的定义计算可得结果； （2）根据分层抽样求出相应区间的人数，再计算出相应概率可得出分布列和期望. 【详解】（1）由题意得，解得. 因为， ， 所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为， 则，解得. 故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75. （2）因为两组数据的频率之比为， 所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2. 由题意知的所有可能取值为1，2，3， ，，； 所以的分布列为 1 2 3 所以。 19．一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从袋子中一次摸出的2个球都是红球的概率为。 (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为。 （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超 过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【分析】（1）结合古典概型概率公式与组合数运算构造关于的方程，求解得到的值. （2）（i）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （ii）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【详解】（1）∵ 袋子中共有个球，一次摸出2个球的总情况数为，摸出2个红球的情况数为. 由古典概型概率公式得.代入，，得， 整理得， 即，解得或. 又，故. （2） （i）由（1）得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的 概率为， 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （ii）总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于， 解不等式得，又为整数，故。 ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $