7.4.2 超几何分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

7.4.2　超几何分布 基础过关练 题组一　超几何分布及其概率计算 1.(2024山东潍坊临朐一中开学考试)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10,现从中任取4个球,下列变量X服从超几何分布的是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 2.(2025湖北荆州中学月考)有10件产品,其中3件是次品,从中不放回地任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)=(　　) A.　　　　D.1 3.(2025浙江台州期末)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从中一次性随机摸出3个球,用X表示这3个球中白球的个数,则下列概率中等于的是(　　) A.P(X=1)　　　　B.P(X≤1) C.P(X≥1)　　　　D.P(X=3) 4.(2025河南郑州期末)一个袋中装有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取4个球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,则小明得分大于6分的概率是(　　) A. 5.(2025上海七宝中学月考)已知在12件产品中可能存在次品,从中抽取2件检测,设次品数为ξ.若P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这12件产品的次品率为　　　　.  6.(2025河南驻马店高级中学月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类得到的数据如下: 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 (1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率(结果用分数表示); (2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,若X表示抽到的精品果的个数,求X的分布列. 题组二　超几何分布的期望与方差 7.(2025河南驻马店高级中学月考)盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个数.给出下列各项: ①E(X)=. 其中正确的是　　　　.(填上所有正确项的序号)  8.(2025河北邢台卓越联盟月考)为了解甲、乙两个农场某种水果的品质,某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果,并将这500个水果分为大果和小果两种品级,其中来自甲农场的该种水果数量为200,来自甲、乙农场的大果数量均为80.抽取的该批水果中色泽红润、果实饱满的水果作为精品果售出,剩余水果作为普通果售出.已知精品果中大果的占比为,普通果中大果与小果的数量之比为1∶4,精品果利润为10元/个,普通果利润为5元/个.现从这500个水果中随机抽取4个,设这4个水果中精品果的个数为X,这4个水果的总利润为Y元,则E(X)=　　　　,E(Y)=　　　　.  9.(2025广东中山杨仙逸中学一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望; (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大. 10.(2025山东省实验中学期中)已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球,其中甲袋内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;乙袋内装有两个1号球,一个3号球;丙袋内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个球,记随机变量X为1号球的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)现按照如下规则摸球:连续摸球两次,第一次从甲袋中随机摸出1个球,若摸出的是1号球放入甲袋,摸出的是2号球放入乙袋,摸出的是3号球放入丙袋;第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 能力提升练 题组　超几何分布的应用 1.(2025山东烟台期中)一个不透明的袋子中装有除颜色外,大小、质地完全相同的5个黑球,n个白球(n∈N*),已知一次从中任取3个球,取出的球是2个黑球,1个白球的概率为.现一次从中任取4个球,若取出一个黑球得1分,取出一个白球得2分,设随机变量X为取出4个球的总得分,则P(|X-7|≤1)=(　　) A. 2.(2024陕西咸阳实验中学月考)有40件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽18件产品,最可能抽到的次品数是　　　　.  3.(2025福建莆田第八中学月考)为了解决某地区教师资源匮乏的问题,某市教育局拟从甲、乙等5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分为三批次,每批次支教需要同时派送2名教师,且每批次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中,2人有支教经验,3人没有支教经验. (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率; (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数X的分布列; (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少?请说明理由. 4.(2024山东滨州期中)某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费超过400元(含400元)的顾客均可抽奖一次,抽奖箱里有6个除颜色外完全相同的小球(其中红球有3个,白球有3个),抽奖方案有两种,顾客可自行选择其中的一种方案. 方案一:从抽奖箱中一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折;若摸出1个红球,则打8折;若没有摸出红球,则不打折. 方案二:从抽奖箱中有放回地每次摸取1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元. (1)若小方、小红各消费了400元,且均选择方案一,试求他们中有一人享受6折优惠的概率; (2)若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算. 5.(创新题·新考法)(2025湖南永州期末)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立. (1)求X1的分布列; (2)记随机变量Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj). (i)证明:E(D(X1); (ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值=30,方差s2=1.采用和s2分别代替E()和D(),给出M,N的估计值. 已知随机变量x服从超几何分布记为:x~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(x)=n· 6.(2024福建德化一中月考)随着网络的快速发展,电子商务成为新的经济增长点,市场竞争也日趋激烈,除了产品品质外,客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力,衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率,是指咨询该客服的顾客中成交人数占比,可以看成一位顾客咨询该客服后成交的概率.已知某网店共有10位客服,按询单转化率分为A,B两个等级如表所示: 等级 A B 询单转化率 [70%,90%) [50%,70%) 人数 6 4 视A,B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值,完成下列两个问题的解答: (1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训,设抽取的A等级客服的人数为X,求随机变量X的分布列,并求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率; (2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人,为保证服务质量,每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人,在网店的前期经营中,进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待,为了提升店铺成交量,网店实施改革,经系统调整,进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a,被任一位B等级客服接待的概率为b,若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300,则a应该控制在什么范围内? 答案与分层梯度式解析 7.4.2　超几何分布 基础过关练 1.D 2.C 3.C 4.A 1.D　从10个球中任取4个球,是不放回抽样,满足超几何分布的试验,但对于随机变量的取值,只有选项D是其中一类元素(黑球)的个数,符合超几何分布的定义,选项A,B,C中随机变量的取值均不符合超几何分布的定义,因此选项A,B,C错误. 2.C　由题意知X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布, 则P(X=0)=, 所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=. 3.C　由题意得,表示从这10个球中随机摸出3个球,表示从6个红球中摸出3个球, 则表示从这10个球中随机摸出3个球,至少有1个白球的摸法种数,所以=P(X≥1). 4.A　记小明的得分为X分,则X的可能取值为5,6,7,8, 且P(X=7)=, 所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=. 5.答案　25% 解析　设这12件产品中的次品数为x,则P(ξ=1)=,且×100%≤40%,解得x=3,故这12件产品的次品率为×100%=25%. 6.解析　(1)设事件A为“从这100个水果中随机抽取1个,其为礼品果”,则P(A)=, 现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Y,则Y~B, ∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P(Y=2)=. (2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个, 再从中随机抽取3个,则精品果的个数X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=2)=. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 7.答案　①②④ 解析　由题意可知X服从超几何分布,η也服从超几何分布, ∴E(X)=. 易得X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X2)=02×, D(X)=E(X2)-(E(X))2=. η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)=12×, D(η)=E(η2)-(E(η))2=. 综上所述,①②④正确. 8.答案　;28 解析　设抽取的该批水果中精品果的数量为x,则普通果的数量为500-x, 由题意得=80+80,解得x=200, 易知X服从超几何分布,且N=500,M=200,n=4,所以E(X)=,则E(Y)=×5=28. 9.解析　(1)设甲正确完成的面试题数为X,则X的可能取值为1,2,3, P(X=1)=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 故E(X)=1×=2. 设乙正确完成的面试题数为Y,则Y~B, P(Y=0)=, P(Y=1)=, P(Y=2)=, P(Y=3)=, 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E(Y)=3×=2. (2)由(1)得D(X)=, D(Y)=3×, 因为D(X)<D(Y),所以甲的成绩更稳定,所以甲面试通过的可能性大. 10.解析　(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=, 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×=1. (2)记第一次从甲袋中随机摸出1个球,摸出的是1,2,3号球分别为事件A1,A2,A3, 第二次摸到的是3号球为事件B, 则P(A1)=, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=. 能力提升练 1.B　由题意得球的总数为5+n,取3个球有种可能情况,取2黑1白有种可能情况,所以,所以280n=15×, 化简得n3+12n2-65n+60=0, 即(n-3)(n2+15n-20)=0, 故n=3或n=, 又n∈N*,所以n=3. 设从袋子中取出k个黑球,则取出的白球个数为4-k,所以X=k+2(4-k)=8-k, 由|X-7|≤1,得6≤X≤8,即6≤8-k≤8,所以0≤k≤2, 故k的可能取值为0,1,2, 当k=0时,4-k=4,不合题意, 当k=1时,即取出1个黑球和3个白球,则有=5种可能情况, 当k=2时,即取出2个黑球和2个白球,则有=30种可能情况, 所以P(|X-7|≤1)=. 2.答案　4 解析　由题意知抽到的次品数服从超几何分布, 假设抽到次品数为n的概率最大, 则有解得≤n≤, 又n∈N,所以n=4. 即最可能抽到的次品数是4. 3.解析　(1)由题意得甲每批次被抽到的概率为, 则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率P=. (2)X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=, P(X=2)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数,则ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)=···, P(ξ=1)=···, P(ξ=2)=···0=. 因为P(ξ=1)>P(ξ=0)>P(ξ=2),所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1. 4.解析　(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)=,∴小方、小红两人中有一人享受6折优惠的概率P=. (2)若小勇选择方案一,设付款金额为X元,则X的可能取值为360,480,600, 则P(X=360)=, P(X=600)=, ∴E(X)=360×=480. 若小勇选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z元,则Z=600-100Y. 由已知可得Y~B,故E(Y)=2×=1, ∴E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100=500. ∵E(X)<E(Z),∴小勇选择方案一更划算. 5.解析　(1)依题意,Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,且M,N均大于100, 故X1的分布列为P(X1=k)=(k∈N,0≤k≤100). (2)(i)证明:Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,故E(Xi)=E(X1), E(EXi=×20E(X1)=E(X1), D(DXi=D(X1), 故E(D(X1). (ii)E(. 利用公式D(x)=n·计算X1的方差, 则D(X1)=, 所以D(. 依题意有 解得M=624,N=1 456, 所以可以估计M=624,N=1 456. 6.解析　(1)依题意,A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X服从超几何分布, 则P(X=0)=, P(X=2)=, P(X=4)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 当X=0时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,60%,其中位数为60%; 当X=1时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,80%,其中位数为60%; 当X=2时,4人的询单转化率分别为60%,60%,80%,80%,其中位数为70%; 当X=3时,4人的询单转化率分别为60%,80%,80%,80%,其中位数为80%; 当X=4时,4人的询单转化率分别为80%,80%,80%,80%,其中位数为80%. 所以当X≥2时,这4人的询单转化率的中位数不低于70%, 所以所求概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-. (2)设改革前、后A等级客服接待顾客的人数分别为Y,Z,则改革前每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P1=,所以Y~B, 则E(Y)=10 000×=6 000. 因为A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%, 所以改革前日均成交人数为6 000×80%+(10 000-6 000)×60%=7 200. 改革后,每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P2=6a,所以Z~B(10 000,6a), 则E(Z)=10 000×6a=60 000a, 故改革后日均成交人数为60 000a×80%+(10 000-60 000a)×60%=12 000a+6 000. 令12 000a+6 000≥7 200+300,解得a≥.① 由题意可得,6a+4b=1,所以b=. 因为每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人, 所以解得② 由①②,得≤a≤, 所以a应该控制在内. 21 学科网（北京）股份有限公司 $