7.4.2 超几何分布-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

第七章随机变量及其分布 7.4.2超几何分布 【素养要求】通过本节课的学习，发展数学运算及数据分析素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.超几何分布的概念 :2.一袋中装5个球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次： 取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码， 品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X: 则随机变量ξ的分布列为 () 表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列 为P(X=)=C当C,k=m,m+1m十2， 2 3 CN r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n- 3 3 3 N十M,r=min{n,M.如果随机变量X的分布列 具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何： 2 3 分布. B 2.超几何分布的均值 10 5 10 5 若随机变量X服从超几何分布，则E(X)= [即学即练] 2 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 3 3 1 ( 5 10 10 A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放： 回地任意取出4件，记取到的次品数为X 2 3 B.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台， D 1 3 3 记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 10 10 5 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，3.某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语， 记此学生遇到红灯的个数为随机变量X 现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日 D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活： 动，其中男生人数记为X 语的概率为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一超几何分布的概念 /方法技巧/ [典例]30件产品中，有15件一等品，10件二等 “超几何分布”模型的识别、判断 品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从 “超几何分布”是常见的概率模型，广泛地取材 超几何分布的是 ( 于现实生活、生产实践中的问题，如产品中的合 A.抽取的5件产品中的一等品数 格品与不合格品、盒中的红球与黑球、学生中的 B.抽取的5件产品中的二等品数 男生与女生等等.应用“超几何分布”模型求概 C.抽取的5件产品中的三等品数 率，关键在于这种模型的识别与判断.具体来 D.30件产品中的三等品数 说，这类问题的特点为 听课记录 (1)总体中含有两类不同的个体； (2)不放回抽取，且无先后顺序； (3)随机变量是指从总体中所抽取的n个个体 中某一类个体的数量. 45 数学选择性必修第三册 对点训练 对点训练 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表： 现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2 示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X: 服从超几何分布，其参数为 ( 名都是甲班的概率为宁 A.N=15,M=7,n=10 ①求7名学生中甲班的学生数； B.N=15,M=10,n=7 ②设所选2名学生中甲班的学生数为，求≥1 C.N=22,M=10,n=7 的概率， D.N=22,M=7,n=10 题点二超几何分布 [典例]某市A,B两所中学的学生组队参加辩论 赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推 荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起 参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集 训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人： 组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽 题点三超几何分布的综合运用 取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的：[典例]树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚 分布列. 持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心， 听课记录 现己形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循 环.据此，某网站开展了关于生态文明建设进展 情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问 题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注 此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设 的调查者中随机选出200人，并将这200人按年 龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组 [35,45),第4组[45,55)，第5组[55,65].由调 查数据得到的频率分布直方图如图所示， 频率 组距 0.030 0.015 0.010 o 152535455565年龄/岁 (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该 /方法技巧/ 组区间的中点值作代表)和中位数（精确到小数 解决超几何分布问题的关键点 点后一位)； (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要 (2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样 注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时： 的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进 可以直接利用公式求解； 行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (2)超几何分布中，只要知道M,N,n就可以利： (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选 用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而 出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数 求出X的分布列. 为X,求X的分布列. 46 第七章随机变量及其分布 听课记录 对点训练 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在 这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学 院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希 望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性 相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的 概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求 随机变量X的分布列及期望， :…/方法技巧/ 频率分布直方图与概率分布的知识综合考查的 解题关键 (1)能够利用频率分布直方图确定m位于不同 区间时所对应的概率； (2)结合分层抽样的知识，将问题转化为服从于 超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的 求解 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物：3.(2021·浙江高考)袋中有4个红球，m个黄球，n 自然美的一种造型艺术，是最优美的空间造型艺 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 术之一.为了通过插花艺术激发学生对美的追： 台若取出的两个球都是红球的概率为了，一红一 求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识，某 高校举办了校园插花比赛.现从参加比赛的甲组 黄的概率为行，则m一n= ,E()= 的3个作品和乙组的2个作品中随机选出2个 作品请专业的老师进行点评，记取出的2个作品4，生产方提供一批50箱的产品，其中有？箱不合 中甲组作品的个数为，则 ( ) 格品，采购方接收该批产品的标准是从该批产品 A.E-9 B.E(E)=12 中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格 品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率 C.D(9)= 9 D.D(= 3 是 2.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少5.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球， 于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的： 已知取到白球个数的均值为氵，则口袋中白球的 概率是)，则语文课本共有 ( 个数为 A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 :温馨提示 请做课时分层检测（十六） 47对点训练 7.4.2超几何分布 解(1)方法一 由B(5号）得 必备知识·自主梳理 P(=k)=Cx )×(号) ,k=0,1,2,3,4,5. 2兴 即P=0)=c×()广×（号）】 32 :即学即练 -2431 :1.ABD[依据超几何分布模型定义可知，A,B,D中随机变量X服从 P(=1)=CX ()器 超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变 量X不服从超几何分布，] P(=2)=CX ()×(号) 80 :2.C[随机变量的可能值为12,3，P(G=1)=C=3 C5,P(=2)= P(=3)=C (兮)×（传） P(=4)=C () 10 C 0P(3)= C10· 2431 P(=5)=C× () 1 [有2人会说日语的概率为C -243· 故专的分布列为 关键能力·合作探究 题点一 0 1 3 5 !典例解析选项A,B,C中的产品数都是变量，且满足超几何分布 P 器 ” 器 架 的形式和特点，而选项D中的三等品数是常数，不是变量.故选D. 243 答案D 32 80 器+×+4×端+5X 80 .E()=0X 十1X0+2 10 !对点训练 3 A[由超几何分布的概念可知A正确.] 方法二 ·题点二 (2)n的分布列为P(n=k)=P(前k个是绿灯，第k十1个是红灯)= 典例解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人， (号)× 代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表 ,k=0,1,2,3,4, 队)的概率为SC 1 CC8100 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概亲为1一1000 199 2 1 2 P(7=1)=3X3= 9 (2)根据题意，知X的所有可能取值为1,2,3. P(7=2) (号)× 4 27 P(X=1)= P(=3)= (号)×寸 8 C%51 P(X=2)= P(7=4)= (号)× 2431 (号) =32 P(X=3)= P(7=5) 243 故”的分布列为 所以X的分布列为 0 3 5 3 1 2 16 32 27 81 243 243 5 (3)所求概率为P(≥1)=1-P(=0) 对点训练 =1 2 211 解①设甲班的学生人数为M, 3 243 素养演练·提升技能 MMD-7 C 42 1,B[每次耥到奇数的概率都相等，为号，故恰好有2次抽到奇数的 即MP-M-6=0,解得M=3或M=-2(舍去). ,7名学生中甲班的学生共有3人 概率是c(号)（号）J ②由题意可知，：服从超几何分布 2.1 5 .P(ξ≥1)=P(=1)+P(=2) [由题意，将从顶点到出口3的路线图单独画出来 如图所示，可得从顶点到出口3总共有C号=10种走法，其 C号 中每一岔口每一种走法的概率都是子，问题相当于在5 题点三 典例解(1)由10×(0.010十0.015十a十0.030十0.010)=1，得a= 次独立重复试验中发生2次的概率，所以所求概率P= 0.035,平均数为20×0.1+30×0.15十40×0.35十50×0.3+60× c×(合)×(）音] 0.1=41.5. 3.D[设4道题目中小明能独立解决的题数为X,则X~B(4,号) 设中位数为x,则10×0.010+10×0.015十(x-35)×0.035=0.5, .x42.1. 所以px=2=·(号)·(-子)'-品] (2)由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2,3. 4.D[由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率P=2 设第2组中拾好抽取2人的事件为A,则P(A)=CC=3 C 51 (空)=子，求一卦中格有两个变支的概率实际为求6次独立重 (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保 复试验中发生2次的概率，所以P=C×(子)）×（子） 护问题的概率为子， 器故选D] 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， 5.0.0486[P=C号×0.12×(1-0.1)2=0.0486.] Px=0m=c(-号）广'=5 169 Px=)-c()广(-号)广-贵 15.3[设口袋中有白球x个，取出的2个球中所含白球个数为，则 服从超几何分布，由超几何分有的均值公式得，正()=号=号，解 P(X=2) c(侍)广(-)器 得x=3.] 64 7.5正态分布 .X的分布列为 必备知识·自主梳理 !2.(1)正态密度函数正态密度曲线(2)N(,σ2).标准正态分布 0 1 2 3 3.(1)上方不相交(2)x=4(3)x=4(4)增大4.0.6827 1 12 48 64 :0.95450.99735.[4-3o,4+3o] 125 125 125 125 :即学即练 对点训练 :1,A[本题考查4,0的意义以及它们在正态曲线中的作用.由正态曲线 解(1)设A=“选出的3名同学是来自互不相同的学院”， 的性质知，曲线的形状由参数σ确定，口越大，曲线越“矮胖”：越小，曲 则PA)=CC+CC_49 线越“瘦高”，且。是标准差，故选A.] Clo 01 2.D[因为正态密度函数f2(x)和f(x)的图象关于同一条直线对 所以选出的3名网学是来自互不相网的学院的耗率为品 称，所以=.又f2(x)的图象的对称轴在f1(x)的图象的对称轴 的右边，所以<g=4因为。越大，曲线慧“矮胖”，G越小，曲线 (2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N=10,M=4, 越“瘦高”，由图象，可知正态密度函数f1(x)和f2(x的图象一样 n=3,且随机变量X的可能值为0,1,2,3， “瘦高”，f3(x)的图象明显“楼胖”，所以o1=02<03.] P(X-k)= C !3.C[P(0≤X1)=P(1≤X2)=0.5-P(X>2)=0.35.] 一(k=0,1,2,3), 关键能力·合作探究 题点一 .P(X=0) C。6 典例(1)解析根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直 线x=红对称，在x=4处取得最大值的连续曲线；当以一定时，。趣 P(X=1)= CIC 1 Cio 2 大，曲线的最高点越低且较平缓，反过来，口越小，曲线的最高点越高 且较陡峭.故选A P(X=2)= CCh 3 C6101 答案A (2)解由图可知以=72,6=10，故正态分布密度函教为9.。(x) P(X=3) C_1 C30· 1 (.x-72) -,x∈(-∞，十∞).则P(|X-72|<20) 200 所以随机变量X的分布列是 10√2元 P(|X-a<2G)=P(4-2aX<a十2a)=P(u-2o<X≤4十2a) X 0 1 2 3 P(X=4+2o)=0.9545-0=0.9545. 1 3 对点训练 1 6 2 10 30 :1,ABD[只有C错误，因为当以一定时，曲线的形状由o确定，0越 小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；想大，曲线越“矮胖”，总体分 所以随机变量X的期望值为E(X)=0X 1 3 6+1×2+2×0+3× 布越分散.] 0=1.2(减E(X0=84-1.2). 1 !2.ABC[由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线 10 x=0.8对称，所以4=0.4，=0.8，<2，故A,C正确；因为甲 素养演练·提升技能 图象比乙图象更“坡高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更 集中于平均值左右，故B正确：因为乙图象的最大值为1.99，即 1.AC[由题意知，的所有可能取值为0,1,2，且P(=0) C 1 =1.99,2≠1.99，故D错误.] √/2π·o 0P=8-品-号=2得-高*以E-题 典例解(I)由题意，随机变量X~N(2,9),且P(X>c十1)=P(X 0x六+1×号+2×品=号，D)=(0号)×六十 C一1)，由正态分布的对称性可知，十1十1=c=2,故c的值为2. 2 （-9)×是+（号）×品-品] (2)由于X-N(2,9),因此4=2,0=3， 2.C[设语文课本有n本，则数学课本有7-n本(n≥2).则2本都是 P(-4≤X≤8)=P(2-2X3≤X≤2+2×3)=P(u-26≤X≤u十 语文深本的机率为心-号，由组合教公式得一日一12=0，解对点训练 2o)≈0.9545，故P(-4≤X8)≈0.9545. C号 得n=4.] ,1.C[由已知可得曲线关于直线x=1对称，P(2)=0.6,所以 P(≥2)=P(0)=0.4,故P(0<2)=1-0.4-0.4=0.2.] 3.18 6 9 [由题意得P(=2) C+n+Cn+十1 =6,所以C+1=2.B[:P(g<2)=0,2,P(2<<6)=0.6,P(>6)=1-0.2 0.6=0.2,即P(<2)=P(>6),4=25=4.J 36.所以m十十4=9.因为P(一红一黄)==369=3，所！四 2 !题点三 以m=3,所以n=2,所以mnL.所以P(=2)=6,P(1)典例解)5601.71心20.41十117.72三0.25， 100 C尝-吾，p=0得-最米以8=日×2+ (2)该鱼塘鱼质量满足X~N(,0),其中以=1.71，g2=0.25,即 C ×1+×0=号+-] X-N1.71,0.25),则P4-g≤X≤)=06827，P(4≤X≤4+ 2 2器[一批50箱的产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱产品 3)=0.9973 4 243 2 .P(1.21≤X≤3.21)=P(u-≤X≤u+3a)=P(-o≤X≤u)+ 中不合格品的箱数”，则X服从参数为N=50,M=2,n=5的超几 何分布，这批产品被接收的条件是“5箱中没有不合格品或只有1箱 P(4<X≤4十3o)=0,68270.9973=0.84. 2 不合格品”，所以被接收的概率为P(X≤1)=P(X=0)十P(X=1): (3)由(2)可得鱼的质量在[1.21,3.21]的概率为0.84， 0- 由题意可知B(1000,0.84),由二项分布的数学期望公式可得， 的数学期望为E()=1000×0.84=840. 170