精品解析：陕西榆林市横山区2025-2026学年第二学期期中素质测评九年级数学

2026年初中学业水平考试适应性训练数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全巻共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. －4 C. D. 4 2. 化学符号起源于古埃及冶金工艺的保密需求．以下是炼金术中的化学符号，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点在直线上，在上方作射线，在下方作．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，已知直线（为常数）经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. 9 B. C. 1 D. 4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____3．（填“”“”或“”） 10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 11. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日．某社区计划开展为期两天的宣传日活动，并在活动日向居民发放宣传手册，已知第一天和第二天一共发放了手册总数的少5本，最后还剩下85本手册没有发完，则该社区一共准备了_____本宣传手册． 12. 矩形和矩形的位置如图所示，点分别在边上，且点是的中点，连接交于点．若，则的长为_____． 13. 已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是_____． 14. 如图，在正方形中，，点在边上，，连接，点，在线段上运动（点在点上侧），且，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，点在边上，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与互补．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______． 20. 七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． （1）事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 21. 三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 22. 如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． 23. 为激励青少年争做党的事业接班人，某校举办了以“红心永向党”为主题的红色诗文诵读演讲比赛，比赛分为初赛和决赛．初赛结束后，该校为了解学生的演讲比赛的成绩，从所有参加比赛的学生中随机抽取了20名学生的初赛成绩（百分制，成绩记为，所有学生的成绩均不低于60分）进行整理和分析，并将所得的数据按照分成四组，得到如下不完整的频数分布直方图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生初赛成绩的中位数位于_____组； （2）若将图中各组的组中值（如A组的组中值为65）视为该组的平均成绩，求所抽取学生初赛的平均成绩； （3）若该校共有400名学生参加了初赛，且只有成绩在90分及90分以上的学生可以进入决赛，估计这400名学生中能进入决赛的学生人数． 24. 如图，是的直径，内接于，连接、，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）与交于点，若，求的长． 25. 秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构．为后来拱桥的出现创造了先决条件．某大桥的桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度为12米，桥拱最高点到水面的距离为4米，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，抛物线是抛物线在水中的倒影（即抛物线与抛物线关于轴对称）． （1）分别求抛物线与抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且点到轴的距离为3米，求点与其在水中的倒影之间的距离． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； （2）如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性训练数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全巻共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. －4 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质计算即可. 【详解】解：. 2. 化学符号起源于古埃及冶金工艺的保密需求．以下是炼金术中的化学符号，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 3. 如图，点在直线上，在上方作射线，在下方作．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用同底数幂乘法法则，平方差公式，单项式乘多项式法则，合并同类项规则，逐一判断选项即可． 【详解】解：、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， 故计算错误； 、将原式变形为，根据平方差公式可得， 故计算正确； 、根据单项式乘多项式的运算法则可得 ， 故计算错误； 、与不是同类项，不能合并，因此， 故计算错误． 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴等腰三角形有、两个． 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，已知直线（为常数）经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点A的坐标，再将点A坐标代入直线解析式求解b的值． 【详解】解：∵ 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，点与点关于轴对称， ∴ 点的坐标为， ∵ 直线经过点， ∴ 将代入解析式得，， 解得 ． 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合等边对等角以及三角形内角和算出，再运用圆内接四边形，对角互补得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 8. 已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. 9 B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵ ，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为 ， 当时，二次函数取得最小值，最小值为 ， ∴ ， 故选：D ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____3．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，利用平方法比较无理数的大小即可求解． 【详解】解：，， 又， ． 10. 一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，即可计算得到正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， 因此该正多边形的边数为：． 11. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日．某社区计划开展为期两天的宣传日活动，并在活动日向居民发放宣传手册，已知第一天和第二天一共发放了手册总数的少5本，最后还剩下85本手册没有发完，则该社区一共准备了_____本宣传手册． 【答案】320 【解析】 【分析】设该社区准备的宣传手册总数为未知数，根据总手册数，已发放手册数，剩余手册数的等量关系，建立一元一次方程求解． 【详解】解：设该社区一共准备了本宣传手册， 根据题意，得， 解得 故该社区一共准备了本宣传手册． 12. 矩形和矩形的位置如图所示，点分别在边上，且点是的中点，连接交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以点B为原点建立直角坐标系，得到，求出直线的解析式为，直线的解析式为，由此求出点O的坐标，根据两点间距离公式求出的长. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， ∵四边形和都是矩形，， ∴ ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； 解方程组，得， ∴， ∴ 13. 已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象性质，中心对称的性质，先求出已知交点的坐标，再根据交点关于原点中心对称的性质求解即可． 【详解】解：因为交点在反比例函数的图象上， 所以将代入，得 ， 即已知交点坐标为． 因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 所以两个函数的交点关于原点中心对称． 关于原点中心对称的点，横纵坐标分别互为相反数，因此另一个交点坐标为． 14. 如图，在正方形中，，点在边上，，连接，点，在线段上运动（点在点上侧），且，连接、，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，作于点，连接，由正方形的性质容易证明，则．容易判断是等腰直角三角形，则，进而证明四边形是平行四边形，进而得到．因此，当、、三点共线时，取得最小值．计算出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，解得， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算除法，立方根，负整数指数幂，再化简绝对值，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则及因式分解的方法． 先对括号内的分式进行通分相加；再对分式的分子、分母因式分解，进行约分，将原式化为最简分式；最后将代入最简分式中计算结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 如图，在中，点在边上，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与互补．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合题意，在点D处作，得出，结合两直线平行，同旁内角互补，得出与互补，即可作答． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 19. 如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______． 【答案】，见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】理解题意，结合得，再根据以及全等三角形的判定方法进行添加条件，即可作答． 【详解】解：添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 或当添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 或当添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 20. 七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． （1）事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）必然事件一定会发生，随机事件有可能发生，不可能事件一定不会发生； （2）正方形④和一块平行四边形⑥是四边形，找出所有符合条件的情况加起来即可得到所求概率． 【小问1详解】 解：因为四个不透明盒子中没有③号板，所以事件“小平选取的盒子中装有③号板”为不可能事件； 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的结果有种， （小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形）． 21. 三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 22. 如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分的长度（单位：）与双层部分的长度（单位：）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为时，单层部分的长度为；双层部分的长度为时，单层部分的长度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到时最舒服，请计算此时单层部分的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，再运用待定系数法求解与之间的函数关系式，即可作答． （2）理解题意，直接将代入中，求出，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设与之间的函数关系式为， 将、代入中， 得 解得 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得 由题意知：， 将代入中，得， 此时单层部分的长度为． 23. 为激励青少年争做党的事业接班人，某校举办了以“红心永向党”为主题的红色诗文诵读演讲比赛，比赛分为初赛和决赛．初赛结束后，该校为了解学生的演讲比赛的成绩，从所有参加比赛的学生中随机抽取了20名学生的初赛成绩（百分制，成绩记为，所有学生的成绩均不低于60分）进行整理和分析，并将所得的数据按照分成四组，得到如下不完整的频数分布直方图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生初赛成绩的中位数位于_____组； （2）若将图中各组的组中值（如A组的组中值为65）视为该组的平均成绩，求所抽取学生初赛的平均成绩； （3）若该校共有400名学生参加了初赛，且只有成绩在90分及90分以上的学生可以进入决赛，估计这400名学生中能进入决赛的学生人数． 【答案】（1）见解析， （2）81.5分 （3）80名 【解析】 【分析】（1）由题意知，C组人数为（人），然后补全统计图即可；根据中位数为第位数的平均数，求解作答即可； （2）根据组中值、平均数公式，计算求解即可； （3）根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：C组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： A，B两组人数和为，A，B，C组人数和为， 排序后，中位数为第个数据的平均数， ∴所抽取学生初赛成绩的中位数位于组． 【小问2详解】 （分）， 所抽取学生初赛的平均成绩为81.5分． 【小问3详解】 （名）， 估计这400名学生中能进入决赛的学生有80名． 24. 如图，是的直径，内接于，连接、，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）与交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆周角定理得，又因为 ，得，则，根据切线的性质得，即可作答． （2）根据垂径定理得，运用勾股定理得，再证明，最后把数值代入计算，即可作答． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 是的半径， ， 是的切线， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得 是的直径， ， ， ， ， ， 即， ． 25. 秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构．为后来拱桥的出现创造了先决条件．某大桥的桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度为12米，桥拱最高点到水面的距离为4米，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，抛物线是抛物线在水中的倒影（即抛物线与抛物线关于轴对称）． （1）分别求抛物线与抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且点到轴的距离为3米，求点与其在水中的倒影之间的距离． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为． （2）6米 【解析】 【分析】（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设顶点式解析式求出抛物线的顶点坐标为的解析式，根据对称性得到抛物线的函数表达式； （2）将代入抛物线的解析式求出点的纵坐标，根据对称性即可求出求解 【小问1详解】 解：由题意知：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为（或）， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 点在抛物线上，且点到轴的距离为3米， 将代入中，得 ， 点是点在水中的倒影， 点与其在水中的倒影之间的距离为6米． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； （2）如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【答案】（1）14 （2）存在，的最小值为 （3）米 【解析】 【分析】（1）由线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点作于点，连接，利用三角形内角和定理以及圆周角定理可得；设的半径为，则，易得，进而得到，即，从而确定的最小值； （3）如图，过点作于点，易得，进而得到，如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得，易得的周长，即当最小时，的周长最小；如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，由易得，即；设的半径为，求得，再求得r的最小值即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，即的周长为14． 【小问2详解】 解：存在，的最小值为（或），理由如下： 如图，过点作于点，连接， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得， 的周长， 当最小时，的周长最小， ， ， ， 如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， 由易得， ， 设的半径为， ， ， 当最小时，最小， ， ， ， 的最小值为100， 的最小值为， 周长的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $