精品解析：陕西省西安市经开区2025-2026学年九年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年陕西省西安市经开区九年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； D不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意． 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断选项即可。 【详解】已知 ， 对选项A，根据不等式性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ，A错误； 对选项B，的符号不确定，当时，，当时，，当时，，不一定成立，B错误； 对选项C，当时，，当时，，∴不一定成立，C错误； 对选项D，根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，成立， D正确． 3. 点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的平移规则“上下平移改变纵坐标，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减，左右平移改变横坐标，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加”进行求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点,即． 4. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 5. 如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方， 关于的不等式的解集是． 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，若，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边对等角得，再根据线段垂直平分线的性质得，进而得出，接下来根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据直角三角形的性质得，同理可得，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 7. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 8. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点作，交于点N，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③．正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平角的定义，直角三角形斜边上的中线的性质，等角的余角相等以及垂直的定义进行解答即可． 【详解】解：，， ． 又， ． ，， ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ， ， ， 故结论①正确； ，，， ， ， 故结论②正确； 如图，过点作于点， ． ，， ． 点E是的中点， ． 又，， ， ，， ， 故结论③正确， 综上，结论①②③正确， 故正确的结论有个． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【答案】如果或，那么 【解析】 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 10. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 11. 若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 12. 如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】60 【解析】 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 【详解】解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出，的值，再计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 14. 如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值是______ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求出，根据旋转的性质得，即可得，然后说明，进而得出点F在射线上运动，作点C关于的对称点，连接，设交于点O，则，即可得出，当点D，F, 三点共线时，取得最小值，再说明，可得，最后根据勾股定理得，则周长的最小值为得出答案． 【详解】解：∵点E是上的动点， ∴． ∵将绕点C顺时针旋转得到，是边长为6的等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， 如图所示，作点C关于的对称点，连接，设交于点O，则， 在中，，则， 当点D，F，三点共线时，取得最小值，即， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴周长的最小值为． 三、解答题（共78分） 15. 因式分解： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 16. 解不等式（组） （1）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （2）解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】（1），图见解析； （2），非负整数解为，． 【解析】 【分析】本题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是掌握不等式的求解步骤，以及确定不等式组解集的口诀，“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小取不到”． （1）先去括号，再移项，合并同类项，求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则不等式的解集为， 在数轴上表示如下： ； 【小问2详解】 解： 解不等式可得，， 解不等式可得，， 则不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧，与、分别交于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与的交点即为点． 【详解】解：如图，点D即为所求． 18. 已知：如图，，M，与相交于点P．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接 利用证明从而可得结论． 【详解】证明：如图，连接 ， ， ． 19. 在由边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上． （1）将先向下平移2，再向右平移5得到，请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标为：______． （2）将沿方向平移______可得到． 【答案】（1）画图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可， 画出三角形，根据平面直角坐标系直接写成坐标即可； （2）由勾股定理求出的距离即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所作； 如图所示：对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得，点A到对应点水平距离为5，点A到对应点垂直距离为2， 平移距离为：． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线和直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，自变量的取值范围是　　　． （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）根据图象即可求得； （3）把代入直线的解析式，求出点坐标，再利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：把代入中得，， ∴． 把，代入中得， ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，当时，自变量的取值范围是； 【小问3详解】 解：把代入直线中得， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴的高， ∴． 21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可． 【小问1详解】 证明：∵边绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：________； （2）若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】（1） （2）7或或2或 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 23. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）A每件进价120元，B每件进价150元； （2）A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； 【小问2详解】 设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 24. 如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． （2）如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）5或3或1 【解析】 【分析】本题主要考查了正三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．通过构造辅助线，利用正三角形的性质和全等三角形的判定，可以推导出线段之间的关系．同时，利用勾股定理，可以求解出线段的长度． （1）由于和都是正三角形，所以，，又因为，所以，因此可证明，所以，因此得出． （2）过点作交于点，证明是等边三角形，再根据 证明即可得出结论； （3）作于点，求出，，分点在线段上时，点在线段时，点在线段的延长线上以及点在线段上时，点在线段时，点在线段的延长线上两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵和都是正三角形， ∴，， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作交于点，如图， ∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：作于点， ∴， 由勾股定理得； ①当点在线段上时，点在线段时，如图， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点，则， 而, ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴, ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； ②当点在线段上时，点在线段时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得, 综上，满足条件的的值为5或3或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年陕西省西安市经开区九年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，若，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点作，交于点N，与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③．正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 10. 分解因式：________ 11. 若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 12. 如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 14. 如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值是______ ． 三、解答题（共78分） 15. 因式分解： （1） ； （2）． 16. 解不等式（组） （1）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （2）解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 18. 已知：如图，，M，与相交于点P．求证：． 19. 在由边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上． （1）将先向下平移2，再向右平移5得到，请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标为：______． （2）将沿方向平移______可得到． 20. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线和直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，自变量的取值范围是　　　． （3）求的面积． 21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：________； （2）若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 23. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 24. 如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． （2）如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $