精品解析：湖北黄石市第八中学等校2025-2026学年度下学期八年级期中考试数学试卷

黄石八中2025-2026学年度下学期八年级期中考试 数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 对于式子，计算结果正确的是（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，故A选项计算正确； B、，故B选项计算错误； C、，故C选项计算错误； D、，当时 ，故D选项计算错误． 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2， C. 2，，3 D. 3，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】A、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． B、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． C、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． D、，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4. 关于矩形和菱形的性质，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 2条对称轴 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 由矩形和菱形的性质可求解． 【详解】选项A：矩形的对称轴是连接对边中点的两条直线，菱形的是两条对角线，两者均有2条对称轴，因此A不符合条件； 选项B：菱形的对角线一定互相垂直，而矩形的对角线仅在为正方形时垂直，因此B是菱形的性质，排除； 选项C：矩形的对角线一定相等，而菱形的对角线仅当其为正方形时才相等，因此C是矩形具有而菱形不一定具有的性质； 选项D：菱形的对角线平分一组对角，而矩形的对角线不会平分对角（除非是正方形），因此D是菱形的性质，排除； 故选：C． 5. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 6. 如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 7. 如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 8. 如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形  为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，．  ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A. x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可； 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①在上截取，连接，证明，即可解决问题； ②③延长到K，使得，证明，再证明即可解决问题； ④设，则，，通过完全平方式的应用进行配方解决最值问题； ⑤当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 如图，延长到K，使得， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ∴，故②错误； 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的最大值为，故④正确； 当时，设，则， 在中，则有， 解得， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①④⑤． 二、填空题（共18分） 11. 当时，则二次根式_____． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 【详解】解：依题意，把代入，得． 12. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 【答案】四 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和等于，可得这个多边形的内角和是，再根据n边形的内角和为，列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是四边形， 故答案为：四． 13. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 14. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则．根据折叠的性质和平行线的性质，证得，从而得到．在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设，则．   四边形是矩形，  ，， ． 由折叠的性质可知，．  ， ． 在中， 由勾股定理得 ， 即， 整理得， 解得， ∴． 15. 如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 二、简答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式混合运算进行化简，再将数值代入，分母有理化进行求值． 【详解】解：原式 ； 将代入，原式 19. 如图，四边形是菱形，，．求： （1）的度数和的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质垂直平分，平分和，平分和，，得出，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质得出，，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分，平分和，平分和，， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，含角直角三角形性质等，解题的关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系． 20. 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，由得，可证明四边形是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 【小问1详解】 证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 21. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边分别交于点M，N，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）60 【解析】 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，可得．因为是的垂直平分线，所以，，可证，得到．因为且，所以四边形是平行四边形．又因为，所以平行四边形是菱形． （2）因为且，所以，可利用勾股定理求出的长度．因为四边形是菱形，且，可结合平行四边形的面积与菱形的面积关系，或利用菱形面积公式来求解，先通过已知条件求出的长度． 【小问1详解】 证明：设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，且． 在和中，  ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理： ． ∵，即，又， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴面积： ． 故四边形的面积为． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； （2）请判断的形状并说明理由； （3）在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理结合网格画出，使得，，即可； （2）根据勾股定理逆定理即可解答； （3）过点作，交于点，则即为点到直线的距离，利用等面积法计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， 【小问3详解】 解：过点作，交于点，则即为点到直线的距离． ， 由（1）可得：是直角三角形，， ∵， ∴，即点到直线的距离为． 23. 小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． （2）请你仿照上面的方法化简：； （3）若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 且，故，． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 故； 【小问3详解】 解：， ， 或， 或， 故或． 24. （1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可； （2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：②④； （2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接， 又∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵点G、H分别是中点，连接， ∴， 在和中，由勾股定理得： ， ∴，即， 解得：，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石八中2025-2026学年度下学期八年级期中考试 数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 对于式子，计算结果正确的是（ ） A. 5 B. C. 25 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2， C. 2，，3 D. 3，5，6 4. 关于矩形和菱形的性质，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 2条对称轴 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 5. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A. x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 10. 如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．则下列结论：①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（共18分） 11. 当时，则二次根式_____． 12. 一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形． 13. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 14. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为_____． 15. 如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 16. 如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 二、简答题 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是菱形，，．求： （1）的度数和的长． （2）若，求的长． 20. 如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边分别交于点M，N，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求四边形的面积． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； （2）请判断的形状并说明理由； （3）在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 23. 小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． （2）请你仿照上面的方法化简：； （3）若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 24. （1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $