精品解析：湖北省大冶市临空初级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

大冶市2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故选：C． 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，，3 C. 2，3，4 D. ，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．据此解答即可． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形； B、，不可以构成直角三角形； C、，不可以构成直角三角形； D、，不可以构成直角三角形． 故选：A． 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 【详解】解：A. 对边平行且相等，B. 对角相等，C. 对角线互相平分，均是矩形和平行四边形都具有的性质． D.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 6. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质得出，由，根据勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ∵， ， ， 故选：C． 7. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 8. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 10. 在中，已知，，边上的高为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 或者 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键；本题应分两种情况进行讨论：①当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长；②当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长． 【详解】解：此题应分两种情况说明： ①当为锐角三角形时，在中， ， 在中， ， ， ②当为钝角三角形时， 在中， ， 在中， ， ． 线段的长为或者， 故选：D． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 化简_____；_____；_____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化的计算，掌握二次根式的性质是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：①；②；③ ． 12. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的 处同时施工.取，米，米，则， 两点的距离是__________米. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线．过点作于点 ，先求出，再求出 的长度，最后根据勾股定理分别求出，即可求解． 【详解】如图所示：过点作于点 ，则， ， ， ∵米， 米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 14. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接 ．若，，则 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出，，作交的延长线于，得出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴（负值舍去，不符合题意）， ∵， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 如图：作交的延长线于， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C关于的对称点E，作，使得，连接，使得，连接，，．则，，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，C关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵与的周长的和为： ， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）直接利用多项式乘法法则展开，再进行合并即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，乘法公式的变形计算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的混合运算，运用乘法公式得到，结合完全平方公式的变形计算即可求解； （2）根据分式的混合运算原式变形得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， 代入得，． 18. 已知，如图，在四边形中，，点E，F为对角线上两点，且，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】先证明，得到，再由，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定定理是解题的关键． 19. 如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，， 是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出 的长，进而得到长，然后即可算出面积． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即 的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 20. 如图，在中，， 是的一条角平分线，是的外角的平分线，于点 ，连接，交于点 ． （1）求证：四边形为矩形； （2）线段与有怎样的关系？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由在中，， 是的一条角平分线，可得，，又由为的外角的平分线，可得，又由，即可证得：四边形为矩形； （2）由四边形为矩形，可得，又由是边的中线，即可得是的中位线，则可得，． 【小问1详解】 四边形为矩形， 理由：∵ 平分，平分， ∴，， ∴， 在中， ∵， 平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 ，， 理由： 四边形是矩形， ， 点 为中点， ， 平分， ， 点 为中点， 是的中位线， ∴，． 【点睛】本题考查三角形角平分线定义，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形角平分线定义，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线是解答此题的关键． 21. 如图，在四边形中，，点E是的中点，，，于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）过B点作于G点，求解，由 ，可得，结合，可得答案； 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，E为的中点， 在中，， 平行四边形是菱形 【小问2详解】 解：过B点作于G点， 在中，， 由勾股定理可得，， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记特殊四边形的判定是解本题的关键. 22. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点 ，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 【答案】（1）第一、二小组的方案都可行，见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质证明． 根据绳子、、，利用勾股定理的逆定理可证； 根据，可得：，，根据三角形内角和定理可证，从而可证； 以点 为顶点构造等腰，根据等腰三角形的三线合一定理可知，若点是的中点，则． 【小问1详解】 解：第一、二小组的方案都可行， 理由如下： 方案一 如下图所示， 证明：因为， 若， 则， ， ， ； 方案二、 证明：如下图所示， ，若，则， ，， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：第三小组的测量方案是： 如下图所示， 在射线，，上分别取点 ，，， 放置绳子，，使， 用叠合法比较与的长度， 若，则墙体与地面垂直，即于点， 否则不垂直， 证明：， 是等腰三角形， 若，则是等腰三角形的中线， 根据等腰三角形性质可知， 即． 23. 阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：_____． （2）若等式成立，求的取值范围． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【小问1详解】 解：当时， 原式； 【小问2详解】 解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 24. 综合与实践 问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题． 如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点 重合，折痕为，展开后，连接 ，．试探究四边形的形状，并说明理由． 独立思考：请解答老师提出的问题． 实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点 重合，点 落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长． 解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1）四边形是菱形． 理由：由折叠的性质，可得，，． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，可得，，．进而利用平行四边形的性质得，，，从而得，于是即可得四边形是菱形．． （2）如图1，连接．由矩形的性质得，进而利用勾股定理得．设，则．再利用勾股定理求得．在菱形中，利用面积法即可得解． （3）如图2，过点 作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质及勾股定理得，，．再证明，得．又在中，根据勾股定理，可得，从而即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）如图1，连接． 四边形为矩形， ， ． 设，则． 由折叠性质可得，， ，解得， ． 由（1），知四边形是菱形， ， ， ． （3）如图2，过点 作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ∴，， ， ，． 由折叠的性质，可得， ，， ． ， ， ， ． 在中，根据勾股定理，可得 ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 使代数式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，，3 C. 2，3，4 D. ，4，7 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 6. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 8. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 在中，已知，，边上的高为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 或者 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 化简_____；_____；_____． 12. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为______． 13. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米. 14. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 已知，如图，在四边形中，，点E，F为对角线上两点，且，．求证：四边形为平行四边形． 19. 如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 20. 如图，在中，，是的一条角平分线，是的外角的平分线，于点，连接，交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）线段与有怎样的关系？说明理由． 21. 如图，在四边形中，，点E是的中点，，，于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 23. 阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：_____． （2）若等式成立，求的取值范围． （3）若，求的值． 24. 综合与实践 问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题． 如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由． 独立思考：请解答老师提出的问题． 实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长． 解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $