精品解析：福建莆田市擢英中学2025-2026学年下学期八年级数学期中考试卷

2025-2026学年莆田市擢英中学八年级数学期中考试卷 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数是2，且被开方数为非负数，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵选项A中的根指数为3，不符合二次根式定义，∴A错误； ∵选项B中的被开方数可以为负数，当时不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中的被开方数，无意义，不是二次根式，∴C错误； ∵，∴ ，符合二次根式的定义，一定是二次根式，∴D正确． 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，则此项错误； B、，则此项正确； C、，则此项错误； D、，则此项错误． 3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 4. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形，则需添加的一个条件是，其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，根据函数定义判断即可． 【详解】解：A、符合函数定义，故该项不符合题意； B、符合函数定义，故该项不符合题意； C、符合函数定义，故该项不符合题意； D、不符合函数定义，故该项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了函数图象的判断，正确理解函数定义是解题的关键． 6. 若点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质（当一次函数中时，函数值随自变量的变化规律），解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的增减性，再结合自变量的大小关系比较函数值的大小．先分析直线的增减性：一次函数中，，故随的增大而减小；再比较点和的横坐标大小，；根据函数增减性，横坐标越小，对应的函数值越大，因此． 【详解】解：对于直线，其属于一次函数（）的形式， ∵， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小． 已知点和在该直线上，且， ∴根据函数增减性可得． 故选：B． 7. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再结合数轴即可解答． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为，即选项C符合题意． 8. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：由A、， ∴，故选项A符合题意； 由B、， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； 由C、，设设a、b、c的边长分别为， ∵， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； 由D、，则 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：A 9. 甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，先比较甲、乙的速度；然后再比较丙、丁的速度，进而在比较甲、丁的速度即可． 【详解】乙在所用时间为30分钟时，甲走的路程大于乙走的路程，故甲的速度较快； 丙在所用时间为50分钟时，丁走的路程大于丙走的路程，故丁的速度较快； 又因为甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快， 故选A 【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】结合作图方法可知是的中垂线，结合矩形的性质易证四边形是菱形，，利用等积法可知③错误；利用含角的直角三角形的性质易证④错误． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的作法及菱形的性质，熟练掌握垂直平分线的作法，矩形和菱形的性质是解决本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 已知，为实数，且满足，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出、的值，进而得出答案. 【详解】、为实数，且满足， ，， 则. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出、的值是解题关键. 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD， ∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令，则；令，则； ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)， ∴OA=OB=BM=2， ∵BM⊥轴， ∴∠OBM=90°， ∴点M的坐标为(2，2)， ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=BD，∠CBD=90°， ∴∠CBD=∠OBM=90°， ∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD， ∴∠CBO=∠DBM， 在△BOC和△BMD， ， ∴△BOC△BMD(SAS)， ∴∠BOC=∠BMD=90°， ∴BM⊥DM， ∴DM∥OB， ∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2， ∴M、D、A三点共线， ∴四边形AMBO是正方形， ∴∠BAM=45°， ∵AB=， 点P是线段AB的三等分点（AP＞BP）， ∴AP=AB=， 当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值， 此时，△PAD为等腰直角三角形， ∴PD=AP=， ∴线段DP长度最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】四边形是平行四边形 ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键． 19. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法，求出一次函数解析式即可． 【详解】解：设，根据题意得： ， 解得：， 函数解析式为：． 20. 如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是；理由见解析 （2）原来的路线的长为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； 【小问2详解】 解：设，则 ， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 21. 数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．如图，在中，， （1）尺规作图：求作矩形．（保留作图痕迹）； （2）根据你的作图，证明四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两条弧交于点D，连接，即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 解：如图2，四边形为矩形，即为所求作． 【小问2详解】 证明：由作法可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把B的坐标代入直线AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x=0，求得y的值，即可求得A的坐标； （2）根据△ABP的面积与△ABO的面积相等列方程即可得答案； 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线AB的解析式是 令，解得 【小问2详解】 , 如图，交于点，轴， 点P是直线x＝2上一动点，D点在上，令，则 则 设 △ABP的面积与△ABO的面积相等 解得或 点P是直线AB上方第一象限内的动点 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A、B两种书籍，若订购A种书籍本，B种书籍本，共花元；若订购A种书籍本，B种书籍本，共花费元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务二 （2）若该校计划购进这两种书籍共本，且A种书籍的数量不少于本，设购买这批书籍所需费用为w元，B种书籍购买本，求w元与之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种书籍每本的进价为20元，B种书籍每本的进价为15元；（2）学校应购买A种书籍40本，B种书籍60本才能使购买费用最少．最少费用为1700元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的性质．找准正确的数量关系是解题的关键． 任务一：根据题意列出正确的二元一次方程组求解即可； 任务二：根据题意和任务一中的结果，写出w与之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可分析求出． 【详解】任务一：设A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 由题意得： 解得：． 答：A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 任务二：由题意可知， 购买B种书籍本，则购买A种书籍本． A种书籍的数量不少于本， ， 解得：． 根据题意得：， 随着的增大而减少， 当时，取得最小值，此时， 最小值为：． 24. （1）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．填空：线段与的数量关系为________；直线与所夹锐角的大小为________． （2）如图②，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）把图②中的正方形都换成菱形，且，如图③，直接写出______． 【答案】（1）①，②45°；（2）仍然成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质即可得出答案； （2）过作，且，连接，，并延长交、交于点，证明，接着证明四边形是平行四边形，即可得出答案； （3）过作∠GDH=120°，且，连接，，证明，接着证明四边形是平行四边形，再过点D作DM⊥GH于点M，证出GM=GH=CF，DM=DG，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：（1）①线段与的数量关系为； ②直线与所夹锐角的度数为45°． 连接AF，根据正方形的性质可得A、F、C三点共线，∠CAD=45° ∵AF=AG，AC=AD ∴CF=AC-AF=(AD-AG)=DG （2）仍然成立，证明如下： 过作，且，连接，，并延长交、交于点 ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴，，∴ ∵， ∴ ∴， ， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴， 在中， ∴， 即， ∵ ∴，即直线与所夹锐角的度数为45°； （3）过作∠GDH=120°，且，连接， ∵四边形是菱形 ， ∴，∠ADC=120° ∵∠GDH=120° ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴， 过点D作DM⊥GH于点M ∴GM=GH=CF，DM=DG 在Rt△DGM中， ∴GM=DG， ∴DG：CF=． 【点睛】本题主要考查了四边形综合应用，全等三角形，等腰直角三角形等相关知识点，难度系数大，需要熟练掌握相关基础知识． 25. 如图1，在平而直角坐标系中，直线： 与坐标轴交于A，B两点，点C为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标为______； （2）如图2，过点D作轴，过点C作轴．证明： ； （3）如图3，连接，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式分别求出与x，y轴的交点，再根据中点坐标公式求出点C的坐标即可； （2）要想证明三角形全等，需要证明三个条件，通过四边形是平行四边形易得两个条件，再根据一个垂直得到一组角相等，即可解决问题； （3）根据平行四边形的对边相等，求出点D的坐标，再分类讨论点D在三条边即是在三条直线上，分别把点D的横纵坐标代入直线解析式，求得t值即可； 【小问1详解】 解：∵直线与坐标轴交于A，B两点， 当时，，当时，， 点A的坐标是，点B的坐标是 ∵点C为的中点， 点 故答案为： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：或或 ∵， ∴， ∵点，点，点， ∴， ∴， ∴点， 当点D落在直线上时，则，即， 当点D落在直线上时， ∵点， ∴直线解析式为： ， ∴， ∴， 当点D落在上时， ∵直线解析式为： ， ∴ ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判断和性质，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是要能正确的求出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年莆田市擢英中学八年级数学期中考试卷 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 4. 如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 若点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 已知，为实数，且满足，则_____. 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：． 19. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的解析式． 20. 如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 21. 数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．如图，在中，， （1）尺规作图：求作矩形．（保留作图痕迹）； （2）根据你的作图，证明四边形是矩形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； 23. 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A、B两种书籍，若订购A种书籍本，B种书籍本，共花元；若订购A种书籍本，B种书籍本，共花费元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务二 （2）若该校计划购进这两种书籍共本，且A种书籍的数量不少于本，设购买这批书籍所需费用为w元，B种书籍购买本，求w元与之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 24. （1）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．填空：线段与的数量关系为________；直线与所夹锐角的大小为________． （2）如图②，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）把图②中的正方形都换成菱形，且，如图③，直接写出______． 25. 如图1，在平而直角坐标系中，直线： 与坐标轴交于A，B两点，点C为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标为______； （2）如图2，过点D作轴，过点C作轴．证明： ； （3）如图3，连接，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $