7.3 第1课时 组合、组合数公式课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦组合与组合数概念、公式及性质，通过对比排列与组合的区别与联系导入，以前期排列知识为支架，帮助学生构建从有序到无序的知识脉络。 其亮点在于结合足球比赛、选代表等实例培养数学眼光，通过组合数公式推导与证明发展数学思维，以路径选择等实际问题提升数学语言表达能力。采用分类讨论等方法，学生能深化理解，教师可高效教学。

7.3 组合 第1课时 组合、组合数公式 1 【课标要求】 1.理解组合与组合数的概念,正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会推导组合数公式,并会应用公式进行计算. 3.理解组合数的性质,并能应用性质求值、化简和证明. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.组合的概念 一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫作从 个不同元素中取 出 个元素的一个组合. 名师点睛 排列与组合的区别与联系: （1）联系:两者都是从个不同元素中取出 个元素. （2）区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 4 知识点2.组合数与组合数公式 组合数的定义及表示 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫作从 个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示 组合数 公式 乘积形式 阶乘形式 5 名师点睛 （1） . （2） 常用于计算. （3） 常用于证明. 6 知识点3.组合数的性质 性质1 性质2 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】组合的概念 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题: （1）,,, 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? 解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. （2）,,, 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? 解 冠、亚军是有顺序的,是排列问题. （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务,有多少种 不同的选法? 解 3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法? 解 3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题. 9 规律方法 判断一个问题是否为组合问题的流程 10 跟踪训练1 从5个不同元素,,,, 中取出2个,共有多少种不同的组合？请写出所有组合. 解 先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来,如图 所示. 由此可得所有的组合:,,,,,,,,, ,共有10种. 11 【题型二】组合数公式 例2（1） 计算: ① ; 解 . ② . . 12 （2）求证: . 证明 左边 右边. 规律方法 组合数计算公式的选取技巧 （1）涉及具体数字的可以直接用公式 计算; （2）涉及字母的可以用阶乘式 计算; （3）计算时应注意利用组合数的性质 简化运算. 13 跟踪训练2（1） 已知,为正整数,,求证： ； 证明 , . 14 （2）已知,为正整数,求证： . 解 由 知, … . 15 【题型三】组合问题的实际应用 例3 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训, 在下列条件下,分别有多少种不同的选法? （1）任意选5人; 解 有 （种）不同的选法. （2）甲、乙、丙三人必须参加; 解 甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有 （种）不同的选法. （3）甲、乙、丙三人都不能参加; 解 甲、乙、丙三人都不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 （种）不同的 选法. 16 （4）甲、乙、丙三人中只能有1人参加; 解 甲、乙、丙三人中只能有1人参加.分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有 （种） 选法,再从另外的9人中选4人,有种选法,故共有 （种）不同的选法. （5）甲、乙、丙三人中至少有1人参加; 解 （方法一 直接法）可分为三类: 第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有 种选法; 第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有 种选法; 第3类,甲、乙、丙3人均参加,有 种选法. 所以，共有 （种）不同的选法. （方法二 间接法）12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人都不参加的有 种, 所以,共有 （种）不同的选法. 17 （6）甲、乙、丙三人中至多有2人参加. 解 （方法一 直接法）甲、乙、丙三人中至多有2人参加,可分为三类: 第1类,甲、乙、丙都不参加,有 种选法; 第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有 种选法; 第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有 种选法. 共有 （种）不同的选法. （方法二 间接法）12人中任意选5人,共有种,甲、乙、丙三人全参加的有 种选法, 所以共有 （种）不同的选法. 18 规律方法 常见的含限制条件的组合问题的解法 （1）特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素、特殊元素的 多少作为分类依据. （2）含有“至多”“至少”等限制语句,要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为 分类依据,或采用间接法求解. （3）分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达, 逐类求解. 19 跟踪训练3 （多选题）在某城市中,, 两地之间有如图所示的道路网,甲随机沿道路网 选择一条最短路径,从地出发到 地,则下列结论正确的是( ) AC A.不同的路径共有31条 B.不同的路径共有41条 C.若甲途经 地,则不同的路径共有18条 D.若甲途经地,且不经过 地,则不同的路径共有8条 [解析] 由题图可知,从A地出发到B地的最短路径共包含7步,其中3步向上,4步向右,且 前3步中至少有1步向上,则不同的路径共有 （条）,故A正确,B 错误； 若甲途经C地,则不同的路径共有 （条）,故C正确； 若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有（条）,故D错误.故选 . 20 $