6.3.4 空间距离的计算课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量在距离计算中的应用，系统讲解点到直线、点到平面、线面及面面距离的向量求解方法，通过复习空间向量运算与法向量知识导入，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于知识提炼精准（公式推导+名师点睛），题型分析结合正方体、长方体等模型，步骤规范（建系、求向量、设法向量），体现数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言（符号表达），助力学生发展空间观念，教师可高效开展教学。

6.3 空间向量的应用 6.3.4 空间距离的计算 1 【课标要求】 1.能用向量方法解决点线、点面、面面的距离的计算问题. 2.通过空间中距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.点到平面的距离 若是平面 外一点, ,垂足为,为平面 内任意一点,设为平面 的法 向量,则点到平面 的距离 . 名师点睛 （1）为平面 内的任意一点,可视题目情况灵活选择. （2）点到平面 的距离的实质就是平面 的单位法向量与从该点出发的任一 条斜线段对应的向量 的数量积的绝对值. 4 知识点2.点到直线的距离 若为直线外一点,是上任意一点,在点和直线所确定的平面内,取一个与直线 垂直的向量,则点到直线的距离为 . 设是直线的方向向量,记,,则点到直线的距离为 . 5 知识点3.直线（平面）到平面的距离 （1）如果一条直线与一个平面 平行,可在直线上任取一点 ,将线面距离转化 为点到平面 的距离求解. （2）如果两个平面 , 互相平行,在其中一个平面 内任取一点 ,可将两个平 行平面的距离转化为点到平面 的距离求解. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】点到平面的距离 例1 如图,已知正方体的棱长为2,,,分别是,, 的中点, 求点到平面 的距离. 8 解 以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, , , , 所以,, . 设是平面的一个法向量,点到平面 的距离 为 , 则 所以所以 9 令,此时,所以 , 即点到平面的距离为 . 规律方法 求点到平面的距离的主要方法 （1）作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. （2）在三棱锥中用等体积法求解. （3）向量法：（为平面的法向量,为平面上一点,为过点 的斜线 段）. 11 跟踪训练1 在正三棱柱中,是的中点, . （1）求证：平面 . 证明 如图,以为坐标原点,分别以,所在直线为轴、轴,过点且与 平行的 直线为轴建立空间直角坐标系,则,,, , ,,,, . 设平面的一个法向量为 , 则即 令,则, , . , . 平面,平面 . （2）求点到平面 的距离. 解 由（1）知平面的一个法向量为,且 , 点到平面的距离 . 14 【题型二】点到直线的距离 例2 如图,在空间直角坐标系中有长方体, , ,,求点到直线 的距离. 解,, , ,, , , . 设, , 则 , , 点到直线的距离 . 15 规律方法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系. （2）求直线的方向向量 . （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量 . （4）求与夹角的正弦值 . （5）计算距离 . 16 跟踪训练2 如图,为矩形所在平面外一点, 平面 ,若 ,,,求点到直线 的距离. 17 解 如图,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴、轴、 轴 建立空间直角坐标系,则,, , , . 取 , 设, , , , 点到直线的距离 . 18 【题型三】线线距、线面距和面面距 例3 如图,在棱长为1的正方体中,为线段 的中点,为线段 的中点. （1）求点到直线 的距离； 19 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,0,,,1,,, . 所以,,, , ,, , 所以 , 所以点到直线的距离为 . 20 （2）求直线到直线 的距离； 解 因为, , 所以,即,所以点到直线的距离,即为直线到直线 的距离. ,0,, , 则, , 所以直线到直线的距离为 . 21 （3）求点到平面 的距离； 解 设平面的一个法向量为 , ,,0,, . 则 令,则,,即 . 设点到平面的距离为 , 则,即点到平面的距离为 . 22 （4）求直线到平面 的距离. 解 因为, 平面, 平面,所以平面 , 所以直线到平面的距离等于到平面 的距离. ,由（3）得平面的一个法向量为 , 所以到平面的距离为 , 所以直线到平面的距离为 . 规律方法 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 （1）确定法向量. （2）选择参考向量. （3）利用公式求解. 23 跟踪训练3 如图，正方体的棱长为4,,,,分别为, , ,的中点，则平面与平面 的距离为__. 24 [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系 , 则,,,, , ,, , , , , . ,无公共点,, 无公共点, ,,又, . 平面平面 . 设是平面 的法向量， 25 则解得 取,则,,得 . 平面到平面的距离就是点到平面 的距离. , 平面与平面 间的距离 . $