精品解析：广东深圳市福田区石厦学校2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

2025－2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷三大题，共6页，考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 3. 下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下选项不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：______． 10. 若一个三角形的三边长分别为7、24、25，则这个三角形最长边的高为__________． 11. 已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 12. 已知关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围为____． 13. 如图为等边三角形，其边长，D为直线上的一动点（不与点B，点C重合），连接以为边作等边三角形，连接，当线段的长度最短时，则的长为____． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解不等式、分解因式： （1）解不等式：； （2）分解因式： ①； ②； ③． 15. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 16. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 17. 尺规作图及计算 尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题， （1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积． 18. 生活中的数学 在生活中寻找数学 某集团学校组织七、八两个年级学生参加课外研学活动，由学生处通过调研获取信息供集团学校参考制定出行方案，以下为活动前的调查情况． 信息1 汽车出租公司有60座汽车14辆，45座客车22辆可供租用 45座 60座 载客量/（人/车） 45 60 租金（元/车） 500 600 信息2 七年级若每位教师带40名同学，则余下10名同学没有教师带；若每位教师带41位同学，则恰好可以带完． 信息3 八年级师生若租用45座的客车m辆，那么还会有30人无座位：若租用60座的客车可少租2辆，其他车正好坐满． 任务： （1）参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2）参加此次活动的八年级师生共有_____人； （3）学校计划此次研学活动由两个年级师生共同租用两种型号的客车，要求每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过9600元，你能得出哪几种不同的租车方案？ 19. 初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： （2）因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 20. 已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） （2）如图，为等腰三角形时，求的值． （3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期八年级期中考试数学试卷 说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷三大题，共6页，考试时间90分钟，满分100分． 第一部分 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 2. 数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 输送带运输的行李箱 C. 轮船航行时的螺旋桨的转动 D. 商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 3. 下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、左右两边都已是整式乘积的形式，仅为恒等变形，不符合因式分解定义； B、等式左右两边变形错误，等式不成立，且右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合定义； C、，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义； D、该变形是整式乘法，将乘积化为多项式，不符合因式分解定义． 5. 以下选项不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件利用三角形内角和定理、勾股定理逆定理分别进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B．∵， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； C．∵， 设， ， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D．∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意． 6. 如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论． 【详解】解：选项A中， ∵， ∴ 由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项B中，由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴中线平分的面积． 选项C中， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴直线平分的面积． 选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积． 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 7. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得，即 ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示为：和2处均为实心点，且线段连接两点之间， 观察选项，A选项符合题意． 8. 在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】通过将绕点旋转，构造等边三角形，将转化为折线长，利用两点之间线段最短及勾股定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 旋转， ，， ，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点之间线段最短，当四点共线时，最小，最小值为的长， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为5． 第二部分 非选择题 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 10. 若一个三角形的三边长分别为7、24、25，则这个三角形最长边的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算方法即可得出结论． 【详解】解：∵72+242=252， ∴此三角形是直角三角形，且直角边为7，24， ∴此三角形的最长边上的高==． 故答案为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据题意判断出三角形的形状是解答此题的关键． 11. 已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意得出，然后因式分解为，整体代入求解即可； 【详解】解：∵长宽分别为的长方形，周长为8，面积为2， ， ， ∴． 12. 已知关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】首先解不等式组求得x的范围，根据不等式组有4个整数解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵关于x的不等式组有解， 故不等式组的解集为 ， ∵关于x的不等式组的整数解恰有4个， ∴不等式组的4个整数解为：， ∴， 解得：． 13. 如图为等边三角形，其边长，D为直线上的一动点（不与点B，点C重合），连接以为边作等边三角形，连接，当线段的长度最短时，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质证明，得出，从而确定点在过点的定直线上运动．根据垂线段最短可知当时线段最短，此时在中求出的长，再构造直角三角形利用勾股定理求出的长，即为的长． 【详解】解：连接， 和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ， 点在直线上运动， 点在过点的定直线上运动， 当时，线段的长度最短， 此时， 若点在线段上或延长线上，则， ， ， 此时为钝角三角形，不可能垂直于， 点必在的延长线上， 此时， ， ， 在中，， ∴， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 是等边三角形， ． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解不等式、分解因式： （1）解不等式：； （2）分解因式： ①； ②； ③． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）按照一元一次不等式的求解步骤解答即可； （2）①先提公因式，再用平方差公式分解； ②先变形再提公因式； ③运用十字相乘法分解． 【小问1详解】 解：， 去分母：两边同乘6，得 ， 去括号：得 ， 移项合并：得 ， 系数化为1：得 ； 【小问2详解】 解：①； ②； ③． 15. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为． 16. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若A对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为_____． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可画出旋转后对应的； （2）利用平移的性质得出平移方式为向下平移6个单位，再向右平移3个单位，据此作出的对应点即可画出平移后对应的； （3）连接和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：连接和的交点即为旋转中心， 根据（1）（2）可得， 故旋转中心坐标为，即． 17. 尺规作图及计算 尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题， （1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积． 【答案】（1）见详解 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法画图即可． （2）由线段垂直平分线的性质得出，结合已知条件得出，由勾股定理得出，然后由完全平方公式得出，然后再根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下： 【小问2详解】 解：∵为斜边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴ 又∵中，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 生活中的数学 在生活中寻找数学 某集团学校组织七、八两个年级学生参加课外研学活动，由学生处通过调研获取信息供集团学校参考制定出行方案，以下为活动前的调查情况． 信息1 汽车出租公司有60座汽车14辆，45座客车22辆可供租用 45座 60座 载客量/（人/车） 45 60 租金（元/车） 500 600 信息2 七年级若每位教师带40名同学，则余下10名同学没有教师带；若每位教师带41位同学，则恰好可以带完． 信息3 八年级师生若租用45座的客车m辆，那么还会有30人无座位：若租用60座的客车可少租2辆，其他车正好坐满． 任务： （1）参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2）参加此次活动的八年级师生共有_____人； （3）学校计划此次研学活动由两个年级师生共同租用两种型号的客车，要求每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过9600元，你能得出哪几种不同的租车方案？ 【答案】（1）参加此次活动的七年级师生共有420人 （2）480 （3）共有三种不同的租车方案，分别是：方案一：租用60座客车6辆，45座客车12辆；方案二：租用60座客车9辆，45座客车8辆；方案三：租用60座客车12辆，45座客车4辆 【解析】 【分析】（1）根据七年级师生的两种分配情况设未知数，列一元一次方程求解得到总人数； （2）根据八年级租车的两种情况列方程求解得到总人数； （3）先计算两个年级总人数，设两种客车的租用数量，根据恰好坐满得到等量关系，再结合车辆数量限制和总费用限制，求解得到所有符合条件的整数租车方案； 【小问1详解】 解：设七年级共有名教师， 根据题意得， 解得：， 故七年级学生总人数为人，七年级师生总人数为人， 答：参加此次活动的七年级师生共有420人． 【小问2详解】 解：根据题意得 ， 解得：， 八年级师生总人数为人． 【小问3详解】 解：两个年级师生总人数为人， 设租用60座客车辆，45座客车辆， 根据题意得， 化简得， 整理得， 总费用满足， 将代入不等式得： ， 解得， 由题意得，60座客车最多14辆，因此，且，均为非负整数， 因此必须是3的倍数，同时 恒成立， 符合条件的取值为6，9，12， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 答：共有三种不同的租车方案，分别为租用60座客车6辆、45座客车12辆；租用60座客车9辆、45座客车8辆；租用60座客车12辆、45座客车4辆． 19. 初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： （2）因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）①7；②是等边三角形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【小问1详解】 解：① ； ② ． 【小问2详解】 解：①∵ ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 20. 已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． （1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） （2）如图，为等腰三角形时，求的值． （3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 【答案】（1） （2）的值为，， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 【小问2详解】 解：在中，， 根据勾股定理，得， 若，则 ，解得； 若，则 ， 解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，，． 【小问3详解】 解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴ ，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点Q在线段的延长线上时，过点D作 于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $