精品解析：广东揭阳市榕城区2025 - 2026学年度第二学期期中质检 八年级数学科

2025－2026学年度第二学期期中质检八年级数学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，是平移的是（ ） A. 水平拉动抽屉的过程 B. 将一张纸片对折 C. 教室门的打开 D. 荡秋千 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在数轴上表示了关于的某不等式的解集，则这个不等式可能是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（ ） A. 在边两条高的交点处 B. 在边两条中线的交点处 C. 在边两条垂直平分线的交点处 D. 在和两条角平分线的交点处 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若（a-2)²+|b-4|=0，则以a、b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 8. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论： ①；②；③为等边三角形，其中结论正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若不等式的解集是，则的取值范围是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别为，，点B在x轴正半轴上．将沿射线方向平移，若点A的对应点为，则点C的对应点的坐标为_________． 13. 如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 14. 如图，直线与交于点，则不等式的解集是_____． 15. 如图，在等边中，，为边上的高，是上的动点，将点绕顺时针旋转得点，连接，则线段的最小值是_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示； （4）不等式组的解集是_____． 17. 如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 20. 如图，的顶点坐标分别为，． （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的 （4）在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 21. （1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为__________；制成的有盖收纳盒的数量为__________；制成的无盖收纳盒的数量为__________； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【探究证明】 如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中质检八年级数学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，是平移的是（ ） A. 水平拉动抽屉的过程 B. 将一张纸片对折 C. 教室门的打开 D. 荡秋千 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平移的含义，平移是指物体在平面内沿某一方向移动，不改变形状、大小和方向；根据平移的定义逐一分析即可． 【详解】解：A选项：水平拉动抽屉时，抽屉整体沿水平方向移动，各点运动方向、距离相同，符合平移定义． B选项：对折纸片属于翻折，改变了方向，属于轴对称，不是平移． C选项：教室门绕门轴旋转，属于旋转运动，而非平移． D选项：荡秋千是绕固定点摆动，属于旋转运动． 综上，只有A选项是平移现象． 故选：A 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及代数方程的解法。 根据题意建立方程，结合三角形内角和为求解. 【详解】∵在△ABC中，，整理得：. 又∵三角形内角和为，即：. 将代入上式，得：， 即，解得. 故选：B. 3. 如图所示，在数轴上表示了关于的某不等式的解集，则这个不等式可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可得这个不等式的解集为，与每个选项对比由此即可得结果． 【详解】解：根据数轴可得这个不等式的解集为， 选项A、该不等式的解集为，符合题意； 选项B、该不等式的解集为，不符合题意； 选项C、该不等式的解集为，不符合题意； 选项D、该不等式的解集为，不符合题意． 4. 如图，揭阳古城里有一块由三条路围成的三角形绿地，规划在绿地里面修建一个亭子，使亭子中心到三条路的距离相等，则亭子应该建在（ ） A. 在边两条高的交点处 B. 在边两条中线的交点处 C. 在边两条垂直平分线的交点处 D. 在和两条角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中到三边的距离相等的点是三条内角平分线的交点，由此可得答案． 【详解】解：由三角形的内角平分线的性质，这个亭子应修建在三条角平分线的交点处，即在和两条角平分线的交点处． 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解： ， 不等式两边同时减去2026，得， 不等式两边同时除以，得， 因此“□”中应填的符号是． 6. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 7. 若（a-2)²+|b-4|=0，则以a、b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后讨论以a为边是等腰三角形的腰和底边时，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 当以a为边是等腰三角形的腰时，此时三边长分别为2、2、4不能构成三角形，不符合题意； 当以a为边是等腰三角形的底边时，此时三边长分别为2、4、4能构成三角形，符合题意， ∴三角形的周长=2+4+4=10， 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟知相关知识是解题的关键． 8. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，即得，再根据平行线的性质得到，最后根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论： ①；②；③为等边三角形，其中结论正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， ①正确； ， ， ， ， ②正确； 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形， ③正确； 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若不等式的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质可以得到的正负情况，从而可以得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别为，，点B在x轴正半轴上．将沿射线方向平移，若点A的对应点为，则点C的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移中点的变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．依据点的对应点的坐标为，可得出平移规律，再利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点的对应点为， 平移规律为向右平移1个单位长度，再下平移3个单位长度， 点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接 ，证明 ，从而证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 14. 如图，直线与交于点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点A的横坐标，然后根据函数图象写出答案即可． 【详解】解：由函数图象得点A的纵坐标为， 把代入，得， ∴， 由函数图象得，当时，直线的图象在直线图象的上方， ∴不等式的解集是． 15. 如图，在等边中，，为边上的高，是上的动点，将点绕顺时针旋转得点，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接 ，根据旋转和等边三角形的性质证明，得到进而判断出当时，的值最小，最后求出即可． 【详解】解：连接 ，如图， ∵为等边三角形，为边上的高，， ∴ ， 由旋转可得， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故点F在夹角为的线段上运动， ∴当时，的值最小， ∴在的直角中，最小值 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示； （4）不等式组的解集是_____． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：由（3）知，原不等式组的解集为． 17. 如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）先利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，由计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∴， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为48． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵为等边三角形，是中线， ∴， ∴的周长． 20. 如图，的顶点坐标分别为，． （1）将向右平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的 （4）在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）；；；； 【解析】 【分析】（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 【小问4详解】 解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 21. （1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键． （1）先分别求出方程和不等式组的解集，然后得到关于m的不等式组求解即可； （2）先分别求出方程组、不等式组的解集，然后根据题意得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解关于x的方程得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． （2）解：解关于的方程组得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为__________；制成的有盖收纳盒的数量为__________；制成的无盖收纳盒的数量为__________； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1：10cm 任务2：①；；；②有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【解析】 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为块；制成的有盖收纳盒的数量为；制成的无盖收纳盒的数量为； 故答案为：；；； ②由题意得：， 解得：， 的整数解有：24，23，22，21， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设利润为元， 由题意得： 即：， ∵随着的增大而增大， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为524元． 23. （1）【问题发现】 如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【探究证明】 如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2），理由见解答 （3）72 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由是： 如图2，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 同理得：， ， 中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $