专题11.3 一元一次不等式组（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理概念（定义、判定三要素）、解集（定义、四种基本情况及口诀）、解法步骤（求各不等式解集、数轴表示、找公共部分）和实际应用（建模步骤、关键词对应），构建从概念理解到解法掌握再到实际应用的完整学习支架。 资料亮点在于分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养），通过整数解求参数范围、方案设计等例题培养数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力），结合数轴数形结合提升几何直观。课中辅助分层教学，课后易错点总结助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题11.3 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：把含有同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一元一次不等式组。 2.判定三要素 每个不等式都是一元一次不等式； 只含同一个未知数； 不等式个数≥2。 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做该不等式组的解集；无公共部分则无解。 2.四种基本解集情况（设） 不等式组 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 知识点3：一元一次不等式组的解法步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.在同一条数轴上表示所有解集； 3.找出公共部分，写出不等式组的解集；无公共部分写无解。 知识点4：一元一次不等式组的实际应用 1.建模步骤：审题→抓关键词→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验合理性→作答； 2.关键词对应：至少≥、至多≤、不低于≥、不超过≤、介于之间用连不等式。 【基础必考题型】 【题型1】不等式组的解集在数轴上表示 1.核心知识点 空心（＞/＜）、实心（≥/≤）；方向：大于向右、小于向左。 2.解题方法技巧 口诀：有等实心，无等空心；大于向右，小于向左；必须画在同一条数轴上。 【例题1】.（2026·山西临汾·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各个不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 【变式题1-1】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把解集在数轴上表示出来，如下： ∴原不等式组的解集为 【变式题1-2】.（25-26八年级下·广东梅州·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示． 【答案】；在数轴上表示见解析 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山西运城·期中）解不等式组，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 【题型2】求不等式组的整数解/非负整数解 1.核心知识点 先求不等式组解集，再在解集中取符合条件的整数。 2.解题方法技巧 解→画→圈→写；注意0、负整数、正整数的区分。 【例题2】.（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【答案】不等式组的正整数解为1、2 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解为： 则不等式组的正整数解为：1、2． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出解集中的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，非负整数解有：0，1 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来，再找出解集中的非负整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是 在数轴上表示如图所示： 非负整数解有：0，1． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为： 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它的所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ∴所有整数解为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 【答案】或． 【分析】根据不等式求得的取值范围，根据解的情况，即可求得参数范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵所有整数解的和是18， 且， ∴或． 【题型3】由不等式组解集反求参数值 1.核心知识点 对比解集，建立方程求参数；注意等号是否成立。 2.解题方法技巧 解不等式组（含参）→对比已知解集→列方程→求参数→检验端点。 【例题3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先将a，b当作已知数，分别解两个不等式得到含参数的解集，再和已知解集对比求出a，b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的已知解集为 ∴， 解得， ∴ 【题型4】由整数解个数求参数范围 1.核心知识点 整数解限定→确定参数区间；端点是否可取是关键。 2.解题方法技巧 标出整数解→定参数上下界→单独验证端点等号。 【例题4】.（25-26八年级下·河北保定·期中）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的不等式有且仅有1个负整数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到解集，根据不等式有且仅有一个负整数解，确定唯一负整数解为，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式有且仅有个负整数解，因此唯一负整数解只能为， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 【培优高频题型】 【题型5】不等式组有解/无解求参数范围 1.核心知识点 有解：解集有公共部分；无解：无公共部分。 2.解题方法技巧 画数轴看重叠→列不等式→注意等号是否能取到。 【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”即可得出答案． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵不等式组无解， ∴根据“大大小小找不到”的原则，可得． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，结合该不等式组无解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， 解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组无解， ， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组无解， ， 解得． 【变式题5-3】.（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 【题型6】一元一次不等式组·实际生活方案设计应用 1.核心知识点 ①根据题意建立一元一次不等式组模型 ②求不等式组的整数解，确定可行方案 ③结合限制条件求最大值、最小值或最优方案 2.解题方法技巧 ①设关键未知量，用它表示其他相关量 ②从题干中提取“不少于、不超过、至少、至多、不低于”等关键词列不等式组 ③解出解集后，只取正整数解 ④按要求求最多/最少数量或统计方案种数 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 【变式题6-3】.（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 【压轴素养题型】 【题型7】分段计费/最优方案选择（生活情境） 1.核心知识点 费用限制、数量限制、比例限制→列不等式组→求整数方案→选最优。 2.解题方法技巧 设量→列组→求范围→整数解即方案→算费用定最优。 【例题7】.（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）合肥公交公司计划购进新能源汽车，新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司为合肥文化园公交线路在（1）的基础上，准备购买A型和B型两种新能源公交车共计10辆，总费用不超过630万元，请你根据要求设计购买方案． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需60万元，购买型新能源公交车每辆需80万元 (2)一共有2种购买方案：方案1：购买A型公交车9辆，B型公交车1辆；方案2：购买A型公交车10辆，B型公交车0辆 【分析】（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，根据购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元建立方程组求解即可； （2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据购买费用不超过630万元，且非负求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得，，解得， 答：购买型新能源公交车每辆需60万元，购买型新能源公交车每辆需80万元； （2）解：设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆， 由题意得， ，解得， ， ， ，且为整数， 当时，，当时，， 答：一共有2种购买方案： 方案1：购买A型公交车9辆，B型公交车1辆； 方案2：购买A型公交车10辆，B型公交车0辆． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广东清远·期中）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．    素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； (2)任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； 【答案】(1)A品种仙桃礼盒每件的售价为80元，B品种仙桃礼盒每件的售价为100元 (2)有三种销售方案： 方案1：A品种仙桃礼盒598件，B品种仙桃礼盒402件； 方案2：A品种仙桃礼盒599件，B品种仙桃礼盒401件；方案3：A品种仙桃礼盒600件，B品种仙桃礼盒400件 【分析】（1）设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，根据“每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元”， 可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，根据“A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各销售方案． 【详解】（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得， 答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元； （2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴或或， 故有三种销售方案： 方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件； 方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件； 方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件． 【题型8】新定义运算与不等式组结合 1.核心知识点 按定义列式→转化为不等式组→求解集。 2.解题方法技巧 严格按题目规则替换，不额外添加条件，化为常规不等式组。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽宿州·期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义代入求值； （2）先根据新定义，变形不等式组，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，即可求出的范围． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， ∵不等式组只有个整数解， ∴个整数解为，， ∴，解得：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·北京通州·期中）定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，． ∴，． （2）解：∵，当时，；当时，， ∴①或② 由①得； 由②得不等式组无解； 的取值范围为． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． （2）解：∵， ∴， 解得：． （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是． 易错点 1、解不等式时，除以负数忘记改变不等号方向（最高频错误）。 2、数轴表示混淆空心与实心，方向画反。 3、找公共部分只拼接不解，不看是否重叠。 4、含参问题不验证端点等号是否可取。 5、实际问题忘记取正整数解，出现小数件数、负数人数。 6、去分母漏乘常数项，移项不变号。 重点 1、一元一次不等式组的概念与解集判断。 2、规范解法：分步求解→数轴表示→定公共部分。 3、四种解集口诀熟练运用。 4、整数解、有解无解、含参问题。 5、列不等式组解决实际应用题。 难点 1、由整数解个数/有解无解反求参数范围。 2、方程组与不等式组综合转化。 3、实际问题中多限制条件联立、方案最优选择。 4、数轴数形结合分析含参区间与端点取舍。 【对应练习题】 一、单选题 1．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 2．一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为： ． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知条件得出关于a的不等式组即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： ∴不等式组解集：， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组有3个整数解为、0、1． ∴的取值范围是． 二、填空题 4．关于的不等式组． （1）若，则不等式组的解集为____； （2）若为整数，且不等式组的所有整数解的和是9，则的值是___． 【答案】 1或 【分析】（1）把代入不等式组求解； （2）先解不等式组得，再根据所有整数解的和是9，可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． （2） 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式组的所有整数解的和是9， （Ⅰ）当整数解为2，3，4时，, ∵为整数， ∴； (Ⅱ) 当整数解为，0，1，2，3，4时，， ∵为整数， ∴； 综上所述，的值是1或． 5．关于的不等式组的解集为，则满足的条件是_____． 【答案】 【分析】先解出第一个不等式，再根据不等式组解集的确定法则即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得 ∵不等式组的解集为 ∴根据“同小取小”的解集确定法则可得． 6．不等式组的整数解有__________个． 【答案】3 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得； 解不等式， 移项得， 因此原不等式组的解集为， 满足的整数为，共个． 三、解答题 7．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】先通过可得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵， 得，， ， 又∵， ， ∴， ∴， 解得． 9．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 10．项目化实践： 项目背景 由于春假将至，学校拟向公交公司租借、两种车共8辆，组织八年级师生去市实践基地参观学习． 素材1 型车最大载客量是50人，型车的最大载客量是35人，已知型车每辆的租金是450元，型车每辆的租金是300元．    素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 任务3 结合自己的出行经验，请提出一条合理化建议供大家参考． 同学小华针对“任务一”做了如下的解答后，就不会做了． 【小华】解：设租用型车辆，则租用型车辆，根据题意得： 解得， 小勇提醒说：“小华你少用了一个不等关系的条件．” 同学们，你能帮他们完成三项任务吗？写出解答过程． 【答案】任务1：共有2种租车方案，方案1：租用型车2辆，型车6辆；方案2：租用型车3辆，型车5辆；任务2：花费最少的方案比预算2900元省200元钱；任务3：见解析 【分析】任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论； 任务3：结合实际情况提出建议即可． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 任务3：在合理范围内提高型车数量，进而降低总支出及租车数量． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：把含有同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一元一次不等式组。 2.判定三要素 每个不等式都是一元一次不等式； 只含同一个未知数； 不等式个数≥2。 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做该不等式组的解集；无公共部分则无解。 2.四种基本解集情况（设） 不等式组 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 知识点3：一元一次不等式组的解法步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.在同一条数轴上表示所有解集； 3.找出公共部分，写出不等式组的解集；无公共部分写无解。 知识点4：一元一次不等式组的实际应用 1.建模步骤：审题→抓关键词→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验合理性→作答； 2.关键词对应：至少≥、至多≤、不低于≥、不超过≤、介于之间用连不等式。 【基础必考题型】 【题型1】不等式组的解集在数轴上表示 1.核心知识点 空心（＞/＜）、实心（≥/≤）；方向：大于向右、小于向左。 2.解题方法技巧 口诀：有等实心，无等空心；大于向右，小于向左；必须画在同一条数轴上。 【例题1】.（2026·山西临汾·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·广东梅州·期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山西运城·期中）解不等式组，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【题型2】求不等式组的整数解/非负整数解 1.核心知识点 先求不等式组解集，再在解集中取符合条件的整数。 2.解题方法技巧 解→画→圈→写；注意0、负整数、正整数的区分。 【例题2】.（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出解集中的非负整数解． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 【题型3】由不等式组解集反求参数值 1.核心知识点 对比解集，建立方程求参数；注意等号是否成立。 2.解题方法技巧 解不等式组（含参）→对比已知解集→列方程→求参数→检验端点。 【例题3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式组的解集为，则的值是__________． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 ∴ 【题型4】由整数解个数求参数范围 1.核心知识点 整数解限定→确定参数区间；端点是否可取是关键。 2.解题方法技巧 标出整数解→定参数上下界→单独验证端点等号。 【例题4】.（25-26八年级下·河北保定·期中）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的不等式有且仅有1个负整数解，则实数的取值范围是_____． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】不等式组有解/无解求参数范围 1.核心知识点 有解：解集有公共部分；无解：无公共部分。 2.解题方法技巧 画数轴看重叠→列不等式→注意等号是否能取到。 【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是______． 【变式题5-3】.（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【题型6】一元一次不等式组·实际生活方案设计应用 1.核心知识点 ①根据题意建立一元一次不等式组模型 ②求不等式组的整数解，确定可行方案 ③结合限制条件求最大值、最小值或最优方案 2.解题方法技巧 ①设关键未知量，用它表示其他相关量 ②从题干中提取“不少于、不超过、至少、至多、不低于”等关键词列不等式组 ③解出解集后，只取正整数解 ④按要求求最多/最少数量或统计方案种数 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【变式题6-3】.（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【压轴素养题型】 【题型7】分段计费/最优方案选择（生活情境） 1.核心知识点 费用限制、数量限制、比例限制→列不等式组→求整数方案→选最优。 2.解题方法技巧 设量→列组→求范围→整数解即方案→算费用定最优。 【例题7】.（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）合肥公交公司计划购进新能源汽车，新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司为合肥文化园公交线路在（1）的基础上，准备购买A型和B型两种新能源公交车共计10辆，总费用不超过630万元，请你根据要求设计购买方案． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广东清远·期中）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．    素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)任务1：确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； (2)任务2：设计销售方案 求所有的销售方案； 【题型8】新定义运算与不等式组结合 1.核心知识点 按定义列式→转化为不等式组→求解集。 2.解题方法技巧 严格按题目规则替换，不额外添加条件，化为常规不等式组。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽宿州·期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·北京通州·期中）定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 易错点 1、解不等式时，除以负数忘记改变不等号方向（最高频错误）。 2、数轴表示混淆空心与实心，方向画反。 3、找公共部分只拼接不解，不看是否重叠。 4、含参问题不验证端点等号是否可取。 5、实际问题忘记取正整数解，出现小数件数、负数人数。 6、去分母漏乘常数项，移项不变号。 重点 1、一元一次不等式组的概念与解集判断。 2、规范解法：分步求解→数轴表示→定公共部分。 3、四种解集口诀熟练运用。 4、整数解、有解无解、含参问题。 5、列不等式组解决实际应用题。 难点 1、由整数解个数/有解无解反求参数范围。 2、方程组与不等式组综合转化。 3、实际问题中多限制条件联立、方案最优选择。 4、数轴数形结合分析含参区间与端点取舍。 【对应练习题】 一、单选题 1．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．关于的不等式组． （1）若，则不等式组的解集为____； （2）若为整数，且不等式组的所有整数解的和是9，则的值是___． 5．关于的不等式组的解集为，则满足的条件是_____． 6．不等式组的整数解有__________个． 三、解答题 7．解不等式组，并写出所有整数解． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 9．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 10．项目化实践： 项目背景 由于春假将至，学校拟向公交公司租借、两种车共8辆，组织八年级师生去市实践基地参观学习． 素材1 型车最大载客量是50人，型车的最大载客量是35人，已知型车每辆的租金是450元，型车每辆的租金是300元．    素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 任务3 结合自己的出行经验，请提出一条合理化建议供大家参考． 同学小华针对“任务一”做了如下的解答后，就不会做了． 【小华】解：设租用型车辆，则租用型车辆，根据题意得： 解得， 小勇提醒说：“小华你少用了一个不等关系的条件．” 同学们，你能帮他们完成三项任务吗？写出解答过程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $